专题03 数列（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题03 数列 题型概览 题型01数列的概念与通项公式（精选12题） 题型02等差数列（精选16题） 题型03等比数列（精选15题） 题型04 数列求和（精选9题） 优选提升题（精选12题） 数列的概念与通项公式题型01 一、单选题 1．（23-24高二下·广西防城港·期末）已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西柳州·期末）在数列中，若，，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广西百色·期末）已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 5．（22-23高二下·广西河池·期末）已知数列满足，，，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，前n项的和为，关于，叙述正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 三、填空题 8．（23-24高二下·广西联考·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 9．（23-24高二下·广西南宁·期末）数列的前项和为，若，则 . 10．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知数列的前项和（），则 ． 11．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知数列满足，，则 . 四、解答题 12．（22-23高二下·广西河池·期末）设数列满足. (1)求的通项公式 (2)记数列的前n项和为，是否存在实数k，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由. 等差数列题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西联考·期末）已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（22-23高二下·广西贵港·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的各项均不为0，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·广西钦州·期末）在等差数列中，，则（      ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（22-23高二下·广西北海·期末）已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．180 7．（23-24高二下·广西平果·期末）设等差数列，的前n项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二下·广西玉林·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 9．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为 10．（23-24高二下·广西平果·期末）数列的前项和为，已知，则（    ） A．是递增数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 11．（22-23高二下·广西防城港·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列为等差数列 D．为奇数时， 12．（22-23高二下·广西贵港·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 三、填空题 13．（22-23高二下·广西河池·期末）已知等差数列，且，则数列的公差为 ． 四、解答题 14．（23-24高二下·广西崇左·期末）已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 15．（22-23高二下·广西桂林·期末）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求n． 16．（23-24高二下·广西平果·期末）已知数列的前项和为,且满足,且. (1)求证:数列为常数列,并求的通项公式; (2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值. 等比数列题型03 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（23-24高二下·广西崇左·期末）某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为 A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·广西北海·期末）数列的前n项和为，且 ，则等于（    ） A．120 B．122 C．124 D．126 5．（23-24高二下·广西桂林·期末）在数列中，，对任意m，，都有，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·广西钦州·期末）小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款.已知月利率为，按复利计算，则小华每期付款金额约为（    ）（参考数据：，，） A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元 二、多选题 8．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是递增数列 C． D． 9．（22-23高二下·广西北海·期末）下列说法中，正确的有（    ） A．已知，则数列是递减数列 B．数列的通项，若为单调递增数列，则 C．已知正项等比数列，则有 D．已知等差数列的前项和为，则 三、填空题 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为 . 11．（22-23高二下·广西钦州·期末）设等比数列的前项和为，且，，则 . 12．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）已知数列满足，，则 ． 13．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 四、解答题 14．（23-24高二下·广西北海·期末）在等比数列中，已知，. (1)求公比及数列的通项公式； (2)求的值. 15．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 数列求和题型04 一、解答题 1．（23-24高二下·广西百色·期末）已知等差数列和正项等比数列满足：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等差数列的公差与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前20项和T20. 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知等比数列的公比为q，，，设，求数列的前n项和． 4．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 6．（23-24高二下·广西北海·期末）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 7．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知①；②；③，在这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 设正项等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，________，，对都有成立． (1)求数列、的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明． 8．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 9．（23-24高二下·广西平果·期末）已知数列{an}的首项a1＝1，Sn为其前n项和，且Sn+1﹣2Sn＝n+1． （1）证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项； （2）求数列{nan}的前n项和Tn． 一、单选题 1．（22-23高二下·广西河池·期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 3．（23-24高二下·广西北海·期末）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 4．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列可能为常数列 B．数列可能为等比数列 C．若，则 D．若，记是数列的前项积，则的最大值为 5．（22-23高二下·广西钦州·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（    ）    A．一百零八塔共有12层塔 B．088号塔在第11层 C． D．的值约为53.2 三、填空题 6．（23-24高二下·广西北海·期末）已知正项等比数列的前项和为，若 ，则 的最小值为 7．（23-24高二下·广西南宁·期末）记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ． 四、解答题 8．（23-24高二下·广西联考·期末）已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. (1)求出的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 9．（22-23高二下·广西南宁·期末）数列的前项和为，且点在直线上． (1)求的通项公式； (2)等差数列的各项为正数，其前项和为，且，又，，成等比数列，求． 10．（22-23高二下·广西北海·期末）已知函数的首项，且满足. (1)求证：为等比数列，并求； (2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值. 11．（23-24高二下·广西平果·期末）已知数列 ​， 前​项和为​， 满足​. (1)求数列 ​的通项公式; (2)若 ​， 求数列​的前​项和​; (3)对任意 ​， 使得​恒成立， 求实数​的最小值. 12．（23-24高二下·广西南宁·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列 题型概览 题型01数列的概念与通项公式（精选12题） 题型02等差数列（精选16题） 题型03等比数列（精选15题） 题型04 数列求和（精选9题） 优选提升题（精选12题） 数列的概念与通项公式题型01 一、单选题 1．（23-24高二下·广西防城港·期末）已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察得到数列的通项公式，将代入求值即可. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：A 2．（23-24高二下·广西柳州·期末）在数列中，若，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据递推关系可得数列的周期，从而可求的值. 【详解】因为，，故，，， 故为周期数列且周期为3，而，故， 故选：C. 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数 ． 故选：B 4．（23-24高二下·广西百色·期末）已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 【答案】D 【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可. 【详解】解：， ， ，， ，， 显然，当时，满足， ∴， . 故选：D. 5．（22-23高二下·广西河池·期末）已知数列满足，，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用递推式求得数列的前若干项，发现数列的周期性，从而得解. 【详解】因为， 当时，得，即，显然不成立，故， 将进行变形，得， 则由得，，，，， 所以数列是以4为周期的周期数列， 又，所以. 故选：A． 6．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列为递减数列，结合与的关系即可求解. 【详解】因为，所以数列为递减数列，当时，， 故可知当时，单调递减， 故为递减数列，只需满足， 因为, 所以,解得， .故选:. 二、多选题 7．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，前n项的和为，关于，叙述正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 【答案】ABC 【分析】利用函数性质研究数列的性质，结合，的单调性逐项分析判断. 【详解】对于函数可知：在上单调递减， 且当时，；当时，. 故对于数列可知： 当，则； 当，则数列为递减数列，且； 故数列有最大值，有最小值，A、C正确； 又∵当，；当，； 故当，则； 当，则； 故有最小值，B正确，D错误； 故选：ABC. 三、填空题 8．（23-24高二下·广西联考·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 【答案】 【分析】从图（1）、图（2）、图（3）、…的个数之和找到对应的数字规律. 【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子； 第2个图中有11个化学键和10个原子； 第3个图中有16个化学键和14个原子， 观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子， 则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为. 故答案为： 9．（23-24高二下·广西南宁·期末）数列的前项和为，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 10．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知数列的前项和（），则 ． 【答案】 【分析】根据来求得数列的通项公式即可求解. 【详解】当时，， 当时，. 当时上式也符合， 所以. 所以. 故答案为：. 11．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知数列满足，，则 . 【答案】50 【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得. 【详解】根据题意，令，得 因为，所以，又， 所以是首项为的常数列，故，即，故， 所以. 故答案为：50. 四、解答题 12．（22-23高二下·广西河池·期末）设数列满足. (1)求的通项公式 (2)记数列的前n项和为，是否存在实数k，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，k的最小值为2. 【分析】（1）由题可得当时，，结合条件可得，即求； （2）利用裂项相消法可得，由题可得，即得. 【详解】（1）因为， ∴当时，， 当时，， 两式相减得，所以， 又，满足上式， 故的通项公式为. （2）由（1）知. 则. 因为，所以，所以， 由题可得, ∴存在实数k，使得对任意恒成立，k的最小值为2. 等差数列题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西联考·期末）已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等差数列的性质，，得，则公差，求解即可. 【详解】在等差数列中，，所以，所以公差. 故选：A. 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，，列出相关等式解求首项即可； 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 3．（22-23高二下·广西贵港·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求出，解决问题即可. 【详解】由，，取倒数得：， 则是以为首项，为公差的等差数列． 所以，所以； 由于，故． 故选：C. 4．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的各项均不为0，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】为公差为3的等差数列，求出，代入求解即可. 【详解】由，可知为公差为3的等差数列，且首项为， 故， 故，. 故选：C 5．（22-23高二下·广西钦州·期末）在等差数列中，，则（      ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】 由已知条件可得，然后计算即可. 【详解】设等差的数列的公差为， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：B 6．（22-23高二下·广西北海·期末）已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．180 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质结合已知条件可求得，再利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由，解得， 所以， 故选：C. 7．（23-24高二下·广西平果·期末）设等差数列，的前n项和分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合等差数列前项和公式求得正确答案. 【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是， 由于， 故可设，， 当时，， ， 所以， 所以. 故选：C 二、多选题 8．（23-24高二下·广西玉林·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当或时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得数列的通项公式为，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由数列的前项和为， 当时，， 又由，适合上式， 所以数列的通项公式为， 对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，当时，，所以C正确； 对于D中，因为的对称轴为，开口向下， 又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可. 【详解】等差数列中，，解得，而， 因此公差，通项， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，为递减数列，C正确； 对于D，，所以的前5项和为 ，D错误. 故选：BC 10．（23-24高二下·广西平果·期末）数列的前项和为，已知，则（    ） A．是递增数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】CD 【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 不满足上式， 所以， 对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误， 对于B，由于，，，所以， 所以不是等差数列，所以B错误， 对于C，由，得，所以当时，，所以C正确， 对于D，，因为， 所以当或4时，取得最大值，所以D正确， 故选：CD. 11．（22-23高二下·广西防城港·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列为等差数列 D．为奇数时， 【答案】AC 【分析】对于AB，利用递推式直接求出即可判断；对于C，利用递推式得到，从而得以判断；对于D，同理可得，再结合选项C中的结论，利用等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，则，故A正确； 对于B，因为，，所以不是等差数列，故B错误； 对于C，因为，所以， 两式相减，得，所以为等差数列，故C正确； 对于D，因为，所以， 两式相减，得，所以数列的奇数项为等差数列，公差为， 又由选项C知，的偶数项也为等差数列，公差为，， 当为奇数时， ，故D错误. 故选：AC. 12．（22-23高二下·广西贵港·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其意思是：今有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共步行了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【答案】BCD 【分析】根据等差数列的前9项和和首项求出公差判断A，根据通项公式计算第3项判断B，根据求和公式计算前7项和及前8项和即可判断C、D. 【详解】由题意,设此人第一天走里，第天走里，则是等差数列，， 由，可得，故选项A错误； 所以，故选项B正确； 所以，所以，，故选项C、D正确. 故选：BCD. 三、填空题 13．（22-23高二下·广西河池·期末）已知等差数列，且，则数列的公差为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据等差数列的性质计算求得，结合，即可求得答案. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又，设公差为d，所以公差， 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高二下·广西崇左·期末）已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 【答案】（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论； （2）由等差数列的通项公式运算即可得解. 【详解】（1）数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以， 又因为， 故， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 所以. 15．（22-23高二下·广西桂林·期末）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和，求n． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组，即可求得答案； （2）利用等差数列的前n项和，解方程可得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为d， 则，解得， ∴． （2）由以及，，，    得方程，整理得， 解得或（舍去）， 故． 16．（23-24高二下·广西平果·期末）已知数列的前项和为,且满足,且. (1)求证:数列为常数列,并求的通项公式; (2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值. 【答案】(1)证明见解析, (2);的最小值为: 【分析】(1)中两边同除,再结合裂项即可同构出所需数列;(2)中由不等式成立的最小整数为可以确定为二次函数且开口向上,结合,即可求出,从而就确定了. 【详解】（1）因为,两边同除得, , 所以 所以数列为常数列; 所以. （2）由(1)知,数列是等差数列, 所以 因为,化简得; 令, 则成立的最小值为, 所以;解得. 因为,所以; 所以,故的最小值为. 等比数列题型03 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，得． 故选：C 2．（23-24高二下·广西崇左·期末）某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的求和公式即得. 【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为； . 故选：D 3．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据通项公式求公比，再由等比数列求和公式可得首项. 【详解】设等比数列的公比为，， 即，， ，． 故选：B． 4．（23-24高二下·广西北海·期末）数列的前n项和为，且 ，则等于（    ） A．120 B．122 C．124 D．126 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式计算即得. 【详解】依题意，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 故选：D 5．（23-24高二下·广西桂林·期末）在数列中，，对任意m，，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用恒等式赋值得到等比递推，即可求解. 【详解】令得：，所以是等比数列，首项为，公比为， 则，即 ， 故选：C. 6．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解. 【详解】由，，得,即，解得. 因为，所以， 两式相减得，即. 又，，所以， 所以是首项为2，公比为3的等比数列， ∴，． 故选:D. 7．（22-23高二下·广西钦州·期末）小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款.已知月利率为，按复利计算，则小华每期付款金额约为（    ）（参考数据：，，） A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元 【答案】C 【分析】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，根据已知条件，依次写出，，，，，结合及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元， 则， ， ， ， 因为，所以， 即， 所以小华每期付款金额约为883元. 故选：C. 二、多选题 8．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是递增数列 C． D． 【答案】AC 【分析】根据所给递推关系求判断A，由关系得出数列为等比数列判断BC，由求和公式判断D. 【详解】当时，，解得，故A正确； 当时，由可得，，两式相减得， 数列是等比数列，公比，且首项，所以数列是递减数列，故B错误； 由等比数列求和公式知，，故C正确； 由C知，，故D错误. 故选：AC 9．（22-23高二下·广西北海·期末）下列说法中，正确的有（    ） A．已知，则数列是递减数列 B．数列的通项，若为单调递增数列，则 C．已知正项等比数列，则有 D．已知等差数列的前项和为，则 【答案】ABD 【分析】由，可判定A；恒成立，可判定B；根据，，得到，可判定C；由构成等差数列，列出方程求得，可判定D. 【详解】对于A中，由，可得，所以数列是递减数列，所以正确； 对于B中，若数列的通项， 则恒成立， 所以，所以B正确； 对于C中，正项递增的等比数列， 若，可得， 此时，所以C不正确； 对于D中，等差数列的前项和为且， 根据构成等差数列，即构成等差数列， 可得，解得，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可化简求解. 【详解】由得,所以, 故答案为： 11．（22-23高二下·广西钦州·期末）设等比数列的前项和为，且，，则 . 【答案】60 【分析】根据已知条件及等比数列前n项和公式求得，再求 【详解】因为数列是等比数列，且，， 设首项、公比分别为，显然，， 所以，两式相除得，可得， 所以 故答案为：60 12．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】由两边同时除以，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由两边同时除以，得， 则，，，， 上面的式子相加可得：， 所以， 故答案为：. 13．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】按公比是否为1分类讨论，在时，用表示出，再列式并借助二次函数最值求解作答. 【详解】设正项等比数列的公比为，当时，，则， 当时，， ， 于是， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 14．（23-24高二下·广西北海·期末）在等比数列中，已知，. (1)求公比及数列的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1)或，或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件得到方程，解得或，再利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）利用（1）中结果及等比数列前项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，即，解得或， 当时，， 当时，. （2）由（1）知当时，， 当时，. 15．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 数列求和题型04 一、解答题 1．（23-24高二下·广西百色·期末）已知等差数列和正项等比数列满足：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出公差和公比，由题设列出方程组解得和，即得两数列的通项； （2）由（1）结论求得数列的通项，利用分组求和法计算即得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①， 由可得：，即②， 联立①②解得：或，因，故， 于是，. （2）由（1）得：，，则， 故 . 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等差数列的公差与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前20项和T20. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用等差数列的性质，求得，再由，列出方程求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得数列，结合等差数列的求和公式和裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得 又因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），可得数列，可得， 所以， 则 . 故数列的前20项和为. 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知等比数列的公比为q，，，设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组，求解即得的通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由，得，由，得， 联立解得，， 所以的通项公式. （2）由（1）得，，则， ， 于是， 两式相减得： ， 所以. 4．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以. （2）， 所以 5．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列前项公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【详解】（1）设的公差为，则，， 解得，. 故. （2）由（1）可得， 所以，① 则，② ①②，得 ， 所以. 6．（23-24高二下·广西北海·期末）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明. 【详解】（1）， 由， 所以， 所以． （2） 所以 7．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知①；②；③，在这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 设正项等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，________，，对都有成立． (1)求数列、的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明． 【答案】(1)条件选择见解析，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据求得，利用即可求得的通项公式；选①或②或③，都是求得等比数列的公比，即可求得的通项公式； （2）由（1）结果可得，利用错位相减法求得，即可证明结论. 【详解】（1）时，，∴， 时，， 又符合上式，∴，∴， 因为为正项等比数列，设其公比为q，∴． 选①，，∴， ∴或（舍），∴； 选②，，∴，∴； 选③，由得，∴或（舍）， ∴， 故数列、的通项公式分别为，． （2）证明：由（1）知， 故， 则， 故，得， 故． 8．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解； （2）先求数列的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，由，得， 则， 因为，所以； （2）由（1）可知，， 则， 则， 则 ， 所以． 9．（23-24高二下·广西平果·期末）已知数列{an}的首项a1＝1，Sn为其前n项和，且Sn+1﹣2Sn＝n+1． （1）证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项； （2）求数列{nan}的前n项和Tn． 【答案】（1）证明见解析，，（2） 【分析】（1）由，得，两式相减，再利用可求出的关系，然后利用等比数列的定义可推出，并检验的情形，利用等比数列的通项公式先求得数列{an+1}的通项公式，即可得数列{an}的通项； （2）由（1）知，，设数列的前项和为，先利用错位相减法求出，再根据分组求和法求出 【详解】（1）证明：由，得， 所以，即， 所以，所以， 当时，，由于，所以得， 所以符合上式， 所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以数列{an}的通项为， （2）由（1）知，， 设数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得， ， 所以， 所以 【点睛】此题考查等比数列的证明、数列的通项公式与前项和的求法，运用了定义法、、错位相减法等方法，考查运算能力，属于中档题 一、单选题 1．（22-23高二下·广西河池·期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列递推式求出的表达式，设，可求得其表达式，根据的最大值仅为，可判断数列单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意， 令， 即数列是等差数列，前项和最大值仅为，则， 解得， 故选：C． 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】 根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式及指数不等式进行求解. 【详解】 由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列. 设最小的正三角形的边长为米， 则，则，即，得， 故最小的正三角形的边长为米. 故选：B. 二、多选题 3．（23-24高二下·广西北海·期末）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 【答案】ABD 【分析】对于选项A：根据等差数列通项公式运算即可；对于BC：分析可知公差，结合等差数列通项公式运算求解；对于D：可知公差，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A 正确； 对于选项BC：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则，令，解得， 所以是数列中的项，故 C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则，即， 所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确. 故选 ：ABD. 4．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列可能为常数列 B．数列可能为等比数列 C．若，则 D．若，记是数列的前项积，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D. 【详解】A.当时，，得或（舍）， 此时为常数列，故A正确； B.，， ， 若时，此时，不是等比数列， 若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确； C.若，，所以，故C错误； D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列， ，数列单调递减，， 当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 5．（22-23高二下·广西钦州·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（    ）    A．一百零八塔共有12层塔 B．088号塔在第11层 C． D．的值约为53.2 【答案】ABD 【分析】由等差数列的求和公式可判断A；可先求出第12层有19座塔，进而可判断B；由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即可判断C；由等差数列通项公式计算即可判断D. 【详解】设数列1，3，3，5，5，7…为， 由题意，构成等差数列，公差，， 设塔共有层，则， 解得，故A正确； 由于第12层有座塔，， 所以088号塔在11层最后第二个，故B正确； 由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座， 所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即有，故C错误； 由C的分析可知，构成等差数列，公差，， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 6．（23-24高二下·广西北海·期末）已知正项等比数列的前项和为，若 ，则 的最小值为 【答案】/ 【分析】根据条件，得到，，从而得到，可知当时，，当时，，即可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知且， 由，得到，得到，解得， 所以，得到，所以 故， 易知当时，，当时，， 故的最小值为， 故答案为：. 7．（23-24高二下·广西南宁·期末）记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ． 【答案】1296 【分析】首先由递推关系算出，求出，再由等比中项得到，解出，最后由基本量法求出，求出最后结果即可. 【详解】依题意，， 故当时，， 当时，， 依题意，两式相减可得，，则， 因为当时，也满足， 所以，，故； 因为，，是等比数列的前三项， 所以， 则， 化简得，，解得或（舍去） 所以，， 所以等比数列的公比，通项公式， 故. 故答案为：1296 四、解答题 8．（23-24高二下·广西联考·期末）已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. (1)求出的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式. （2）由得，利用错位相减法求出，不等式可转化为，利用的单调性求出最小值即可. 【详解】（1）∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴， ∴当时，， 即，∴，∴. 又也满足上式，∴数列的通项公式为； （2）由（1），可得， ∴①， ②， 由①-②，得， ∴， ∴不等式可化为， 即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为. 又，所以， 综上，λ的取值范围是. 9．（22-23高二下·广西南宁·期末）数列的前项和为，且点在直线上． (1)求的通项公式； (2)等差数列的各项为正数，其前项和为，且，又，，成等比数列，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系求解即可； （2）设的公差为，根据题意求出等差数列的首项与公差，再根据等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）由，可得， 两式相减，得，， 又因为，所以， 故是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； （2）设的公差为，由，得， 可得， 故，， 又，，， 由题意可得， 解得，， 因为等差数列的各项为正数，所以， 所以，则， 所以. 10．（22-23高二下·广西北海·期末）已知函数的首项，且满足. (1)求证：为等比数列，并求； (2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值. 【答案】(1)证明见解析， (2)610 【分析】（1）根据条件，得出，再利用等比数列的通项公式求出，进而求出结果. （2）分组求和得出.根据错位相减法求，得出，即可得出，然后根据，即可得出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，整理得到， 所以. （2）因为， 所以 . 设，所以， 所以 所以， 所以. 因为，所以， 所以. 11．（23-24高二下·广西平果·期末）已知数列 ​， 前​项和为​， 满足​. (1)求数列 ​的通项公式; (2)若 ​， 求数列​的前​项和​; (3)对任意 ​， 使得​恒成立， 求实数​的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用前n项和法求通项(要注意讨论) (2)利用错位相减法求数列前n项和 (3)恒成立问题利用分离参数法进行处理. 【详解】（1）​， ​时有​， ​时有​， ​ ​， ​ 又 ​， 也符合上式， 故数列 ​是首项为 1 ， 公比为 2 的等比数列， ​ （2）由（1）知 ​， ​，① ​，② 由①-②有：​ ​ ​ ​ （3）​​ 而当 ​时，​有最大值​， 故 ​的最小值是​. 12．（23-24高二下·广西南宁·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 【答案】(1) ，， (2)证明见解析 【分析】（1）由， ，解方程求，同理可求 ； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件 ，证明，结合等差数列定义证明结论. 【详解】（1）当时 ，由已知， ，知 ， 又由，可知， 所以，又， 所以符合题意， 同理，由 ，，得或， 又，所以， 由 ，，得， 又， 符合题意. （2）因为 ，所以 ， 所以或， 即或， 因为， 所以，， 所以，， 所以或或， 又，所以， 则， 所以， 所以数列 是公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，利用好“正余弦错位数列”的定义条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$