专题02 圆锥曲线（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题02 圆锥曲线 题型概览 题型01椭圆（精选8题） 题型02双曲线（精选6题） 题型03抛物线（精选6题） 优选提升题（精选4题） 椭圆题型01 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 2．（22-23高二下·广西河池·期末）已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·广西崇左·期末）已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为 D．若椭圆的离心率为，则 三、填空题 5．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 6．（22-23高二下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左，右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一交点为，若，则直线的斜率为 .    四、解答题 7．（22-23高二下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点到点的距离与直线的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设曲线与轴交于、两点，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，），若直线与的交点为，记直线与的斜率分别为，，求. 8．（22-23高二下·广西河池·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程． 双曲线题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·广西南宁·期末）直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则离心率（    ） A．4 B．3 C． D． 4．（22-23高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 6．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值. 抛物线题型03 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为点，准线与对称轴的交点为，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，则下列结论正确的是（    ） A．当，点到准线的最小距离为4 B．当时，直线的斜率最小值为 C．当直线过点时，斜率 D．当直线过点时， 3．（22-23高二下·广西河池·期末）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（    ） A． B．准线方程为 C．以线段为直径的圆与的准线相切 D．直线的斜率之积为定值 4．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 三、解答题 5．（23-24高二下·广西崇左·期末）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 6．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 一、单选题 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 三、解答题 3．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点F在直线上． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 4．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：为定值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆锥曲线 题型概览 题型01椭圆（精选8题） 题型02双曲线（精选6题） 题型03抛物线（精选6题） 优选提升题（精选4题） 椭圆题型01 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】分焦点在轴上和轴上讨论，分别计算和，得到答案. 【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则离心率，得，此时半焦距； 若椭圆的焦点在y轴上，则离心率，得，此时半焦距， 所以该椭圆的半焦距为3或． 故选：D． 2．（22-23高二下·广西河池·期末）已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解. 【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形， 则椭圆的离心率为. 故选：A.    3．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 二、多选题 4．（23-24高二下·广西崇左·期末）已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为 D．若椭圆的离心率为，则 【答案】BC 【分析】由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可. 【详解】由题意，A错； 椭圆的焦点在y轴上，则，B对； 若，则，故，该椭圆的焦距为，C对； 若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错. 故选:BC. 三、填空题 5．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理列等式，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】 由，，得， 而，由勾股定理有， 所以，所以，故． 故答案为：. 6．（22-23高二下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左，右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一交点为，若，则直线的斜率为 .    【答案】 【分析】由求出，设，可得，从而，进而由，可求出. 【详解】由椭圆的对称性及得， 因为，所以， 设，则，即， 则， 因为，所以，所以，所以， 故. 故答案为： 四、解答题 7．（22-23高二下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点到点的距离与直线的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设曲线与轴交于、两点，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，），若直线与的交点为，记直线与的斜率分别为，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，根据给定条件列出方程，再化简即可作答. （2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，利用韦达定理、斜率坐标公式推理计算作答. 【详解】（1）设，依题意，，整理得， 所以动点的轨迹是椭圆，其方程为. （2）由（1）知，不妨令，设， 显然直线不垂直于y轴，设直线的方程：，      由消去x并整理得，有，即， 于是，即有， 由,,和,,三点共线，得，即， 而，从而， 因此，解得，而， 所以. 8．（22-23高二下·广西河池·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）联立方程组，根据，得到的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可得，且，所以，则， 所以椭圆的方程为. （2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为， 联立方程组，整理可得， 由判别式，解得， 设，则， 可得 ， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以所求直线的方程为或．    双曲线题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出即可得解. 【详解】由双曲线知，， 所以， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用渐近线的斜率公式结合倾斜角与斜率之间的关系，即可解决. 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 3．（22-23高二下·广西南宁·期末）直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则离心率（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】联立，消元结合韦达定理可求得，再根据即可求解. 【详解】联立，得， 因为，即， 所以由韦达定理得，解得， 所以． 故选：C 4．（22-23高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2a，计算渐近线即可. 【详解】    因为线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点 所以， 则渐近线方程为． 故选:B． 二、填空题 5．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 设，则， 可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值3． 故答案为：3. 三、解答题 6．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题得，进而即得； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，根据直线，的方程表示出结合韦达定理即得. 【详解】（1）由题意可知， 解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，代入中， 可得，设， 则.    直线的方程为， 令，得点的纵坐标为， 直线的方程为， 令，得点的纵坐标为， 因为， 所以，即. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 抛物线题型03 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合，通过三角形相似找到的关系，建立关于的等式，进行求解． 【详解】根据题意作下图： ， ， 垂直于轴， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 故选：B． 二、多选题 2．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为点，准线与对称轴的交点为，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，则下列结论正确的是（    ） A．当，点到准线的最小距离为4 B．当时，直线的斜率最小值为 C．当直线过点时，斜率 D．当直线过点时， 【答案】CD 【分析】根据给定条件结合抛物线定义判断A；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、数量积的坐标表示结合均值不等式判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，由判别式及中点坐标公式判断CD作答. 【详解】对于A，作，连接，其中为准线，如图， 由抛物线定义知，，即， 当且仅当在上，且轴时取等号，此时直线的斜率为0，与矛盾，A错误； 对于B，设，由消去y并整理得， 当时，设，则，即， ，因此，而，即， 于是，即，解得或(舍去)， 此时，满足题意，又， 因此直线的斜率， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，直线过点时，直线的方程为， 由消去y并整理可得，设， 则，解得，C正确； 因此，即，D正确. 故选：CD 3．（22-23高二下·广西河池·期末）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（    ） A． B．准线方程为 C．以线段为直径的圆与的准线相切 D．直线的斜率之积为定值 【答案】ACD 【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点， 因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A正确； 对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点， 过点作准线的垂线，垂足为，可得，所以C正确； 对于D中，设，联立方程组， 整理得，可得，则， 所以D正确. 故选：ACD.    4．（22-23高二上·广西南宁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】ABD 【分析】确定，，设，计算A正确，联立方程得到B正确，，C错误，过点作垂直于准线于，计算得到D正确，得到答案. 【详解】抛物线C：，即，，，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确； 对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确； 对选项C：，时取等号，错误； 对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确. 故选：ABD 三、解答题 5．（23-24高二下·广西崇左·期末）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 6．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解， （2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 一、单选题 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 又因为，且分别为，的中点，所以, 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：① 因为，所以即， 整理得：，将①代入，，所以. 故选：C. 二、多选题 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】A.根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A，根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点， 则， ，得，连接， 则， 所以，A选项正确； 同理，是直角三角形.. 由正弦定理，得选项错误； 若，则， 且，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 因为，即， 解得，若，即， 则 即，即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形内切圆的圆心在长轴的射影为顶点. 三、解答题 3．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点F在直线上． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标可得，即可得方程； （2）设，，，，联立方程结合韦达定理可得，结合消元即可得结果. 【详解】（1）由题意可得，则，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）设直线MN的方程为：，，，， 不妨设， 联立直线MN与抛物线C的方程，消去y可得， 由，且，解得且， 则，， 因为，则， 整理可得，即， 又因为点Q在直线MN上，则，消m得， 且且，可得得且， 所以点Q在定直线：（且）上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求出，得到椭圆的标准方程； （2）应用弦长公式分别求出计算化简可得定值. 【详解】（1）因为椭圆：过点， 所以， 又椭圆的离心率为，则 所以， 故椭圆方程为 （2）设直线的方程为， 所以， 设，由， 得， 则， 所以， 设直线的方程为， 由，得， 设，则，则， 所以， 故， 因此为定值. 【点睛】关键点点睛：定值取得的关键是对弦长公式的应用及结合图形的对称性得出. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$