8.5 直线与圆锥曲线的位置关系(十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

8.5 直线与圆锥曲线的位置关系

考点1 直线与圆锥曲线的位置关系

1.(2024新课标Ⅰ,11,6分,难)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.则(　　)

A.a=-2

B.点(2,0)在C上

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤

答案　ABD

对于A,因为点O在曲线上,所以点O到直线x=a(a<0)的距离为-a,而|OF|=2,所以-a·2=4,即a=-2,故A正确;

对于B,由题意可知曲线C的方程为(x+2)=4,把点(2,0)代入,满足方程,故B正确;

对于C,y2=-(x-2)2,

令f(x)=-(x-2)2,x>0,

则f'(x)=--2(x-2),

则f(2)=1,f'(2)=-<0,

所以在x=2的左侧必存在一个区间(2-ε,2)满足f(x)>1,因此y的最大值一定大于1,故C错误;

对于D,=-(x0-2)2≤,x0>-2,

则y0≤,故D正确.

故选ABD.

 

 

 

2.(2023新课标Ⅰ,22,12分,难)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程;

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3.

解析　(1)设P(x,y),由题意可得=|y|,整理得x2-y+=0,因此W的方程为y=x2+.

(2)证明:不妨设A,B,C三点在W上,如图所示.

设B,A,C,AB的斜率为k,则直线BC的斜率为-(k≠0),

直线AB,BC的方程分别为y-=k(x-x0),y-=-(x-x0),即直线AB,BC的方程分别为y=kx-kx0++,y=-+++,

联立直线AB与抛物线W的方程可得消去y得x2-kx+kx0-=0,

则Δ=k2-4kx0+4=(k-2x0)2>0,k≠2x0.

由根与系数的关系得x0+x1=k,x0·x1=kx0-,

∴|AB|=·|x1-x0|=·=|k-2x0|.

同理,联立直线BC与抛物线W的方程,并消去y得x2+x-x0-=0,且|BC|=·|x2-x0|=·=,

∴|AB|+|BC|=|k-2x0|+.

由对称性不妨设0<|k|≤1,

则=≥(当|k|=1时取“=”),

∴|AB|+|BC|≥>=,令t=k2,则t∈(0,1],

则=,令g(t)=,t∈(0,1],

则g'(t)==,

当0<t<时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当<t≤1时,g'(t)>0,g(t)单调递增,