精品解析：天津市滨海新区大港油田第三中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性考试数学试卷

天津市滨海新区大港油田第三中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性考试数学试卷 第I卷 选择题 （60 分） 注意事项: 1. 每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2. 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 2. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 4. 设随机变量，，则（ ） A. 0.70 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.25 5. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 6. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 7. 下列命题正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知随机变量，则 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 从某学校获取了数量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如面表格：语文成绩优秀的人中数学成绩优秀的频率为，通过计算，则（ ） 数学 语文 合计 不优秀 优秀 不优秀 优秀 合计 A. ，数学成绩与语文成绩无关联 B. ，数学成绩与语文成绩无关联 C. ，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001 D. ，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001 10. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 12. 若，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 第II卷 非选择题 （90 分） 注意事项:用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上 二、填空题: 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 13. 已知实数为函数的极小值点,则_____. 14. 用这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 15. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是_________. 16. 甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为________． 17. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是___________. 18. 若 ，则 _____；_____. 19. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 20. 在下表统计量中，有一个数值不清晰，用m表示． x 1 2 3 4 5 y 6.3 7.4 8.1 8.7 m 已知表中数据的经验回归方程同时满足：①过点；②x每增加一个单位，y增加0.77个单位，则____________当；时，____________． 三、解答题:本大题共 4 小题，共 50 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. （1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； （2）设表示取到豆沙粽的个数，求随机变量的分布列与数学期望. 22. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为. （1）求n和a的值； （2）求的展开式中的常数项. 23. 在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. （1）求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； （2）求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； （3）甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 24. 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区大港油田第三中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性考试数学试卷 第I卷 选择题 （60 分） 注意事项: 1. 每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2. 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式即可判断AC；利用复合函数的求导公式即可判断B；利用导数的加法法则即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 3. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD. 【详解】对于A，，不满足取极值的必要条件，故A错误； 对于B，当时，，这表明在上单调递增，故B错误； 对于C，，不满足取极值的必要条件，故C错误； 对于D，当时，，当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数，故D正确. 故选：D. 4 设随机变量，，则（ ） A. 0.70 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.25 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性得即可计算. 【详解】由题意有， 故选：C. 5. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法， 再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法. 故选：B 6. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【详解】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D 7. 下列命题正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知随机变量，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二项分布的期望与方差，以及期望与方差的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由随机变量，因为， 可得，可得，所以A错误； 对于B中，由变量满足，可得，所以B错误； 对于C中，由随机变量，可得， 则，解得，所以C错误； 对于D中，由随机变量，可得，所以D正确. 故选：D. 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性相关系数，独立性检验，残差图及决定系数的概念分别判断即可． 【详解】线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确； 独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确； 回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故④正确； 故选：C． 9. 从某学校获取了数量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如面表格：语文成绩优秀的人中数学成绩优秀的频率为，通过计算，则（ ） 数学 语文 合计 不优秀 优秀 不优秀 优秀 合计 A. ，数学成绩与语文成绩无关联 B. ，数学成绩与语文成绩无关联 C. ，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001 D. ，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【解析】 【分析】根据成绩优秀的人数以及其中数学成绩优秀的人数可得频率，根据，由独立性检验的性质可得结论. 【详解】由列联表可知：语文成绩优秀的人数为130，其中数学成绩优秀的人数为70， 所以语文成绩优秀的人中数学成绩优秀的频率为， 由已知， 所以数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001， 故选：C. 10. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围. 【详解】， ，解得， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 令，解得或， 易得在上单调递增，在上单调递减，故， 故实数的取值范围是. 故选：A. 11. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 12. 若，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化为求解的最小值问题，求导，求出函数的单调区间，即可求出最值. 【详解】因为，恒成立，所以在上恒成立， 令，，则， 所以， 令，，则，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，当时，， 即，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，所以. 故选：A 第II卷 非选择题 （90 分） 注意事项:用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上 二、填空题: 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 13. 已知实数为函数的极小值点,则_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】解： 令解得或，即函数在和上单调递增； 令解得，即函数在上单调递减； 故函数在处取得极小值. 即 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14. 用这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 【答案】 【解析】 【分析】组成没有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类; 个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解. 【详解】由题意，从六个数字中任取个数字组成没有重复数字的三位偶数，可分为两类， 当末位是时，这样的三位数有个 当末位不是时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有 综上得这样的三位数共有个. 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题.使用两个计数原理进行计数的基本思想: 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 15. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数在定义域上单调递增，由恒成立求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 16. 甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行两局为事件，根据条件概率公式分别求解、的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行两局为事件， ， ， 故． 故答案为：． 17. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数g(x)=，通过研究新函数在定义域内单调性并结合奇偶性解不等式即可． 【详解】令g(x)=， ∵当时，， g(x)=在上为增函数， 又∵是定义在R上的偶函数，∴g(x)是定义域为的奇函数， g(x)在上也为增函数， (1)，∴g(-1)=g(1)=0， 则g(x)图象近似如下： 原不等式等价于g(x)>0， 由图可知解集为：． 18. 若 ，则 _____；_____. 【答案】 ①. ②. 243 【解析】 【分析】利用二项式定理求出指定项系数；再用赋值法求解. 【详解】依题意，，取，得. 故答案：；243. 19. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则.  表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .  根据条件概率公式 ，可得 .   随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  根据期望公式 可得 .   故答案为：；. 20. 在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用m表示． x 1 2 3 4 5 y 6.3 7.4 8.1 8.7 m 已知表中数据的经验回归方程同时满足：①过点；②x每增加一个单位，y增加0.77个单位，则____________当；时，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由经验回归方程恒过样本点的中心求解，进而求得经验回归方程，即可求解时的值． 【详解】，， 因为经验回归方程过点， 所以，解得， 由，可得，则， 当时，， 故答案为：，． 三、解答题:本大题共 4 小题，共 50 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. （1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； （2）设表示取到豆沙粽的个数，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望 【解析】 【分析】（1）根据古典概型以及组合数计算求得正确答案. （2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， 则，，， 所以的分布列如下： 所以. 22. 已知展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为. （1）求n和a的值； （2）求的展开式中的常数项. 【答案】（1） （2）448 【解析】 【分析】（1）根据结论得到方程组，解出即可； （2）首先对原式整理为，写出展开式的通项，再求出其常数项即可得到答案. 【小问1详解】 ∵由条件可得， ∴解得. 【小问2详解】 . ∵展开式的通项为： . ∴①当即时，； ②当即时，； ∴所求的常数项为. 23. 在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. （1）求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； （2）求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； （3）甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计算概率，再应用互斥事件的概率是概率的和即得； （2）分别求出对于概率写出分布列再计算数学期望即可； （3）先计算甲在1组中得2分或3分的概率，再根据二项分布求概率即可. 【小问1详解】 设甲恰好套中1次为事件A， 【小问2详解】 由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， ， 故X的分布列是： X 0 1 2 3 4 P 则X的均值为：； 【小问3详解】 设甲在1组中得2分或3分的事件为B， 则 设5组游戏中，甲恰有3组游戏中得2分或3分为事件C， 则， 则. 24. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $