专题06 二次函数的综合题（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题06 二次函数的综合题 1．（2025·山西运城·一模）综合与实践 如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标． (3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． 将点和代入解方程组得到结论； 由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论； 如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由得点，， 设直线的解析式为， 解得， 直线的解析式为； 设点， 轴， ， ， ， ， ， 解得或不合题意，舍去， 当时，， 点P的坐标为； （3）存在． 如图2，过点P作轴交直线于G， 设点P的坐标为，则， ，，， ，，， ， ， 当时．有最大值，最大值为， 点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为 2．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)点时， 的面积最大为 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出的面积是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可解答； （2）求得点的坐标，得到的长度，即可解答； （3）过点作的平行线交直线于点，设的横坐标为，求得的长，进而表示出的面积，利用二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数解析式， 可得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为平行四边形， 根据勾股定理可得， ， 平行四边形为菱形； （3）解：设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点作的平行线交直线于点， 设点，则点， ， ， 当，即时， 的面积最大为． 3．（2025·山西·一模）如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． (1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． (2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． (3)若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①；②点P的坐标为或或或 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为，求出当时的的值即可得解； （2）由抛物线解析式得出，将代入得出，即可得解； （3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线，求出，再将、代入抛物线解析式计算即可得解；②由①可得：，，，根据并结合题意得出或，分别求解即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为， 当时，，此时该抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：∵A为顶点的抛物线， ∴， 将代入得：， 即， ∵k与m满足一次函数， ∴，； （3）解：①∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 在中，当时，，即， 将、代入抛物线解析式可得：， 解得：或， 当时，，故不符合题意，舍去； 当时，， ∴抛物线的解析式为； ②由①可得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴或， 当时，，解得：或，此时或； 当时，，解得：或，此时或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：如图1，是学校操场一角的劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量米，米，根据学校开展劳动教育的需要，现要对该土地进行种植区域划分，设计如下方案： 方案设计：①取的中点，在的区域内种植西红柿；②过点作的垂线交抛物线于点，测得米，又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角． 方案实施：学校课程中心的老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个形状的遮阳网，如图．请求出该遮阳网面积最大时点的坐标； (3)请你直接写出（2）中遮阳网面积最大时，点到的距离． 【答案】(1) (2)（12，16） (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）依题意，，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，则，设的面积为，则，得出关于的关系，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，代入，得， 解得： ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：如图，过点作轴于点， ∵ ∴ 设，则 设的面积为，则 ∵ ∴有最大值 当时 有最大值 ∴ （3）∵ ∴， 由（2）可得有最大值 设点到的距离为，则． 解得： 即点到的距离为 5．（2025·山西黎城·一模）如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）由题意可得抛物线的顶点为，从而可得，求出、的值即可得解； （2）求出直线的表达式为解方程组得，从而可得点F的坐标为．连接，过点P作轴，垂足为M，由题知轴，求出 ，设点P的坐标为，则当时，，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题知，抛物线的顶点为， ∴ ∴，， 解得：，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：存在． 理由：∵直线与x，y轴分别相交于点D，E， ∴当时，，解得， ∴点D的坐标为． ∵解，得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为 解方程组得， ∴点F的坐标为． 连接，过点P作轴，垂足为M， 由题知轴，，，， 设点P的坐标为， 当时，， 解得，（舍）， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入 ，求得，则，由平移的性质得 ．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得 ．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 【答案】[任务一]函数思想；[任务二] 证明见解析；[任务三] 【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． [任务一]根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可； [任务二]设点是函数上的一点，点是函数平移后对应的点，根据[任务一]中的方法进行验证，即可； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得平移后的函数表达式为：，根据题意，求出点，点的坐标，即可求出的值． 【详解】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想； 故答案为：函数思想； [任务二]设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点， 当时，， ∵点为上的点， ∴， ∴， ∴点在函数上， ∴平移后的表达式为：； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵平移后的函数与直线交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∴． 7．（2025·山西长治市·一模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解； （2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解； （3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）由题意，设， ． 又在抛物线， ． 或（舍去）． ； 答：门高为； （3）由题意，，， 直线为． 又∵， 可设为． ． ． △． ． 直线为． 令， ．即， 答：此时的长为． 8．（2025·山西·中考模拟）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为 【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可； （2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可； （3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，，设，则 ，根据二次函数性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ，设， 则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设所在直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． （3）设与交于点N． 过B作y轴的平行线与相交于点M． 由A、C两点坐标分别为， 可得所在直线表达式为 ∴M点坐标为， 由，可得， 设，则 ， ∴当时，有最大值0.8， 此时P点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题． 9．（（2025··山西长治·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点M的坐标为； (3)存在，点P的坐标为或． 【分析】（1）先求出点、、的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点M作轴交于点E，由题意可得点M的坐标为，点E的坐标为，在中，，，解直角三角形并结合二次函数的性质即可得解； （3）作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N，则，设，由勾股定理求出，再由，求出即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 解得，． 点A在点B的左侧， A，B两点的坐标分别为，． 当时，， 点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：如图，过点M作轴交于点E， 点B的坐标为，点C的坐标为， ，． 在中，根据勾股定理可得． 为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E， 点M的坐标为，点E的坐标为， ． 轴， ， ． 在中，，， ， 当时，线段最长， 点M的坐标为 （3）解：存在，点P的坐标为或． 如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，， ，， ，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，， ， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为：；直线的解析式为 (2) (3)或或 【分析】（）待定系数法即可求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的表达式； （2）过点作轴于点，交于点，由（1）知直线的解析式为，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∵与轴交于点，， 当时，， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由（1）知直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为； （3）解：∵抛物线， 将该抛物线向左平移个单位，得到，对称轴为直线， 由（2）知点D的横坐标为2，则， ， 点向左平移个单位得到， ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴， ∴， ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点， 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标． (2)当的面积等于的面积的时，求m的值． (3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2)1 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，令，可得点C的坐标． （2）过点P作x轴的垂线，交于点E．利用待定系数求出直线的函数表达式，设点P的坐标为，则点E的坐标为，用含m的式子表示出，再根据点的坐标计算出，即可求解． （3）分两种情况：①当为边时，点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，同样点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，由此列方程组；当为对角线时，由中点公式列方程组． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 解得 抛物线的函数表达式为 令，则． 点C的坐标为． （2）解：如图，过点P作x轴的垂线，交于点E． 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ． ， ． 的面积等于的面积的， ， 解得或（舍去）， 的值为1． （3）解：存在，点M的坐标为或或或． 当时，点， 设点，点 ①当为边时， 点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，同样点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点， 故或， 解得或或或， 故点M的坐标为或或或． 当为对角线时， 由中点公式得，方程无解． 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像中的面积问题，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合与及分类讨论思想是解题的关键． 12．（2025·山西·模拟预测）已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：    (1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； (2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方： ①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)① 或 ② ③最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）①根据是以为底边的等腰三角形，可得，建立方程求解即可得出答案； ②过点作轴于点，则，证得，可得，即，解方程即可； ③设，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，即可得出：，，即，，再运用三角形面积公式即可求得，再利用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线，经过，两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点的坐标为； （2）令，得， 解得：，， ，， 设，且， ①， ， ， ， 是是以为底边的等腰三角形， ∴，即， ， 整理得：， 解得：或， ∴ 或； ②如图，过点作轴于点，则，   ， ， ，即， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； ③设，如图，   ， 直线的解析式为， 令，得， ， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 令，得， ， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性． 13．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标； (3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或． (3)有，P点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线经过点，点，用待定系数法即可求解； （2）分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可． （3）根据垂直及对顶角相等易证证明，可得的周长：的周长，求出直线的解析式，设，，的周长为z，表示出的长，利用的周长：的周长列出关于z的函数解析式，再运用二次函数最值求解即可． 【详解】（1）由题意得：，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点． （2）①当点在第一象限时， 设）， 过点作轴， ∵，， ∴， 解方程得：或， 不合题意，舍去． 故 ， ∴； 当点在第四象限时，同理可得： 解方程得：或， 不合题意，舍去． 故， ∴ 综上或． （3）的周长有最大值．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长：的周长， ∵， ∴， ∴的周长， ∵直线过和， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，的周长为z， ， ∴， ∴， ∵， ∴z有最大值，此时， 当时，， 故P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 15．（2024·山西大同·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，E是第一象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接． (1)求点B的坐标及抛物线的函数表达式 (2)当时， ①求点D的坐标； ②抛物线上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①   ②存在；或 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，利用得出关于m的方程是解答本题的关键： （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）①过点E作轴于点H．证明得，求出，得出，再求出直线CE的函数表达式为，可求出点；②由分两种情况讨论，求出直线的函数表达式为，设，根据题意列方程求解即可 【详解】（1）解：对于，当时，． 解得． ∴． 把，分别代入，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：①当时，． ∴． ∴． 如图1，过点E作轴于点H． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 把代入，得． 解得，． ∵点E在第一象限， ∴． 设直线CE的函数表达式为． 把，分别代入，得 解得． ∴直线CE的函数表达式为． 当时，．解得． ∴． ②存在． ∵， ∴在CE边上的高是在CE边上高的2倍． 可分为以下两种情况讨论： ⅰ当点M在直线上方时，如解图2，过点B作于点F，过点D作，且，过点G作，与抛物线交于点M，则M即为符合题意的点，． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴点G在y轴上． ∴． ∵， ∴直线GM的函数表达式为． 设． 又∵点M在直线GM上， ∴． 解得或， ∴点M的横坐标为或． ⅱ当点M在直线CE下方时，同理ⅰ可得该情况不存在． 综上所述，点M的横坐标为或． 16．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接． (1)求点A和点C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)最大值为 (3)存在，或 【分析】（1）依题意，先求出，再求出，．然后运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K，证明，代入数值计算，得出，运用二次函数的图象性质，即可作答． （3）先得直线l的解析式为．设，结合相似三角形的性质与判定，当第一：点P在直线右侧时，即，化简得，，那么，即将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，得出；第二：②当点P在直线左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为，此时点P的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， ， 将代入中， 得，， ∴，． 设直线的解析式为， ， 解得． ∴直线的解析式为． ∴，， 直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K， ， ∴． ． ∵将A点横坐标代入中得， ． ． 设，则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：符合条件的点P的坐标为或． 理由如下： ， ∴直线l的解析式为． 设， ①当点P在直线右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作于点M， ∵，，， ，，， ， ． ， ． ， ． ． ． ． ，． ， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去），， ． ②当点P在直线左侧时， 由①的方法同理可得点Q的坐标为， 此时点P的坐标为 综上所述，存在这样的点P，且坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数的解析式，难度较大，熟练运用数形结合思想以及分类讨论思想是解题是关键． 17．（2024·山西朔州·一模）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，将，代入得，，可求，进而可得； （2）如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点，则，当时，，可求或，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，计算可求； （3）由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等，则，同理（1），直线的解析式为，设，其中，由平移可得，直线的解析式为，同理，直线的解析式为，联立，可求，则，，可求满足要求的解为，则，，，，，，当时，，即，，根据与重叠部分的面积为，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点， ∴， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴， ∴存在，； （3）解：由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等， ∴， 同理（1），直线的解析式为， 设，其中， 由平移可得，设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得，， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴，，，，，， ∵， ∴轴， 当时，，即， ∴， ∴与重叠部分的面积为， ∴与重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合是解题的关键． 18．（2025·山西·一模）综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度，高． 设计效果1：如图1，四边形，四边形，四边形为正方形，且点I，C，D，L在上，点H，F，E，K在 抛物线上，点G在上，点J在上，整体图形关于抛物线的对称轴直线成轴对称图形． 问题解决1：以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段，的长； 设计效果2：在正方形内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形， 问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 【答案】问题解决1：（1）画图见解析，；（2），；问题解决2： 【分析】问题解决1：（1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由题意可得，，，，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）设，，由正方形的性质结合对称性可得则，，，，再代入抛物线的解析式计算即可得解； 问题解决2：由（2）可得正方形的边长为，设已知图2中最小正方形的边长为（为整数），中间一个较大的正方形的边长为，条窗棂长度和为，由题意可得它们是全等的正方形，边长为，这里，从而得出，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】问题解决1：（1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： ， ∵圆窗的跨度，高， ∴，，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵四边形、为正方形，且圆窗的窗棂设计具有对称的特点， ∴设，，则，，，， ∵、在抛物线上， ∴，， 解得：或（不符合题意，舍去）；或（不符合题意，舍去） ∴，； 问题解决2：由（2）可得正方形的边长为， 设已知图2中最小正方形的边长为（为整数），中间一个较大的正方形的边长为，条窗棂长度和为， ∵在正方形内部，以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形， ∴它们是全等的正方形，边长为，这里， ∴， ∵，为正整数， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为， 即条窗棂长度和的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．（2025·山西运城·一模）（项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】（1），；（2）（或），（3）． 【分析】（1）连接，过点作于点，交于点，由题意可知，，，，，，求出，即可求解； （2）先求出点，即可求出二次函数表达式； （3）先求出，则要求最大值，可先求最大值，求出直线解析式为，设，则，则， 则最大值为，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图： 由题意可知，，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， 即固定旗杆需要的铁丝长度为， 故答案为：，； （2）如图所示： ∵为大门两旁立柱，且高均为2米， ∴， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴顶点C的横坐标为， 又∵C距地面的距离为米， ∴， 设抛物线表达式为， 由题意知， 将，代入中， 解得： ， ∴抛物线表达式为或； （3）如图，连接，过点作轴平行线，交于点H，交于点I， 由题意知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴要求最大值，可先求最大值， 设直线解析式为， 将)， ，代入，得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴最大值为， ∴， ∴， 四个接口处所需铁丝长度为， ∴绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 20．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）①的最大值为；②所在圆的半径长为米 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形判定及性质等． （1）先建立平面直角坐标系，再由题意得出点的坐标为，继而得到点，后将其代入二次函数解析式中即可得出； （2）①过点作，垂足为点，交于，再勾股定理求出，再求出直线的解析式，后设点，点，再利用二次函数最值即可，再利用相似三角形判定及性质即可求出；②过点作轴，轴，延长与轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径，再利用相似即可求出． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ， 由题意得：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点， ∵抛物线经过，， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：①过点作，垂足为点，交于， ， ∵，， ∴在中，， ∵，， 设直线的解析式为， ∵图象经过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴的最大值为：； ②过点作轴，轴，延长与轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径， ， ∵线段取得最大值时，，即， ∴， ∵，直线的解析式为：， ∴设所在直线解析式为： 将点代入得：， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 设所在圆的半径为，则， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴所在圆的半径长为米． 21．（2025·广东深圳·一模）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为， 将代入得，，解得， ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴， 将代入得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 22．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 中位线的数学思考 我们已经学习过三角形中位线的定义和定理，如图1，是的中位线，于点G，交于点F，易证．由此引发思考，图形的中位线可以看作经过图形的高的中点，且与底边平行的直线．三角形的中位线是底边的一半，那其他具有中位线的图形，中位线与底边又有怎样的数量关系呢？ 如图2，抛物线与x轴交于原点O和点A，x轴上方的抛物线与线段围成的图形称为“弹头形”即为“弹头形”的底边．过抛物线的顶点B作于点C，称为“弹头形”的高，D是的中点，过点D作，交抛物线于点E，F，则就是“弹头形”的中位线． 通过研究，我发现了“弹头形”的中位线与底边的数量关系． …… 任务： (1)如图2，若，求出的值． (2)根据（1）中的计算，请你模仿三角形中位线定理归纳出“弹头形”中位线的性质：________ (3)如图3是一个抛物线形的桥洞，桥下水面的宽为4米．如图4是一种方形顶篷的观光船，已知这种观光船的顶篷距水面的高度恰好为桥洞顶端到水面高度的一半，则这种观光船顶篷的宽度不大于多少米才能保证顺利通过该桥洞？（结果保留一位小数，） 【答案】(1) (2)“弹头形”中位线平行于底边且等于底边的 (3)观光船顶篷的宽度不大于米时，才能保证顺利通过该桥洞 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质等知识，理解题意并抽象成数学问题是解题的关键． （1）求出抛物线的函数解析式，再求出点E、F的坐标，即可求得，从而求得结果； （2）由（1）所求，即可得到“弹头形”中位线等于底边的； （3）考虑抛物线桥洞是一个“弹头形”，根据（2）可求得其中位线，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得； 设抛物线解析式为，把点B坐标代入得：， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， 即，； ∵， ∴， ∴； （2）解：“弹头形”中位线的性质： “弹头形”中位线平行于底边且等于底边的； 故答案为：“弹头形”中位线平行于底边且等于底边的； （3）解：考虑抛物线形的桥洞即“弹头形”中位线，其长度为（米）， 故当观光船顶篷的宽度不大于米时，才能保证顺利通过该桥洞． 23．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； (3)如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由． 【答案】(1) (2)需要钢材长度的最大值为米； (3)符合条件的灯的列数为或，理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，得到，根据二次函数的性质求最值即可； （3）相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为， 设抛物线解析式为, 把代入得到，， 解得， ∴； （2）解：设， 则由已知及抛物线的对称性可知，，，，,， ∴， 米，米， 设搭建支架需要钢材的长度为米， ∴ ， ∵， ∴当时，    取得最大值为， 即需要钢材长度的最大值为米； （3）符合条件的灯的列数为或，理由如下： 由已知可知，（米），米， ∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布， ∴若顶部C处安装一列灯,则的两旁还可以各安装（列） 此时安装灯的列数为（列）， 若顶部C处不安装灯,则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米， 此时安装灯的列数为（列）， 综上可知， 符合条件的灯的列数为或 24．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 问题情境 如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风． 方案设计 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点在上，点在抛物线上． 方案实施 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式． (2)当时，求和的长． (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中，点，在抛物线上，点在上，点分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 【答案】(1)图见解析，抛物线的函数表达式为； (2)，； (3)封闭区域内木质框架的总长度为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）由题意设，则点的坐标为，再代入，求得，据此求解即可； （3）设，则矩形所需的木质框架总长度，求得当，矩形所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形和正方形的边长为，得到，代入，求得的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：坐标系如图所示， 由题意得，抛物线的顶点坐标为，， 则设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得四边形为矩形，设， ∵， ∴， ∴，， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴，； （3）解：如图，设，， ∵四边形为矩形，且点和在抛物线上， ∴，， ∴矩形所需的木质框架总长度 ， ∴当，∴矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5， 此时，， 设正方形和正方形的边长为，则，， 将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴封闭区域内木质框架的总长度米， 即，封闭区域内木质框架的总长度为米． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数的综合题 1．（2025·山西运城·一模）综合与实践 如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标． (3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由． 2．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． 3．（2025·山西·一模）如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． (1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． (2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． (3)若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：如图1，是学校操场一角的劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量米，米，根据学校开展劳动教育的需要，现要对该土地进行种植区域划分，设计如下方案： 方案设计：①取的中点，在的区域内种植西红柿；②过点作的垂线交抛物线于点，测得米，又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角． 方案实施：学校课程中心的老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个形状的遮阳网，如图．请求出该遮阳网面积最大时点的坐标； (3)请你直接写出（2）中遮阳网面积最大时，点到的距离． 5．（2025·山西黎城·一模）如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 6．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入 ，求得，则，由平移的性质得 ．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得 ．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 7．（2025·山西长治市·一模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 8．（2025·山西·中考模拟）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由． 9．（（2025··山西长治·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 11．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标． (2)当的面积等于的面积的时，求m的值． (3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025·山西·模拟预测）已知有如下抛物线：，经过A，B，C，已知A为，，请回答以下题目：    (1)求解该抛物线的解析式并求出顶点的坐标； (2)若点D在x轴的上方的抛物线上，点N在点C上方： ①当是以为底边的等腰三角形时，求出点D的坐标； ②若时，求出点D的坐标； ③若直线交y轴于点N，过B作的平行线交y轴于点M，当D点运动时，求出的最大值以及此时D的坐标． 13．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标； (3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由． 14．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 15．（2024·山西大同·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，E是第一象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接． (1)求点B的坐标及抛物线的函数表达式 (2)当时， ①求点D的坐标； ②抛物线上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接． (1)求点A和点C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024·山西朔州·一模）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积． 18．（2025·山西·一模）综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度，高． 设计效果1：如图1，四边形，四边形，四边形为正方形，且点I，C，D，L在上，点H，F，E，K在 抛物线上，点G在上，点J在上，整体图形关于抛物线的对称轴直线成轴对称图形． 问题解决1：以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段，的长； 设计效果2：在正方形内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形， 问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 19．（2025·山西运城·一模）（项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 20．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 21．（2025·广东深圳·一模）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 22．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 中位线的数学思考 我们已经学习过三角形中位线的定义和定理，如图1，是的中位线，于点G，交于点F，易证．由此引发思考，图形的中位线可以看作经过图形的高的中点，且与底边平行的直线．三角形的中位线是底边的一半，那其他具有中位线的图形，中位线与底边又有怎样的数量关系呢？ 如图2，抛物线与x轴交于原点O和点A，x轴上方的抛物线与线段围成的图形称为“弹头形”即为“弹头形”的底边．过抛物线的顶点B作于点C，称为“弹头形”的高，D是的中点，过点D作，交抛物线于点E，F，则就是“弹头形”的中位线． 通过研究，我发现了“弹头形”的中位线与底边的数量关系． …… 任务： (1)如图2，若，求出的值． (2)根据（1）中的计算，请你模仿三角形中位线定理归纳出“弹头形”中位线的性质：________ (3)如图3是一个抛物线形的桥洞，桥下水面的宽为4米．如图4是一种方形顶篷的观光船，已知这种观光船的顶篷距水面的高度恰好为桥洞顶端到水面高度的一半，则这种观光船顶篷的宽度不大于多少米才能保证顺利通过该桥洞？（结果保留一位小数，） 23．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； (3)如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由． 24．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 问题情境 如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风． 方案设计 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点在上，点在抛物线上． 方案实施 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决问题： (1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式． (2)当时，求和的长． (3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中，点，在抛物线上，点在上，点分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$