专题05 二次函数（3大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题05 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 求二次函数的解析式 题型03 二次函数的实际应用 二次函数的图象与性质题型01 1．（2025·山西朔州·一模）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西运城·模拟预测）已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西朔州·一模）二次函数的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点和点均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．当时， D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．则当或时， 求二次函数的解析式题型02 4．（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西朔州·一模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山西·一模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 二次函数的实际应用题型03 7．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 8．（2025·山西盐湖·一模）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（2025·山西·一模）综合与实践 问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题的综合实践活动中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离． 成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果： 小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间（其他因素忽略不计）． 小明：停车距离反应距离制动距离，即． 小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据： 40 50 60 70 80 8 10 12 14 16 小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点． 问题解决： (1)根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与v的函数关系式为______； (2)求停车距离与行驶速度之间的函数关系式； (3)某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由． 10．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 11．（2025·山西临汾·一模）学科实践 驱动任务： “天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究． 研究步骤： （1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面． （2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道． 问题解决： （1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式． （2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到） 12．（2025·山西大同·一模）综合与实践 问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究． 建模分析： 第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分； 第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表： 1 2 4 6 7 2.25 2.67 3 2.67 2.25 第四步：成绩分析． 问题解决： (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球起点处的坐标； (3)当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分． 13．（2025·山西·一模）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且 ，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 14．（2025·山西晋城·一模）某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成为抛物线，为了使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆，，均垂直于地面，横杆、均平行于地面、过最高点C的主支撑杆米，横杆米，横杆距离地面10米． 数学建模 （1）如图2、以O为原点，所在的直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式． 问题解决 （2）图中的H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度（结果精确到米，） （3）安监部门审核时，为确保安全，还需进行加固，添加1根横向加固杆和2根纵向加固杆后与地面构成矩形，其中矩形横杆两个顶点在抛物线上，请直接写出这3根加固杆的总长度最大值为_________米． 15．（2025·山西长治·模拟预测）学科实践： 任务背景 “碧波盈盈、流水潺潺”的汾河景区不仅是一条岸绿水清、鸟语花香的生态走廊，更是一条展现厚重城市底蕴的文化长廊、一条展现城水相融、人水相亲的幸福长廊． 研究素材 图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，已知高为米，喷出水柱可以近似得看作一条抛物线，该抛物线最高点距离地面米，距离的水平距离为米． 参考数据：，，，． 问题解决 (1)以水平地面为轴，以喷水装置所在直线为轴，在图2中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． (2)求该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离（精确到1米）． (3)若给该喷灌设备安装一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以点为圆心的圆，求喷洒区域的面积（精确到1平方米）？ 16．（2025·山西忻州·模拟预测）【创新考法】综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图1（示意图），运动会火炬手小明负责用火种点燃箭头，然后准确射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分．这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 【问题解决】 (1)的值为________． (2)根据表中的各对对应值，在图2所示的平面直角坐标系中完成描点，并用平滑的曲线连接． (3)只要小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点，那么这支箭就可以射入点火台内，请结合函数图象分析，小明射出的箭是否射入了点火台内？ (4)由于点火台较小，将箭射进点火台内较为困难．于是学校调整了点火台内的可燃材料，只要小明射出的箭降落时能够进入距离点火台上方4米的范围内（即正方形包含边界），都可以成功点火．在研究这个问题的过程中还发现：如果发射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明还可以通过调整与点火台的水平距离改变这支箭的飞行轨迹（即沿着横轴左右平移原抛物线），如果保证点火成功，请结合函数图象分析，小明沿横轴（水平方向）向左移动的最大距离与向右移动的最大距离分别为多少？（结果保留根号） 17．（2025·山西·模拟预测）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 18．（2025·山西运城·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题    (1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 19．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． (2)当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． (3)现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 20．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． (3)为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 21．（2025·山西晋中·一模）学科实践 请根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 如何确定烟花燃放后粉尘颗粒下落的位置 背景 燃放烟花是中国的传统文化，具有吉祥欢乐的象征，烟花射入高空后，光剂燃烧形成五彩缤纷的美丽图案．某数学实践小组对某款烟花展开测试 图示 数据1 图1为一组烟花的燃放实物图，烟花升空到光剂燃尽颗粒物下落过程近似看成抛物线形状，为安全考虑，在一较高的长方体平台上燃放，如图2，平台边长为，高为，为的中点，E为燃放前烟花的喷射点（烟花的高度忽略不计），P为升空后的爆炸点，为，点，E，P在与地面垂直的同一直线上，点N，M分别为抛物线，与平台的交点，抛物线与关于对称，抛物线在距离中心水平距离处达到最高，此时高度为 数据2 抛物线为烟花光剂燃尽颗粒物下落过程中形成的最高且与中心水平距离最远的抛物线，该抛物线外围属于安全范围，其函数表达式满足 问题解决 任务1 确定烟花光剂燃烧颗粒物的运动路径 在图2中以点为坐标原点，CD所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式 任务2 探究烟花燃尽颗粒物下落后的位置 在任务1所建的平面直角坐标系中，求烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标 任务3 确定观看烟花的安全距离 请你计算说明观赏人在地面上站立的安全范围 22．（2025·山西·一模）综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 (1)在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 23．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 【主题】大棚苗木种植方案设计 【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面． 【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）． 【解决问题】 (1)大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）． (2)探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围． (3)拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标． 24．（2024·山西·模拟预测）项目式学习 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； 任务二  推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为d米． （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 25．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 26．（2025·山西临汾市·一模）【问题情境】 小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与销售数量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E五家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 售价(元/盆) 日销售量(盆) A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 【数据整理】 （1）请你帮小莹将记录的数据按一定顺序重新进行整理，并填入下表： 销售(元/盆) 日销售量(盆) 【模型建立】 （2）分析数据的变化规律，写出日销售量与售价之间的关系； 【拓广应用】 （3）根据以上信息，小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，每盆售价应定为多少元？ ②每盆售价定为多少元时，每天能够获得最大利润？ 1．（2024·山西·模拟预测）用配方法将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 4．（2024·山西晋城·三模）如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点，所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)请以点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 5．（2025·山西运城·一模）《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案： 改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽20m，拱顶离水面5m．据推算，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m； 为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长． 问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2m，船体宽9m需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注：） 问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图4中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 6．（2025·山西介休·一模） 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 7．（2025·山西临汾·一模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 1 2 3 4 5 ．．． 运动速度/ 12 11 10 9 8 7 ．．． 滑行距离s/ 0 11.5 22 31.5 40 47.5 ．．． 任务二：观察分析 （1）根据v，s随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，请直接写出的取值范围． 8．（2025·山西晋中·一模）综合与实践 项目主题：爱心发卡  温暖传递 项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习． 驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案． 收集信息： （1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只， （2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下： 款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元； 款：每只获利元． 解决问题： (1)设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______； (2)设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)通过计算说明使日销售利润最大的加工方案． 9．（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 10．（2025·山西忻州·一模）综合与实践 问题情境 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 建模分析 第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 问题解决 (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）． (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米．若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标． (3)求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 求二次函数的解析式 题型03 二次函数的实际应用 二次函数的图象与性质题型01 1．（2025·山西朔州·一模）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数的对称轴为直线轴，求得关于轴的对称点为，根据抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，进而即可判断的大小关系． 【详解】解：∵，对称轴为轴，图象开口向上， 当时，随的增大而增大，关于轴的对称点为， ∵点都在二次函数的图象上，， ∴． 故选：A． 2．（2025·山西运城·模拟预测）已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数函数值的比较，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，函数增减性是解题的关键． 根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 离对称轴直线越远，函数值越小， ，， ， 故选：B． 3．（2025·山西朔州·一模）二次函数的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点和点均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．当时， D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．则当或时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．由题意得到，即可判断A选项，当时，随着的增大而减小，即可判断B选项，抛物线开口向下，当时，函数有最大值，为，当时，，即可判断C选项，函数图象与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性得到函数图象与x轴的一个交点为，结合图象即可判断D选项． 【详解】解：由题意可知：对称轴为直线， ∴， 故选项A错误； 当时，随着的增大而减小， ∴若，则， 故选项B错误， ∵ ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值，为， ∴当时，，则， 故选项C正确； 若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．即函数图象与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性得到函数图象与x轴的一个交点为， ∵抛物线开口向下， ∴由图象可知，当时，， 故选项D错误， 故选：C． 求二次函数的解析式题型02 4．（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 5．（2025·山西朔州·一模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减上加下减可得．根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为， ， 故选：D． 6．（2025·山西·一模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，先将解析式化为顶点式，再根据抛物线的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 二次函数的实际应用题型03 7．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际问题，先计算出水面的纵坐标，然后求出水位上升2.7米后，点，的横坐标，然后求出水面宽即可． 【详解】解：∵水面宽米， ∴点的横坐标为， ∴， 当水位上升2.7米后，， 令，则， 解得，， ∴水面宽等于， 故选：A． 8．（2025·山西盐湖·一模）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 9．（2025·山西·一模）综合与实践 问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题的综合实践活动中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离． 成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果： 小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间（其他因素忽略不计）． 小明：停车距离反应距离制动距离，即． 小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据： 40 50 60 70 80 8 10 12 14 16 小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点． 问题解决： (1)根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与v的函数关系式为______； (2)求停车距离与行驶速度之间的函数关系式； (3)某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由． 【答案】(1)一次； (2) (3)小王没有超速，见解析 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握一次函数、二次函数的综合运用是关键． （1）根据表格信息，反应距离随行驶速度的增大而增大，设反应距离与行驶速度的函数关系式为：，运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到与v的函数关系式为，由，得到，即可求解； （3）当时，，停车距离为时的车速小于，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，反应距离随行驶速度的增大而增大， ∴反应距离是行驶速度的一次函数， 设反应距离与行驶速度的函数关系式为：，把代入得， ∴， 解得，， ∴反应距离与行驶速度的函数关系式为：， 故答案为：一次；； （2）解：设与的函数关系式为， ∵图象经过点， ∴， 解得，， ∴与v的函数关系式为， ∴， ∴． （3）解：没有超速，理由如下： 当时，， ∵， ， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴停车距离为时的车速小于， ∴小王没有超速． 10．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 【答案】(1)①；②汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下 (2)当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距 (3)会，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． （1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函数图象与性质即可得到答案； （2）由题意得到，结合（1）中求得的二次函数表达式，令，解一元二次方程即可得到答案； （3）由（1）中得到的汽车在时刹车距离达到最大值，才能完全停下，比较提总距离即可得到答案． 【详解】（1）解：①设二次函数的解析式为， 代入，得 解得， 二次函数的解析式为； ②， ， 抛物线开口向下，有最大值，为， 故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下． 答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下； （2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离， 当时，， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）解：会， 理由如下： 由（1）可知，当时，有最大值75， 即汽车刹车过程中最多行驶， ， 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 11．（2025·山西临汾·一模）学科实践 驱动任务： “天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究． 研究步骤： （1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面． （2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道． 问题解决： （1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式． （2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到） 【答案】（1）所求抛物线的表达式为；（2）通过隧道的车辆应限制高度为． 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意，建立平面直角坐标系．设所求抛物线的表达式为．根据题意可得．得出点的坐标为，点的坐标为．再根据待定系数法即可求出抛物线的表达式． （2）分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G．由题可知，，求出点G，H的坐标分别为．再根据该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系． 设所求抛物线的表达式为． 根据题意可得． 点的坐标为，点的坐标为． 将点的坐标分别代入．得， 解得， 所求抛物线的表达式为． （2）解：如图，分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G． 由题可知，， 点G，H的横坐标分别为． 当时，． 点G，H的坐标分别为． 该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有， ． 答：通过隧道的车辆应限制高度为． 12．（2025·山西大同·一模）综合与实践 问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究． 建模分析： 第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分； 第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表： 1 2 4 6 7 2.25 2.67 3 2.67 2.25 第四步：成绩分析． 问题解决： (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球起点处的坐标； (3)当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分． 【答案】(1) (2) (3)不得满分 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）将代入，求解即可得出答案； （3）令．则，求解后再比较即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意、得抛物线经过点和，且点为抛物线的顶点． 设实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为． 将代入，得． 解得． ∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴实心球起点处的坐标为； （3）解：令，则， 解得（不合题意，舍去）． ∵， 小宇在此次掷球中不得满分． 13．（2025·山西·一模）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且 ，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 14．（2025·山西晋城·一模）某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成为抛物线，为了使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆，，均垂直于地面，横杆、均平行于地面、过最高点C的主支撑杆米，横杆米，横杆距离地面10米． 数学建模 （1）如图2、以O为原点，所在的直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式． 问题解决 （2）图中的H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度（结果精确到米，） （3）安监部门审核时，为确保安全，还需进行加固，添加1根横向加固杆和2根纵向加固杆后与地面构成矩形，其中矩形横杆两个顶点在抛物线上，请直接写出这3根加固杆的总长度最大值为_________米． 【答案】（1）；（2）米；（3） 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可得顶点，可设，把代入即可解答； （2）设，则可得，代入抛物线即可解答； （3）设矩形的横杆的长度为为，则可用表示矩形的竖杆的长度，即可解答． 【详解】解：（1）由题意可得顶点，， 设抛物线的解析式为， 把代入可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设， H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形， ， ， ， 代入抛物线可得， 解得（负值舍去）， 米； （3）设矩形的横杆的长度为为， 则矩形的纵杆为， 这3根加固杆的总长度为， 当时，这3根加固杆的总长度取最大值为米， 故答案为：． 15．（2025·山西长治·模拟预测）学科实践： 任务背景 “碧波盈盈、流水潺潺”的汾河景区不仅是一条岸绿水清、鸟语花香的生态走廊，更是一条展现厚重城市底蕴的文化长廊、一条展现城水相融、人水相亲的幸福长廊． 研究素材 图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，已知高为米，喷出水柱可以近似得看作一条抛物线，该抛物线最高点距离地面米，距离的水平距离为米． 参考数据：，，，． 问题解决 (1)以水平地面为轴，以喷水装置所在直线为轴，在图2中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． (2)求该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离（精确到1米）． (3)若给该喷灌设备安装一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以点为圆心的圆，求喷洒区域的面积（精确到1平方米）？ 【答案】(1)坐标系见解析， (2)该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离为米 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求圆的面积，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）根据题意建立平面直角坐标系，进而设抛物线解析式为，代入得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，解方程，即可求解； （3）根据圆的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 依题意，， 设抛物线解析式为，代入得， 解得： ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：当时， 解得：（舍去）或 答：该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离为米 （3）解：由（2）可得半径为米， ∴喷洒区域的面积为． 答：喷洒区域的面积为． 16．（2025·山西忻州·模拟预测）【创新考法】综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图1（示意图），运动会火炬手小明负责用火种点燃箭头，然后准确射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分．这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 【问题解决】 (1)的值为________． (2)根据表中的各对对应值，在图2所示的平面直角坐标系中完成描点，并用平滑的曲线连接． (3)只要小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点，那么这支箭就可以射入点火台内，请结合函数图象分析，小明射出的箭是否射入了点火台内？ (4)由于点火台较小，将箭射进点火台内较为困难．于是学校调整了点火台内的可燃材料，只要小明射出的箭降落时能够进入距离点火台上方4米的范围内（即正方形包含边界），都可以成功点火．在研究这个问题的过程中还发现：如果发射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明还可以通过调整与点火台的水平距离改变这支箭的飞行轨迹（即沿着横轴左右平移原抛物线），如果保证点火成功，请结合函数图象分析，小明沿横轴（水平方向）向左移动的最大距离与向右移动的最大距离分别为多少？（结果保留根号） 【答案】(1)22.5 (2)见解析 (3)小明射出的箭没有射入点火台内，见解析 (4)小明沿水平方向向左移动的最大距离为，向右移动的最大距离为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移，根据函数图象获取信息解题的关键． （1）由数据表确定函数的对称轴，即可求解； （2）描点，连线即可作图； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当和时的所对应的h的值，再和20作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点C的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【详解】（1）解：由数据表可得，当和时，竖直高度均为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时的竖直高度一样，为，即， 故答案为：； （2）解：如答图，即为所求作的曲线： （3）解：二次函数的解析式为： ∵当时，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：； 当时，， 当时，， ∴小明射出的箭没有射入点火台内； （4）解：由（3）可知二次函数表达式为：， ∵点火台上方4米的范围内(即正方形)，都可以成功点火，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，小明可以通过调整与点火台的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹，即相当于将二次函数的图象沿着横轴进行左右平移可以保证点火成功，依题意可得正方形左下角的点A的坐标为，右上角的点C的坐标为， 设沿着水平方向后退米，即抛物线沿着横轴向左平移m米， 当抛物线经过正方形的左下角的点时， ∴， 解得：（舍）， 设沿着水平方向前进米，即抛物线沿着横轴向右平移n米， 当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：（舍）， ∴小明沿水平方向向左移动的最大距离为，向右移动的最大距离为． 17．（2025·山西·模拟预测）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 【答案】（1）；（2）不能覆盖着火点，理由见解析；（3）点D的横坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）根据题意设所在抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）由题意得，，，求得点，点，设此时抛物线的解析式为，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，据此求解即可； （3）设点，则点，设此时抛物线的解析式为，将代入即可求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意，所在抛物线的顶点坐标为， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴所在抛物线的解析式为，即； （2）不能覆盖着火点，理由如下， 由题意得，，， 对于， 令，则， 解得（舍去）或， ∴点， ∴点， 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与轴的两个交点为和，即和， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点； （3）∵点C在所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即， ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为， 将代入得， 整理得， ∵， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为． 18．（2025·山西运城·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题    (1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 【答案】(1)； (2)①米；；②落点D在安全范围内． 理由见解析 【分析】（1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，又，故，可得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，由抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，故抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又，，从而抛物线的顶点为，可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线为，再将代入得，计算可得抛物线的解析式； ②依据题意，由①得，可令，求出x可得的长，从而求出即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为 又， 抛物线为； （2）①由题意， 抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称． 是它们的中点． 又，， 抛物线的顶点为 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ； 抛物线的解析式 ②由①得， 令， 或舍去 米． 又米， 落点D在安全范围内． 19．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． (2)当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． (3)现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)绳子所对应的抛物线解析式为：；顶点坐标为 (2)从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳 (3)此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶，队列安排方案见解析 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，便可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再比较便可． 【详解】（1）解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 根据题意，抛物线经过点，且过点即，把三个点代入表达式， ，解得， 绳子所对应的抛物线解析式为：， ， 则抛物线顶点坐标为． （2）解：从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． 理由如下： 将代入得， ， 从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． （3）解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少0.5米，则首尾两位同学的距离是（米）， 最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米， 当时， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶； 队列安排方案可以为：距离两侧持绳手处分别为①④号；距离两侧持绳手处分别为②⑤号；距离两侧持绳手处分别为⑦⑧号；距离两侧持绳手处分别为③⑥号；最中间的是⑨号（方案不唯一）． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题． 20．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． (3)为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)支柱抬高的高度至少需要大于米． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式。二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知，，，利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，进而求出时的函数值，与货车的高度比较即可； （3）设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为，由题意可知当时，，进而求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， 则，解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：不能，理由如下： 由题意可知，，，， 则， 当时，， ， 此纯电货车不能完全停到车棚内； （3）解：设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为， 要求改造后车棚内能容纳长、高的车辆进入充电， 当时，， ， 解得：， 即支柱抬高的高度至少需要大于米． 21．（2025·山西晋中·一模）学科实践 请根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 如何确定烟花燃放后粉尘颗粒下落的位置 背景 燃放烟花是中国的传统文化，具有吉祥欢乐的象征，烟花射入高空后，光剂燃烧形成五彩缤纷的美丽图案．某数学实践小组对某款烟花展开测试 图示 数据1 图1为一组烟花的燃放实物图，烟花升空到光剂燃尽颗粒物下落过程近似看成抛物线形状，为安全考虑，在一较高的长方体平台上燃放，如图2，平台边长为，高为，为的中点，E为燃放前烟花的喷射点（烟花的高度忽略不计），P为升空后的爆炸点，为，点，E，P在与地面垂直的同一直线上，点N，M分别为抛物线，与平台的交点，抛物线与关于对称，抛物线在距离中心水平距离处达到最高，此时高度为 数据2 抛物线为烟花光剂燃尽颗粒物下落过程中形成的最高且与中心水平距离最远的抛物线，该抛物线外围属于安全范围，其函数表达式满足 问题解决 任务1 确定烟花光剂燃烧颗粒物的运动路径 在图2中以点为坐标原点，CD所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式 任务2 探究烟花燃尽颗粒物下落后的位置 在任务1所建的平面直角坐标系中，求烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标 任务3 确定观看烟花的安全距离 请你计算说明观赏人在地面上站立的安全范围 【答案】任务1：平面直角坐标系见解析；；任务2：；任务3：观赏人在地面上站立的安全范围在以点为圆心，长为半径的圆外． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用； 任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将 代入即可得出结论； 任务2：令，得点N的坐标为，再根据对称的性质即可得出结果； 任务3：令，得，求解即可． 【详解】解：任务1：如解图，建立平面直角坐标系． 根据题意，得抛物线的顶点坐标为． ∴可设抛物线的函数表达式为． 由题意易得． 又∵， ∴． ∴点P的坐标为． 把代入，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 任务2：根据题意，得点N的纵坐标为1． 令， 解得，（不合题意，舍去）． ∴点N的坐标为． ∵抛物线与关于对称， ∴烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标为． 任务3：令，得， 解得，（不合题意，舍去）． ∴观赏人在地面上站立的安全范围在以点为圆心，长为半径的圆外． 22．（2025·山西·一模）综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 (1)在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 (2)现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 【答案】(1) (2)这辆货车可以完全停进遮阳棚内，见解析 (3)钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数关系式、勾股定理等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，设与的函数关系式为，将点代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意：设点的坐标为，将代入解析式可得，然后加6与8比较即可； （2）先求得的函数关系式为，设点的坐标为，将解一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点A的坐标为， 设与的函数关系式为， 抛物线的函数关系式为 点的坐标为， 将点代入函数关系式中，得：，解得：． 与的函数关系式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中，得：， 解得：（舍去），． ， 这辆货车可以完全停进遮阳棚内． （3）解：设线段的函数关系式为， 将点代入中得：， 的函数关系式为． 抛物线的一般式为， 且点是抛物线上的点， ∴设点的坐标为， 轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为． ． 将代入得：． 解得：（不符合题意，舍去）． 答：钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置． 23．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 【主题】大棚苗木种植方案设计 【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面． 【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）． 【解决问题】 (1)大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）． (2)探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围． (3)拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）如图（见解析），先求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得； （3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，根据平面直角坐标系以及题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的解析式为． 把点代入可得， 解得:， 抛物线的解析式为； （2）种植苗木时，每棵苗木高， 当时． 解得：，． 苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布， 种植点的横坐标的取值范围为． （3）由题意可知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔， 在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植（棵）， 则最左边一棵苗木种植点的横坐标为． 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为． 24．（2024·山西·模拟预测）项目式学习 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； 任务二  推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为d米． （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米， ∴米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 25．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 【答案】(1)伪；见解析 (2)16两 (3)见解析 【分析】（1）计算时，的值，根据四位数字，确定对应的欢子解答即可． （2）根据银票的密押为“仁安仁昌”，得到对应的四位数字是3732，于是得到，求得，结合银票金额在50两以内且为整数，解答即可． （3）答案不唯一，只要能增加保密性即可． 本题考查了求代数式的值，求平方根，熟练掌握求代数式的值，平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：由材料可知，银票金额为1240两，则. 当时，. 对照汉字与数字对应关系得到这张银票的密押为“兴诚昌吉”，这与“兴忠仁吉”不符， 故该银票为假. （2）银票金额在50两以内， . 由汉字与数字对应关系得到“仁安仁昌”对应的数字为3732， . 解得． 由材料可知且为整数， 这张银票金额的末两位数为16. 银票金额在50两以内， 这张银票的金额是16两. （3）答案不唯一，例如，在密押中增加一个汉字确定银票金额是几位数. 26．（2025·山西临汾市·一模）【问题情境】 小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与销售数量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E五家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 售价(元/盆) 日销售量(盆) A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 【数据整理】 （1）请你帮小莹将记录的数据按一定顺序重新进行整理，并填入下表： 销售(元/盆) 日销售量(盆) 【模型建立】 （2）分析数据的变化规律，写出日销售量与售价之间的关系； 【拓广应用】 （3）根据以上信息，小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，每盆售价应定为多少元？ ②每盆售价定为多少元时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（1）见解析；（2）售价每涨价2元，日销售量少卖4盆（3）①定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；②售价定为元时，每天能够获得最大利润 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． （1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）根据表格数据，进行求解即可； （3）①设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； ②设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 （2）由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； （3）①设：定价应为元，由题意，得： ， 整理得：， 解得：， ∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润； ②设每天的利润为，由题意，得： ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为元． 答：售价定为元时，每天能够获得最大利润． 1．（2024·山西·模拟预测）用配方法将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了运用配方法将二次函数一般式化为顶点式，根据题意，将化为顶点式进行比较即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故选：A ． 2．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移规律，根据二次函数经过原点得，以及二次函数的对称性得出，再把代入，然后解出，最后根据平移规律，即可作答． 【详解】解：∵表格的对应的 ∴的 ∵表格的对应的 ∴对称轴 ∴ 把代入 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 ∴ 故选：D 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 【答案】D 【分析】根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：根据图表先找到二次函数的对称轴为，即，由图表的数据和二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以可得，易得，故选项A错误，不符合题意； 由表格可知当时，，由二次函数图象的对称性可知当时，，所以的解集是，故选项B错误，不符合题意； 由表格和图象的性质可知当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以；因为，所以，同理易得，则在该函数图像上，故选项C错误，不符合题意； 当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值，所以，即必有，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质． 4．（2024·山西晋城·三模）如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点，所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)请以点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 【答案】(1)见解析，； (2)第7根与第8根或第5根与第6根 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系、求出函数解析式成为解题的关键． （1）如图：建立的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图． ∵， ∴． 由题意得，，， ∴． ∵图象必过原点， ∴设抛物线的函数表达式为：， 把，分别代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：由题意，相邻两栏杆的间距是：． 当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第根， 由题意，得：． ∴． ∴第7根与第8根涂色部分的高度差为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间． 由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根． 5．（2025·山西运城·一模）《西游记》中的孙悟空对花果山的体制进行全面改革后，为了改善旅游环境，决定对水帘洞改造翻新，于是在花果山上征集改造方案，猴子猴孙们踊跃参加，下面是其中一个方案： 改造1：图1中水帘洞下面挖空变成一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图，预计挖空后平时水面宽20m，拱顶离水面5m．据推算，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 改造2：为吸引游客，增加喜庆气氛，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m； 为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： 问题1：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长． 问题2：拟定通行方案：在问题1的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2m，船体宽9m需要从拱桥下通过，通过计算判断是否能顺利通行．（注：） 问题3：确定桥拱形状是抛物线：在图4中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 问题4：拟定设计方案：在问题3的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】（1）（2）能顺利通过（3）该抛物线的函数表达式为（4）见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键． 问题1：设圆的圆心为点C，相交于点D，得出，则，设该圆的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可； 问题2：先求出该货船顶端与圆心距离，根据勾股定理可得：，则，即可解答． 问题3：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出a的值，即可得出函数表达式； 问题4：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，得出悬挂点的纵坐标，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 即可解答； 【详解】解：问题1：设圆的圆心为点C，相交于点D， 由题意可得：， ∴， 设该圆的半径为r，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：；    问题2：由问题1可知，， 当河段水位涨达到最高时，， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴船体在圆弧的拱顶正下方能顺利通过．    问题3：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 问题4：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， 0∴悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， ∴可以挂（盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为. 6．（2025·山西介休·一模） 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 【答案】任务1：；任务2：两根支撑柱之间的水平距离为6米；任务3：“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式． 任务1：由题意可得出顶点的坐标，设出抛物线解析式为，然后再把点的坐标代入即可求出； 任务2：根据任务1中解析式可得出当时对应的值，两个值相减即可得出水平距离； 任务3：设点坐标为，列出关于的解析式，由函数的性质求最大值即可． 【详解】解：任务1：四边形是矩形， （米， 点，点， 根据题意和图象可得，顶点的坐标为， 可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 任务2：当时，， 解得， （米， 两根支撑柱之间的水平距离为6米； 任务3：设点坐标为，、、的长度之和为米， 则，， ， ， 当时，有最大值，最大值为， “脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 7．（2025·山西临汾·一模）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 1 2 3 4 5 ．．． 运动速度/ 12 11 10 9 8 7 ．．． 滑行距离s/ 0 11.5 22 31.5 40 47.5 ．．． 任务二：观察分析 （1）根据v，s随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）此时小球的滑行距离为；（3） 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式即可； （2）根据题意可知，要想求小球停止，其实就是求二次函数的最大值，只要能读懂题意即可解决问题； （3）此题是把求范围转化成求二次函数最值问题，运用到转化思想，即可解决问题； 【详解】解：（1）由题意和表格可设：关于的函数关系式是， 把代入函数式得： ， 解得：， ∴关于的函数关系式为； 可设关于的函数关系式为， 把代入函数式得： ， 解得：， ∴关于的函数关系式为：； （2）由（1）可知：，由二次函数图象性质可知，当小球停止时即s取的最大值时，变形， ∵， ∴s的最大值是； ∴此时小球的滑行距离是； （3）由题意可知：， 整理得：， 令，由二次函数的最大值可知，y的最大值是32， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图形的性质，最值问题等知识点，解决此题的关键是正确的计算出二次函数的解析式。 8．（2025·山西晋中·一模）综合与实践 项目主题：爱心发卡  温暖传递 项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习． 驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案． 收集信息： （1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只， （2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下： 款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元； 款：每只获利元． 解决问题： (1)设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______； (2)设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)通过计算说明使日销售利润最大的加工方案． 【答案】(1) (2) (3)每日加工款只，款只可使日销售利润最大 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据题意列出与的函数关系式即可； （2）根据题意列出关于的函数表达式即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解：方法一：， 当时，有最大值， 当时，， 每日加工款只，款只可使日销售利润最大； 方法二：， ， 当时，有最大值， 当时，， 每日加工款只，款只可使日销售利润最大． 9．（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 【答案】（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式； （2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可； （3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可． 【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数， 设y与x之间的函数关系式为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：一次；； （2）设销售总额为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以． 因为， 所以有最大值， 当时，销售总额最大 答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期； （3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以， 因为， 所以有最大值， 由题意，得当时， ， 因为， 所以， 解得，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， 所以，，， 答：的值是400，相应的存储星期数为6星期． 10．（2025·山西忻州·一模）综合与实践 问题情境 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 建模分析 第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 问题解决 (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）． (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米．若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标． (3)求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$