专题04 平面直角坐标系与函数&一次函数（6大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 平面直角坐标系&函数&一次函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数及其图象 题型03 一次函数的图象与性质 题型04 一次函数与图形变换 题型05由实际问题抽象一次函数解析式 题型06 一次函数的实际应用 平面直角坐标系题型01 1．（2025·山西介休·一模）右图是利用平面直角坐标系画出的北师大实验中学部分建筑手绘地图．若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（    ） A．体育馆 B．信毅楼 C．知味堂 D．勤政楼 2．（2025·山西晋城·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为 ． 3．（2025·山西·一模）信息小组通过编程设计6个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人A，B的坐标分别为，，则机器人C的坐标为 ． 函数及其图象题型02 4．（2025·山西·一模）物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西运城·一模）某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦时） … 应缴电费（元） … A．用电量每增加千瓦时，电费增加元 B．若用电量为千瓦时，则应缴电费元 C．若应缴电费为元，则用电量为千瓦·时 D．若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦时 6．（2025·山西大同·一模）铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（   ） A．时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B．硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C．时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D．当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 7．（2025·山西忻州·一模）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　） A．B．C． D． 一次函数的图形与性质题型03 8．（2025·山西临汾·一模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（2025·山西晋城·一模）已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 10．（2025·山西晋中·一模）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于的方程的解是 D．不等式的解集为 11．（2025·山西吕梁·一模）已知直线过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 12．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） … 1 3 … … 5 … A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 一次函数与图形变换题型04 13．（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 14．（2025·山西运城·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，的长为5，将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·山西黎城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，12），B是x轴负半轴上一点，OP平分∠AOB，则OP所在直线的函数解析式为 ． 16．（2025·山西大同·模拟）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线绕点A逆时针旋转交x轴于点C．则点C的坐标为 ． 由实际问题抽象一次函数的解析式题型05 17．（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山西阳泉·模拟预测）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则与之间的函数关系式为（　　） 出水时间 ．．． 5 10 15 20 ．．． 剩余水量 ．．． 80 60 40 20 ．．． A． B． C． D． 19．（2025·山西吕梁·一模）研究人员发现，在时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与t之间的关系式为（   ） 温度t（℃） 21 23 25 每分钟鸣叫次数y（次） 112 126 140 A． B． C． D． 20．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·山西晋城·一模）训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为 （）． 22．（2025·山西太原·一模）随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为 ． 一次函数的实际应用题型05 23．（2025·山西运城·一模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是：（   ） 弹簧总长度 重物重量 A． B． C． D． 24．（2025·山西晋中·一模）为响应《2025年中国低碳环保发展行动计划》，某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如下表： 类型 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 (1)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； (2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？ 25．（2025·陕西西安·一模）如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 27．（2025·山西运城·模拟预测）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ 1．（2023·山西太原·一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（    ） A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论 2．（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（2025·山西·模拟预测）一次函数的图象上有两点，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（2025·山西·一模）下列对于一次函数的描述错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．图象不经过第一象限 C．图象经过点 D．图象与x轴交于点 5．（2025·山西·模拟预测）温度是影响声音传播速度的一个关键因素．在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大．根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的函数关系式为（   ） 温度 20 25 30 声速 1480 1505 1530 A． B． C． D． 6．（2025·山西·一模）现代营养学家通常用身体质量指数（简称）作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标．身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米）的关系是．若一个人的身高为米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山西介休·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 … 8 13.5 19 若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西吕梁·一模）杆秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．经研究发现使用杆秤称重时，秤钩所挂物重（单位：千克）是秤杆上秤砣所挂位置到秤纽所在位置的水平距离（单位：厘米）的一次函数，部分数据如下表：表中一个数据不慎被污染，被污染的数据是（   ） /厘米 1 2 3 ．．． /千克 0.75 1.00 1.25 ．．． 3.50 A．10 B．11 C．12 D．13 9．（2025·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（   ） A．12 B． C．10 D．6 10．（2025·山西·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为 ． … 1 2 3 4 5 … … 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 … 11．（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 12．（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 13．（2025·云南昆明·模拟预测）某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个． (1)每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 14．（2025•黎城县校级模拟）山药是山中之药、食中之药，有“神仙之食”的美名，为方便人们使用，现在很多企业将山药加工成山药粉进行销售，小李想要购进一批山药粉，了解到某品牌山药粉有罐装（500g）和盒装（270g）两种规格，每件盒装山药粉的价格是每件罐装山药粉价格的，用500元购买盒装山药粉的数量比用500元购买罐装山药粉的数量多6件． （1）求该品牌罐装山药粉和盒装山药粉的单价． （2）小李打算购买该品牌罐装山药粉和盒装山药粉共100件进行销售，且购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，求最低的购买费用． 15．（2025·山西忻州·模拟预测）【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务． 判断车辆是否因超速被罚款 背景 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据规定，若平均车速超速以上未达到，将处以200元以内罚款 素材一 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动距离，即 素材二 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 素材三 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度关于时间的函数图象如图2所示，和是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒千米/时） 问题解决： (1)直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒． (2)如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间． (3)在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面直角坐标系&函数&一次函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数及其图象 题型03 一次函数的图象与性质 题型04 一次函数与图形变换 题型05由实际问题抽象一次函数解析式 题型06 一次函数的实际应用 平面直角坐标系题型01 1．（2025·山西介休·一模）右图是利用平面直角坐标系画出的北师大实验中学部分建筑手绘地图．若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（    ） A．体育馆 B．信毅楼 C．知味堂 D．勤政楼 【答案】B 【分析】根据操场的点的坐标和勤学楼的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出信毅楼的点的坐标． 【详解】根据题意可建立如下坐标系： 由坐标系可知，表示信毅楼的坐标是； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 2．（2025·山西晋城·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 3．（2025·山西·一模）信息小组通过编程设计6个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人A，B的坐标分别为，，则机器人C的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据点A和B点的坐标建立平面直角坐标系，再结合图形得出答案． 本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系． 【详解】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系 由图可知机器人C的坐标是 故答案为： 函数及其图象题型02 4．（2025·山西·一模）物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键． 由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可． 【详解】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大， ∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大， ∴． 故选A． 5．（2025·山西运城·一模）某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦时） … 应缴电费（元） … A．用电量每增加千瓦时，电费增加元 B．若用电量为千瓦时，则应缴电费元 C．若应缴电费为元，则用电量为千瓦·时 D．若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦时 【答案】D 【分析】根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可． 【详解】解：A、若用电量每增加千瓦时，则电费增加元，故本选项叙述正确，不符合题意； B、若用电量为千瓦时，则应缴电费元，故本选项叙述正确，不符合题意； C、若应缴电费为元，则用电量千瓦时，故本选项叙述正确，不符合题意； D、若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦·时，故本选项叙述错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系． 6．（2025·山西大同·一模）铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（   ） A．时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B．硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C．时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D．当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解纵横坐标表示的意义，然后分析两种物质的溶解度曲线的走势，再结合交点的位置进行分析，即可作答． 【详解】解：A、时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐减小，故该选项不符合题意； B、时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； C、时，硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； D、当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（2025·山西忻州·一模）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】对整个过程分段：小明出发至妈妈出门追，妈妈出门追至追上，停留，两人分开至同时到达，分别分析讨论． 【详解】由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y随x的增大而增大，妈妈出门追至追上小明这段时间，y随x的增大而减小，停留阶段，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大； 故选：B． 【点睛】本题考查根据函数图象获取信息，将实际运动情况分段考虑，与图象对应是解题的关键． 一次函数的图形与性质题型03 8．（2025·山西临汾·一模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查一次函数的增减性，一次函数，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小，根据一次函数的性质解答． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵，两点都在关于x的一次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 9．（2025·山西晋城·一模）已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据直线经过点得，进而可判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵经过点，即：， ∴， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：B． 10．（2025·山西晋中·一模）一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．关于的方程的解是 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选D． 11．（2025·山西吕梁·一模）已知直线过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，依据题意，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可．解题的关键是掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】解：∵直线，， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 12．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） … 1 3 … … 5 … A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质．根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，故选项B不正确，符合题意； ∵当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，故选项C正确，不符合题意； ∵一次函数的图象与轴交于点，且，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 一次函数与图形变换题型04 13．（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，则平移后的直线解析式为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点， ∴平移后的直线解析式为， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．（2025·山西运城·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，的长为5，将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，一次函数图象上点坐标的特征．求出，由，可得，，根据将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，知，，，即可得． 【详解】解：在中，令得， ， ， ， ， ， 将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D， ，，， ； 故选：A． 15．（2025·山西黎城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，12），B是x轴负半轴上一点，OP平分∠AOB，则OP所在直线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】过点A作轴交于点，过点作轴于点，于点，过点作轴于点，根据，轴，轴，点A的坐标是（5，12）可得,，，因为平分可得，易证得，可求出的长度，即可得出点的坐标，可求出所在直线的函数解析式． 【详解】解：如图，过点A作轴交于点，过点作轴于点，于点，过点作轴于点； 点的坐标是， ,； , 轴，轴， ； 平分， ； 轴， ， 在和中， ， ， ； ， , 点的坐标为； 设直线的解析式为，将点的坐标为代入 可得：， 解得：； ； 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角函数以及正比例函数解析式的求解，熟练掌握数形结合的方法是本题解题关键． 16．（2025·山西大同·模拟）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线绕点A逆时针旋转交x轴于点C．则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，可求出，根据旋转之后又可得出，然后根据特殊三角函数值即可求解． 【详解】解：∵一次次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B， 令，则， 令，则， ∴， ， ， ∴， 将逆时针旋转后，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，以及解直角三角形，解题关键是求出A，B两点坐标，得出． 由实际问题抽象一次函数的解析式题型05 17．（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 18．（2025·山西阳泉·模拟预测）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则与之间的函数关系式为（　　） 出水时间 ．．． 5 10 15 20 ．．． 剩余水量 ．．． 80 60 40 20 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的解析式，找到函数变化的规律是解题的关键．根据表格的数据可知，出水时间每增加，剩余水量就减少，据此先求出水箱内原有水量，再求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：由表格可知，出水时间每增加，剩余水量就减少， 则水箱内原有水量为， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 19．（2025·山西吕梁·一模）研究人员发现，在时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与t之间的关系式为（   ） 温度t（℃） 21 23 25 每分钟鸣叫次数y（次） 112 126 140 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设y与t之间的关系式为，代入表格中的数据求出的值即可得出答案． 【详解】解：设y与t之间的关系式为， 代入和，得， 解得：， y与t之间的关系式为． 故选：A． 20．（2025·山西朔州·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如下为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式即可解题． 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为：， 根据表格数据可得：， 解得， 与的函数关系式为：， 故选：A． 21．（2025·山西晋城·一模）训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为 （）． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，解题的关键是分析表格得出温度y关于运行时间x的关系式．根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：． 故答案为：． 22．（2025·山西太原·一模）随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求函数值，先把，分别代入，得出，即，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，且当时，灯光亮度的值为80， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 一次函数的实际应用题型05 23．（2025·山西运城·一模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是：（   ） 弹簧总长度 重物重量 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，根据表格观察可发现：重量每增加，弹簧总长增加，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解． 【详解】解：根据表格中数据：当重物质量每增加，弹簧总长增加可得： 弹簧总长和重物质量满足一次函数关系， 设弹簧总长与重物质量的关系式为， 将、代入，得：， 解得， 与之间的函数关系式为：； 当时， 故重物为时弹簧总长是， 故选：D． 24．（2025·山西晋中·一模）为响应《2025年中国低碳环保发展行动计划》，某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如下表： 类型 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 (1)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； (2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？ 【答案】(1) (2)商场购进A型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1520元 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，理清题目数量关系并列式求出m的取值范围是解题的关键． （1）由商场购进A型台灯x盏，则购进B型台灯为盏，然后根据题意列出函数解析式即可； （2）根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 【详解】（1）解：商场购进A型台灯x盏，则购进B型台灯为盏， 由题意可得：， 所以y与之间的函数关系式：； （2）解：型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值为（元），此时． 答：商场购进A型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1520元． 25．（2025·陕西西安·一模）如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1) (2)此时碗的数量最多为10个 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和一元一次不等式的解法是解题的关键． 利用待定系数法解答即可； 根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为为常数，且． 将和分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵x为非负整数， ∴此时碗的数量最多为10个． 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 【答案】(1)图见详解；一次； (2) (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据表描点，结合描点即可得到图像； （2）设与之间的函数关系式为，从表格找点代入求解即可得到答案； （3）将代入解析式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格描点如图所示， ， 由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线， ∴函数式一次函数关系， 故答案为：一次； （2）解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，得解得， 与之间的函数关系式为； （3）解：当时，， 解得， 当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是． 27．（2025·山西运城·模拟预测）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ 【答案】(1)见解析 (2)一次； (3)1小时会滴水千克；滴水小时能达到一个人的月平均饮水量 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中的数据描点即可； （2）根据函数图象，得出滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入求出，即可得出1小时滴水量，用50千克除以1小时滴水量，即可得出滴水时间． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中描点，如图所示： （2）解：根据解析（1）可知：这些点在一条直线上，因此滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数， 设，把，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：把代入得：， ∵1毫升水的质量约为1克， ∴1小时会滴水克，即千克； （小时）， 即滴水小时能达到一个人的月平均饮水量． 1．（2023·山西太原·一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（    ） A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论 【答案】A 【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解． 【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合， 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键． 2．（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．根据题意，盐酸溶液呈酸性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵盐酸溶液呈酸性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：C． 3．（2025·山西·模拟预测）一次函数的图象上有两点，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：一次函数的， 随的增大而减小， ， ， 故选：C． 4．（2025·山西·一模）下列对于一次函数的描述错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．图象不经过第一象限 C．图象经过点 D．图象与x轴交于点 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据k，b的值判断图象的增减性及经过的象限，可判断选项A，B，求出时对应的函数值可判断选项C，令求出对应的x的值，可判断选项D． 【详解】解： 中，， y随x的增大而减小，故选项A描述正确，不合题意； ，， 图象经过第一、二、四象限，故选项B描述错误，符合题意； 当时，， 图象经过点，故选项C描述正确，不合题意； 令，解得， 图象与x轴交于点，故选项D描述正确，不合题意； 故选B． 5．（2025·山西·模拟预测）温度是影响声音传播速度的一个关键因素．在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大．根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的函数关系式为（   ） 温度 20 25 30 声速 1480 1505 1530 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点和，利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：设与之间的函数关系式为， 将点和代入得：， 解得， 则与之间的函数关系式为， 故选：D． 6．（2025·山西·一模）现代营养学家通常用身体质量指数（简称）作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标．身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米）的关系是．若一个人的身高为米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了正比例函数，根据题意确定出身体质量指数与他的体重之间的函数关系是正比例函数，结合图象即可求解． 【详解】解：若一个人的身高为米，则， 故身体质量指数与他的体重之间的函数关系是正比例函数， ∵， ∴身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致是： 故选：C． 7．（2025·山西介休·一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 … 8 13.5 19 若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式，再令，即可解题． 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设与的函数关系式为：， 根据表格数据可得：， 解得， 与的函数关系式为：， 当不挂重物时，， 代入函数关系式得：， 秤跎到秤纽的水平距离是， 故选：B． 8．（2025·山西吕梁·一模）杆秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．经研究发现使用杆秤称重时，秤钩所挂物重（单位：千克）是秤杆上秤砣所挂位置到秤纽所在位置的水平距离（单位：厘米）的一次函数，部分数据如下表：表中一个数据不慎被污染，被污染的数据是（   ） /厘米 1 2 3 ．．． /千克 0.75 1.00 1.25 ．．． 3.50 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．依题意，设与x之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解，再将代入解析式即可求解． 【详解】解：依题意，设与x之间的函数关系式为， 把，，，代入， 可得， 解得， 与之间的函数关系式是； 当时，， 解得： 被污染的数据是12． 故选：C． 9．（2025·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（   ） A．12 B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 待定系数法求出直线解析式为，设点，得到，继而得到四边形周长． 【详解】解：设一次函数解析式为，由图象可知一次函数图象过，，代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为， 设点， 由解析式可知：， 四边形的周长是， 故选：A． 10．（2025·山西·一模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为 ． … 1 2 3 4 5 … … 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 … 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设水位和时间的一次函数解析式为，根据表格代入数据解方程组即可求出解析式，将代入即可求解． 【详解】解：设水位和时间的一次函数解析式为， 根据表格得， 解得， 一次函数解析式为， 当，． 故答案为：． 11．（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解． 【详解】解：关于的方程的解，就是一次函数的图象与x轴交点的横坐标， 观察图象知，； 故答案为：． 12．（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 13．（2025·云南昆明·模拟预测）某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个． (1)每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元 (2)A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，根据数量关系列出方程、不等式与函数式是解题的关键． （1）设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元，根据等量关系：用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，再求解并检验即可； （2）由题意购买B种书架个，由不等关系可求得a的范围；根据费用列出W关于a的一次函数关系，即可求得最小值． 【详解】（1）解：设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则每个种书架的价格为（元）； 答：每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元； （2）解：由题意购买B种书架个， 则， 解得：； 而，其中， 当时，W随a的增大而增大， 当时，W取得最小值21600； 此时； 答：A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元． 14．（2025•黎城县校级模拟）山药是山中之药、食中之药，有“神仙之食”的美名，为方便人们使用，现在很多企业将山药加工成山药粉进行销售，小李想要购进一批山药粉，了解到某品牌山药粉有罐装（500g）和盒装（270g）两种规格，每件盒装山药粉的价格是每件罐装山药粉价格的，用500元购买盒装山药粉的数量比用500元购买罐装山药粉的数量多6件． （1）求该品牌罐装山药粉和盒装山药粉的单价． （2）小李打算购买该品牌罐装山药粉和盒装山药粉共100件进行销售，且购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，求最低的购买费用． 【分析】（1）设每件罐装山药粉价格是5x元，则每件盒装山药粉的价格是2x元，用500元购买盒装山药粉的数量比用500元购买罐装山药粉的数量多6件．据此列方程并解方程即可； （2）设购买该品牌罐装山药粉为m件，则购买该品牌盒装山药粉（100﹣m）件，设购买费用为w元，根据总费用列出函数解析式，购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出m的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可． 【解答】解：（1）设每件罐装山药粉价格是5x元，则每件盒装山药粉的价格是2x元， 则， 整理得，60x＝1500， 解得x＝25， 经检验x＝25是分式方程的解且符合题意， 则5x＝125，2x＝50， 答：每件罐装山药粉价格是125元，则每件盒装山药粉的价格是50元； （2）设购买该品牌罐装山药粉为m件，则购买该品牌盒装山药粉（100﹣m）件，设购买费用为w元， 则w＝125m+50（100﹣m）＝75m+5000， 由题意可得，100﹣m≤3m， 整理得，4m≥100， 解得m≥25， ∵75＞0， ∴w随着m的增大而增大， ∴当m＝25时，w的最小值为75×25+5000＝6875． 即最低的购买费用为6875元， 答：最低的购买费用为6875元． 【点评】此题考查了分式方程的应用和一次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 15．（2025·山西忻州·模拟预测）【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务． 判断车辆是否因超速被罚款 背景 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据规定，若平均车速超速以上未达到，将处以200元以内罚款 素材一 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动距离，即 素材二 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 素材三 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度关于时间的函数图象如图2所示，和是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒千米/时） 问题解决： (1)直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒． (2)如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间． (3)在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 【答案】(1)25 (2) (3)从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂函数图象，从中正确获取信息是解题关键． （1）设该车进入隧道口时的速度为米/秒，根据该车从开始减速到进入隧道口时，行驶的路程等于600米建立方程，解方程即可得； （2）先利用待定系数法求出速度关于时间的函数关系式，再求出108千米/时等于30米/秒，将代入计算即可得； （3）先求出，代入函数关系式求出此时的速度，再根据平均速度的公式计算即可得． 【详解】（1）解：设该车进入隧道口时的速度为米/秒， 由题意得：， 解得， 所以该车进入隧道口时的速度为25米/秒， 故答案为：25． （2）解：设速度关于时间的函数关系式为， 由（1）可知，这个函数的图象经过点， ∵（米/秒）， ∴这个函数的图象经过点， 将点和代入得：，解得， ∴， ∵（米/秒）， ∴将点代入函数得：， 解得． （3）解：由（2）已得：， ∵从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒， ∴， 将代入函数得：， ∵（米/秒）， ∴从第一次闪光后到第二次闪光时，平均车速为（米/秒）， ∵，， ∴从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$