专题07 反比例函数（4大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题07 反比例函数 题型概览 题型01 反比例函数的图象与性质 题型02 反比例函数的实际应用 题型03 反比例函数与几何图形的综合 题型04 反比例函数与一次函数的综合 反比例函数的图象与性质题型01 1．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西朔州·一模）点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 4．（2025·山西运城·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 反比例函数的实际应用题型02 5．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西·一模）某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（   ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A．0.12 B．0.15 C．0.16 D．0.18 7．（2025·山西太原·一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 8．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强是汽缸内气体的体积的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 9．（2025·山西忻州·一模）【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为 Pa． 10．（2025·山西朔州·一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间呈反比例函数关系，其图象如图2所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过．若一辆车以最大时速匀速通过该路段，则时间 ． 11．（2025·山西晋中·一模）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)与之间的函数表达式为____________． (2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 反比例函数与几何图形的综合题型03 12．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2）．若反比例函数（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ． 13．（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 14．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 15．（2025·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 反比例函数与一次函数的综合题型04 16．（2025·陵川县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，），且与反比例函数 的图象交于点C，过点C作CD⊥y轴于点D,且CD=3. (1)求直线AC的函数表达式. (2)设点P是x轴上的点，若△PAC的面积等于12，求出所有符合条件的点P的坐标. 17．（2025·山西朔州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 18．（2025·山西长治·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象在第三象限内交于点，与x轴交于点B，且横坐标为3． (1)请自接写出k，n的值． (2)若C为第一象限内反比例函数图象上一点，且点C的纵坐标为4，连接，求的面积． 19．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 20．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接．请直接写出的面积． 1．（2025·山西·一模）已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西吕梁·一模）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西朔州·一模）玲玲在绘制某反比例函数的图象时，列表如下． 3 6 8 2 其中记录错误的的数据为（   ） A． B． C．8 D．2 4．（2025·山西吕梁·一模）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·山西·一模）已知反比例函数的图象上有两点．下列结论一定正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（2024·山西·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数交于点，，过点作轴于点，若的面积为2，则 ． 8．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻最大的是 （    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 10．（2025·山西吕梁·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与可变电阻（单位：）满足反比例函数关系，当电阻时，电流．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻最小应是 ． 11．（2025·山西·一模）视力表是眼科常用的检查工具，通常让患者辨认视力表上的视标，可以评估患者的视力水平，其中视力值是该行字母的宽度值的反比例函数．已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示．若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是 ． 宽度值 70 28 14 3.5 视力值 0.1 0.25 0.5 2.0 12．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 13．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点B是反比例函数与直线在第一象限内的一个交点，其中，若另一个交点是D，则的面积是 ． 14．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 15．（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 16．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 17．（2024·山西阳泉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，的取值范围是______． 18．（2024·山西太原·三模）如图示，矩形的边分别在坐标轴上，反比例函数的图象经过边的中点D，与边交于点E． (1)如果点D的坐标为，请直接写出点E的坐标； (2)试判断的中点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 19．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为． (1)设点A的坐标为则点的坐标为 ； (2)①求反比例函数的表达式； ②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 20．（2025·山西运城·一模）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 反比例函数 题型概览 题型01 反比例函数的图象与性质 题型02 反比例函数的实际应用 题型03 反比例函数与几何图形的综合 题型04 反比例函数与一次函数的综合 反比例函数的图象与性质题型01 1．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵ ∴点A在第二象限，点B、C在第四象限， ∵， ∴． 故选：A 2．（2025·山西朔州·一模）点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数，求出y1、y2、y3的值，再根据比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 4．（2025·山西运城·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数函数值的比较；由点C在反比例函数的图象上，可求得反比例函数的解析式，再求出当自变量分别为m与n时的函数值，进行比较即可． 【详解】解：∵由点C在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴； 当时，；当时，； ∴； 对于选项A、B，或，但无法确定的分母的符号， 故不能比较大小； 对于选项C、D，，且，故， 即； 故选：D． 反比例函数的实际应用题型02 5．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出与的函数关系式. 根据杠杆原理得出与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可． 【详解】解：根据杠杆原理可得，， ， 是的反比例函数， 选项、不符合题意； ，， 选项不符合题意；选项符合题意； 故选：． 6．（2025·山西·一模）某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（   ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A．0.12 B．0.15 C．0.16 D．0.18 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数应用，首先利用待定系数法得到，然后将代入求解即可． 【详解】根据题意得，电流I和电阻R，成反比例函数关系，即 ∴将，代入得， ∴ ∴将代入得，． ∴若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为． 故选：B． 7．（2025·山西太原·一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，先理解含糖浓度与饮料质量的乘积就是值，再结合的实际意义为甜味剂质量，得出甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的；再观察函数图象，得出，即可作答． 【详解】解：∵含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系：甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足， ∴甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的； 由函数图象得出， 即丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多， 故选：D 8．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强是汽缸内气体的体积的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【答案】90 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值等．根据题意先设解析式为，代入得出反比例解析式，再将压强和分别代入求出自变量值再做减法即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 将代入中得：， ∴反比例解析式为：， ∴当压强为时，， 当压强为时，， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了：， 故答案为：90． 9．（2025·山西忻州·一模）【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为 Pa． 【答案】2000 【分析】本题主要考查了求反比例函数，根据题意设压强和受力面积的关系式为，求出解析式，再将代入计算求出p即可． 【详解】解：设压强和受力面积的关系式为，根据题意，得 ， ∴反比例函数的关系式为， 当时，（）. 故答案为：2000． 10．（2025·山西朔州·一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间呈反比例函数关系，其图象如图2所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过．若一辆车以最大时速匀速通过该路段，则时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式，将代入即可解答，熟练用待定系数法求反比例函数是解题的关键． 【详解】解：设平均行驶速度与行驶时间的关系式为， 根据图象把代入可得，解得， 平均行驶速度与行驶时间的关系式为， 把代入解析式可得，解得，经检验是原方程的解， 故一辆车以最大时速匀速通过该路段，则时间， 故答案为：． 11．（2025·山西晋中·一模）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)与之间的函数表达式为____________． (2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 【答案】(1) (2)托盘与点之间的距离是 (3)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【分析】（1）由表格中，即可得到与之间的函数表达式； （2）把代入求解即可得到答案； （3）由反比例函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 中数据可知，， 与之间的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：把代入，得，解得， 答：当砝码的质量为时，托盘B与点之间的距离是． （3）解：应往托盘中添加砝码． 理由如下： ∵， ∴该函数图象在第一象限内，的值随值的增大而减小， ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 反比例函数与几何图形的综合题型03 12．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，2）．若反比例函数（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ． 【答案】-6． 【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=1，OB=CE=2，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴， 由条件可知OB=2，OA=1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CBA=90°，AB=BC， ∴∠CBE+∠ABO=90°， ∵∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBE=∠BAO， ∵∠CEB=∠BOA=90°， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴OA=BE=1，OB=CE=2， ∴OE=OB+BE=3， ∴C（-2，3）， 将点C代入反比例函数解析式可得：k=﹣6， 故答案为：﹣6． 13．（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键；根据k的几何意义求出，进而求出 ，再根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：由题意知：四边形是矩形， 点在的图象上， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 14．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可． 【详解】解：∵E，F两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，轴,轴, ∴，， ∵四边形的面积为16， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（2025·山西阳泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差得到方程，求出得到点坐标，然后把点坐标代入中求出的值． 【详解】解：过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图， ， ，， ， 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点， ，， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 把代入， 得． 故选：B． 反比例函数与一次函数的综合题型04 16．（2025·陵川县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，），且与反比例函数 的图象交于点C，过点C作CD⊥y轴于点D,且CD=3. (1)求直线AC的函数表达式. (2)设点P是x轴上的点，若△PAC的面积等于12，求出所有符合条件的点P的坐标. 【答案】 (2)P(﹣8,0)或(4,0). 【分析】(1)由反比例函数图象上点的坐标特征求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AC的解析式： (2)根据三角形面积求得PA=6，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得A的坐标，就可以求得P的坐标. 【解答】解: (1)∵CD⊥y轴于点D，CD=3， ∴C点的横坐标为3. 把x=3代入比例函数 得， ∴C(3,4). 设直线AC的解析式为，把B (0，)，C(3，4)代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为 . (2) 由题意,若△PAC的面积等于12. 令 ∴x=﹣2. ∴A(-2,0). ∵PA=6， ∴P(﹣8，0)或(4，0). 17．（2025·山西朔州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，一次函数的交点，熟练利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）把代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，再求出点，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）求得直线的解析式，可求出点的坐标，即可求得的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数解析式可得， 则， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 一次函数的解析式为， （2）解：设直线的解析式为， 把代入一次函数解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 的面积为． 18．（2025·山西长治·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象在第三象限内交于点，与x轴交于点B，且横坐标为3． (1)请自接写出k，n的值． (2)若C为第一象限内反比例函数图象上一点，且点C的纵坐标为4，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入得到，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）先根据反比例函数求得点的坐标，作轴交直线于点，于点F，求得，，即可求得的面积． 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积计算等知识． 【详解】（1）解：把代入得到 解得． ∴一次函数的解析式为 把代入反比例函数得到， ， 反比例函数为； （2）解：∵点C的纵坐标为4且在反比例函数的图象上， ∴， 解得 ∴点C的坐标为 作轴交直线于点，于点F， ∴点的横坐标为， ∴ ∴ 19．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 【答案】(1)，，直线的函数表达式为 (2)15 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别代入点的坐标到，求出的值，设直线的函数表达式为，代入点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，先求出直线的函数表达式，得出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：代入到，得， 代入到，得， ，， 设直线的函数表达式为， 代入，得，， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：过点作轴交于点， 设直线的函数表达式为， 代入得，， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ， ， 反比例函数图象关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， 的面积为15． 20．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接．请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)27 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数交点，几何图形面积的计算，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，函数与结合图形面积的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，则点的坐标为，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例的函数表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与轴交于点的坐标为， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为27． 1．（2025·山西·一模）已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式；设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中，得到关于m的方程，解方程即可求得m的值，从而得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中， 得，即， 解得：， ∴， 即函数解析式为； 故选：B． 2．（2025·山西吕梁·一模）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到，进而求解，即可解题． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·山西朔州·一模）玲玲在绘制某反比例函数的图象时，列表如下． 3 6 8 2 其中记录错误的的数据为（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积是定值可得答案. 【详解】解：∵反比例函数图象上点的横纵坐标的积是定值， ∴， ∴记录错误的的数据为， 故选：C 4．（2025·山西吕梁·一模）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ， ∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ， ∴，在第二象限，点在第四象限， ， 故选：D． 5．（2025·山西·一模）已知反比例函数的图象上有两点．下列结论一定正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，确定两点是否在同一支上，后根据性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，正确判定两点是否在同一支上时解题的关键． 【详解】解：根据得， ∴函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，且横坐标、纵坐标同号， ∵都在反比例函数的图象上， 当时，都在第一象限内时， ∵ ∴， 故A选项错误，B选项正确； 当时，在第三象限内，点的位置无法确定， ∴无法比较大小， ∴C，D都错误， 故选：B． 6．（2024·山西·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像问题．根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方， 即， 故选：D． 7．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数交于点，，过点作轴于点，若的面积为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的图象与性质、反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数和正比例函数的图象与性质是解题关键．过点作轴于点，先根据函数的图象与性质可得点与点关于原点对称，且，再设点的坐标为，则点的坐标为，根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由函数的图象与性质可知，点与点关于原点对称，且， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵轴于点，轴于点， ∴，，，， ∵的面积为2， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 8．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻最大的是 （    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数的应用．根据图示得出利用不等式的性质得出则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 由图象可知： ∴ ∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，同理丁的电阻大于乙的电阻， ∴这四个用电器中电阻最大的是丙． 故选：C． 9．（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——火电厂的双曲线型冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键． 设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为． 【详解】设的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵y轴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故选：A． 10．（2025·山西吕梁·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与可变电阻（单位：）满足反比例函数关系，当电阻时，电流．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻最小应是 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数的应用，先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．解题的关键是会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题． 【详解】解：如图， 设反比例函数关系式为， ∵当电阻时，电流， ∴， 解得：， ∴反比例函数关系式为， 当时，则， ∴， ∴用电器可变电阻最小应是． 故答案为：． 11．（2025·山西·一模）视力表是眼科常用的检查工具，通常让患者辨认视力表上的视标，可以评估患者的视力水平，其中视力值是该行字母的宽度值的反比例函数．已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示．若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是 ． 宽度值 70 28 14 3.5 视力值 0.1 0.25 0.5 2.0 【答案】0.4 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 先求出反比例函数的解析式，再把代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意设， 当时， ， ∴， ∴当时，， 故答案为：0.4． 12．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】作轴，轴，轴，，作，利用反比例函数的性质以及勾股定理可得，，再利用勾股定理可得长，根据三角形面积公式计算即可．本题考查了反比例函数值几何意义，勾股定理，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，轴，，作， ∵顶点A、B在反比例函数 ∴ ∵，， ∴ 把代入，得： 解得（负值舍去） ∴， ，， ， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， ， ． 故答案为：4． 13．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点B是反比例函数与直线在第一象限内的一个交点，其中，若另一个交点是D，则的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，先求出反比例函数的解析式，然后利用解方程组求出点D的坐标，然后根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∴点的坐标为， ∴ ，解得， ∴点的坐标为， 代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为， 解方程组， 解得，， ∴点D的坐标为， ∴， 故答案为：． 14．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点D在反比例函数上， ∴设点D的坐标为， ∵D为的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 15．（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)不合理，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答； （2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答． 【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值， 与之间的函数为反比例函数， 设， 把，代入可得， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得，经检验分式成立， ， 故不符合题意，设计不合理． 16．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 17．（2024·山西阳泉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，交点坐标适合两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点A的坐标分别代入，求出m的值，即可得到点A，B坐标，再把点A的坐标代入，求出的即可； （2）求出点B，C，D的坐标，根据可得结论； （3）结合图像可得结论 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点， 把点代入，得 ∴ ∴与反比例函数解析式为 （2）解：对于一次函数， 当时，；当时，， ∴， ∴ 把代入，得， ∴， ∴ ； （3）解：由图象可得，当时，的取值范围是或， 故答案为：或 18．（2024·山西太原·三模）如图示，矩形的边分别在坐标轴上，反比例函数的图象经过边的中点D，与边交于点E． (1)如果点D的坐标为，请直接写出点E的坐标； (2)试判断的中点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键． （1）求出反比例函数解析式为，得到点B的坐标为，则点E的横坐标为4，求出点E的纵坐标，即可得到答案； （2）设点D的坐标为，则，即，求出的中点的坐标是，由即可证明结论． 【详解】（1）解：把点D的坐标代入得到， ，解得    ， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点B的坐标为， ∴点E的横坐标为4， 当时，， ∴点E的坐标为； （2）中点在反比例函数图象上，理由如下： 设点D的坐标为，则，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点B的坐标为， ∴的中点的坐标是， ∵ ∴的中点在反比例函数的图象上． 19．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为． (1)设点A的坐标为则点的坐标为 ； (2)①求反比例函数的表达式； ②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)反比例函数解析式为；直线的解析式为 (3)时，最大，最大值为 【分析】（1）利用中点坐标公式即可得出结论； （2）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论； 由，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论； （3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）解：点C是的中点，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ∴， 点C是的中点， ∴， 点C，在双曲线上， ∴， ∴， 反比例函数解析式为； 由知，， ，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：如图，由；（2）知，直线的解析式为， 设点， 由（2）知，，， ∴， ∵轴交双曲线于F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，最大，最大值为． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立与m的函数关系式． 20．（2025·山西运城·一模）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)①；②4；；③见解析 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图像即可； （3）设，连接，，，根据三角形的面积求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 填表如下： … … … 8 4 2 … 故答案为：4，； ③函数图象如下所示： ； （3）解：点A的坐标为，B的坐标为，C为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，或是原方程的根， ∴时；时，， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$