精品解析：天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

泰达中学2024-2025学年度第二学期高二年级数学学科期中考试试卷 考试时间：100分钟；满分：150分 一、单选题（共60分） 1. 函数在上的平均变化率为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 2. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 5. 某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（ ） A. B. C. D. 6. 永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年月，成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻则共有种不同的排法． A. B. C. D. 7. 方程的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则 A. B. C. 1 D. 2 9. 已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B. 252 C. D. 28 10. 某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 12. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共40分） 13. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则________. 0 1 2 3 14. 函数在上的最小值为_______． 15. ____________________ 16. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 17. 石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则____，_________. 18. 设有一批同规格产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙､丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为__________． 19. 现有含甲在内6名志愿者到，3个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选择方案的种数为__________.（用数字作答） 20. 已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为__________. 三、解答题（共50分） 21. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． （1）求的值； （2）求展开式中的系数． 22. 某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． （1）求至少回答正确一个问题的概率； （2）求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 23. 已知函数，， （1）求的单调区间和极值点； （2）求使恒成立的实数的取值范围. 24. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设是函数的两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰达中学2024-2025学年度第二学期高二年级数学学科期中考试试卷 考试时间：100分钟；满分：150分 一、单选题（共60分） 1. 函数在上平均变化率为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平均变化率公式进行求值. 【详解】函数在上的增量， 所以函数在上的平均变化率为. 故选：C. 2. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用初等函数求导公式判断，，，用复合函数求导公式判断. 【详解】对于项：常值函数求导，，所以错； 对于项：余弦函数求导，，所以错； 对于项：幂函数求导，，所以错； 对于项：复合函数求导，，令，，，， 所以，所以正确； 故选：. 4. 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作， 所以不同方法种数为. 故选：C 5. 某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合条件可将张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种，根据分类加法计数原理求结论. 【详解】由条件张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种， 选购一种商品的方法有种， 选购两种商品的方法有种， 选购三种商品的方法有种， 由分类加法计数原理可得张先生不同选购方法种数共有种， 故选：D. 6. 永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年月，成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻则共有种不同的排法． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】将方形、五角形看成一个整体，与除圆之外的4个图形全排列， 再将圆形安排在第一个或最后一个，因此共有种不同的排法． 故选：A. 7. 方程的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质化简方程，即可得解. 【详解】因为，，， 则，或， 解得或， 即方程的解集为， 故选：A. 8. 已知，则 A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求解的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式， 令，可得，故选B． 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和的计算，其中解答中根据二项展开式的形式，合理复数，准确计算是解答的关键，着重考查了赋值思想，以及计算与求解能力，属于基础题． 9. 已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B. 252 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中系数为， 故选：B 10. 某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，计算出、，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意甲最终通过测试包括，第一次答对，其概率为，第二次答对，其概率为， 第三次答对，概率为， 记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，则，， 由条件概率公式可得. 故选：B． 11. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程在上有两不等实根，通过求二次函数的值域即得的取值范围. 【详解】函数在上有极值， 即在上有变号零点， 也即方程在上有两不等实根， 由可得，当且仅当时，等号成立， 故需使. 故选：B. 12. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、填空题（共40分） 13. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则________. 0 1 2 3 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列性质利用概率之和为1得解. 【详解】由分布列性质可知，， 解得， 故答案为： 14. 函数在上的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上单调性，即可求解. 【详解】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 15 ____________________ 【答案】 ①. 4 ②. 0 【解析】 【分析】本题主要涉及排列数公式和组合数公式，通过代入公式计算出排列数和组合数的值，再进行相应的减法运算. 【详解】根据排列数公式可得.  根据组合数公式，可得 可得.   .  即.  所以.   故答案为：；. 16. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求其通项，即可计算其常数项. 【详解】通项为， 故当时，常数项为. 故答案为： 17. 石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则____，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为， 故， 又事件的总数为，所以， 事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为， 所以，所以. 故答案为：. 18. 设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙､丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为__________． 【答案】0.025## 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式进行求解即可. 【详解】设分别表示甲，乙，丙工厂的产品，表示次品， 则， ， . 故答案为：. 19. 现有含甲在内的6名志愿者到，3个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗的知识. 要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选择方案的种数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先将除甲外的个人进行安排，分和两种情况分堆后分配，然后再将甲选一个村庄安排下去即可. 【详解】先将除甲外的个人进行安排， 当按照进行分配安排时，有种方案； 当按照进行分配安排时，有种方案； 再将甲安排下去共有种方案. 故答案为： 20. 已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，， 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 画出的图象如下： 要想关于的方程有个不同实根，则要函数与有个不同的交点即可， 显然当时，符合题意，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（共50分） 21. 已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． （1）求的值； （2）求展开式中的系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）由二项式定理求解． 【小问1详解】 由题意可得，，解得； 【小问2详解】 ， 二项展开式的通项为 由，得． 展开式中的系数为． 22. 某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． （1）求至少回答正确一个问题的概率； （2）求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意随机变量的所有可能取值为，，，，，，求出对应概率，即可得分布列. 【小问1详解】 设至少回答正确一个问题为事件，则； 【小问2详解】 这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 23. 已知函数，， （1）求的单调区间和极值点； （2）求使恒成立的实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. 函数有极小值点：. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号，求函数的单调区间和极值点. （2）把问题转化成在上恒成立，设，利用导数分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【小问1详解】 因为（），所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数有极小值点：，没有极大值点. 【小问2详解】 由恒成立（）恒成立. 即（）恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为. 所以. 所以实数的取值范围是. 24. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）明确函数的解析式，求导，结合分类讨论思想的应用，利用导函数的符号确定函数的单调区间. （2）先根据是函数的两个极值点，得到的关系，再把转化成，在利用换元法，设，，则，.设函数，，只需证即可. 【小问1详解】 由题知： . ， 令得或， 当时，或，，单调递增； ，，单调递减 ； 当时，，单调递增 ； 当时，或，，单调递增. ，，单调递减 . 综上，当时，在区间和上单调递增，在上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由题意可知，， 有两个极值点，是两正根， 则， 且. . ， ∴要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 令，则证明， 令，则，在上单调递增， 则，即， 所以原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$