精品解析：广东省揭阳市揭东区第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期高一数学期中考试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 A. B. C. D. 4. 如果直线平面，直线平面，且，则a与b（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 5. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则能达到最初的1200倍大约经过（ ） （参考数据：） A. 122天 B. 124天 C. 130天 D. 136天 8. 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限 C. 的虚部为 D. 若复数满足，则的最大值是6 10. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，，分别是的中点，则（ ） A. 四点，，，共面 B. C. 平面 D. 若，则正方体外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的值为______． 13. 若函数，且的图像恒过点P，则点P为________． 14. “天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，时，求函数的最值． 19. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期高一数学期中考试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合即可. 【详解】由题设. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形 ∴这个平面图形的面积： ， 故选D. 4. 如果直线平面，直线平面，且，则a与b（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论. 【详解】，说明a与b无公共点， 与b可能平行也可能是异面直线． 故选：D． 5. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 7. 为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则能达到最初的1200倍大约经过（ ） （参考数据：） A. 122天 B. 124天 C. 130天 D. 136天 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化即可求解. 【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为．设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则 ， ， ， 大约经过122天能达到最初的1200倍． 故选：A 8. 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积. 【详解】 如图，设在底面的射影为，则平面， 且为的交点. 因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且， 故，故. 由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为， 则，故，故， 故正四棱锥的外接球的表面积为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限 C. 的虚部为 D. 若复数满足，则的最大值是6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义判断A，根据复数的乘方化简，再由复数的几何意义判断B，根据复数的除法化简，即可判断C，根据三角不等式或根据复数的几何意义判断D. 【详解】对于A：由复数，所以的共轭复数是，故A正确； 对于B：由复数，得， 所以对应的点为，位于第二象限，故B正确； 对于C：由复数，所以，所以的虚部为，故C错误； 对于D： 法一：因为，利用复数模的三角不等式得，即的最大值是6. 法二：如图，因为在复平面上对应的点为， 又，表示在复平面上对应的点到的距离等于， 所以表示的点的轨迹为圆心在，半径等于的圆. 因为，， 所以当对应的点在处时，的最大值为，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案. 【详解】对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则，故A正确； 对于B，在平行四边形中，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，在平行四边形中，， ，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，，分别是的中点，则（ ） A. 四点，，，共面 B. C. 平面 D. 若，则正方体外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】连接和，由此可知点，，在平面中，而点不在平面中，即可判断选项；由已知得为△的中位线，利用中位线的性质即可判断选项；由已知得点,,都在平面,与平面相交，即可判断选项；由即可求得正方体的棱长为，则可以求出正方体外接球的半径，即可判断选项. 【详解】对于选项，连接和，由此可知点，，在平面中， 点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确； 对于选项，由正方体的性质结合条件可知，分别是的中点，所以, 又因为, 所以，即选项正确； 对于选项，点,,都在平面,所以与平面相交，即选项不正确； 对于选项，因为为△的中位线，且，所以正方体的棱长为， 设正方体外接球的半径为,则, 即，则外接球的表面积为,即选项正确； 故选： . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 13. 若函数，且的图像恒过点P，则点P为________． 【答案】 【解析】 【分析】令x-1=0,得x=1,再把x=1代入函数解析式即得定点P的坐标. 【详解】令x-1=0,得x=1,再把x=1代入得 y=1-2=-1,所以图像恒过定点（1，-1）. 故答案为 【点睛】(1)本题主要考查指数函数的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)指数函数的图像过定点（0,1）. 14. “天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理计算可得，结合计算即可求解. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 则， 在直角三角形中，， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量数量积的运算律和夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 ，且， 所以，所以与的夹角为； 【小问2详解】 . 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 如图，连接交于点，再连接, 在中，为中点，为的中，所以, 且平面，平面,所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于， 所以点到平面的距离等于， 根据等体积法可知. 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，时，求函数的最值． 【答案】（1）；（2）函数的最大值、最小值分别为：，． 【解析】 【分析】 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可． （2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可． 【详解】（1）． 由，， 可得，， ∴单调递增区间为：． （2）若． 当时，， 即，则， 所以函数的最大值、最小值分别为：，． 【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）由（1）知，， 设任意的，，满足，则，，， ， 即，所以在上是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）因为函数是奇函数，故，建立方程关系求解即可； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）由函数的奇偶性将不等式转化为，然后再利用单调性求的取值范围． 【详解】（1）是上的奇函数， ，即， 解之得； （2）略 （3）， ， 为奇函数， ， 由（2）知，在上是增函数， ，即恒成立， ，解得， 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $