甘肃省兰州市永登县兰州新区舟曲中学2025届高三下学期诊断考试数学试题

参考答案 一、单项选择题（共8题，共40分） 1. 【答案】C 2. 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ． 又因为集合 ，， 当 时，集合 为空集，符合题意；集合 不是空集时，． 由 ，，分别可得 ，， 所以实数 的所有值构成的集合是 ． 3. 【答案】C 【解析】（）当存在 使得 时， 若 为偶数，则 ； 若 为奇数，则 ； （）当 时， 或 ，， 即 或 ， 亦即存在 使得 ． 所以，“存在 使得 ”是“”的充要条件． 4. 【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ． 故选：D． 5. 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，解得 ． 所以 ，所以 ， 则 ，， 设向量 与 的夹角为 ， 所以 ， 因为 与 的夹角 的取值范围是 ，所以 ． 6. 【答案】B 【解析】因为 是等比数列，所以 ，又 ， 所以 和 是方程， 的两根，解得 或 ， 若 递增数列，则 ，，因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，解得 ； 若 是递减数列，则 ，， 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ，解得 ， 综上，数列的项数 等于 ． 7. 【答案】B 【解析】因为函数 在 上单调递增， 所以 解得 ， 则实数 的取值范围是 ． 8. 【答案】A 【解析】建立直角坐标系，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴， 则 ，，，． 所以 ，． 因为 ， 所以 ， 由此推出 ． 又 ，， 从而有 ． 二、多项选择题（共3题，共18分） 9. 【答案】C；D 【解析】设此人答对题目的个数为 ，则 ， ，， ，， 则答对 题和答对 题的概率相同，都为 ，故A错误； 答对 题的概率为 ，故B错误； 答对 题的概率为 ，故C正确； 合格的概率 ，故D正确． 10. 【答案】A；C；D 【解析】由于 ，，而 在 有且仅有 个零点， 所以 ，解得 ，故D正确； 因此只有满足 ，， 的 是 在 上的最大值点，共 个，故A正确； 满足 ， 的 显然是 在 上的最小值点，但当 接近 时，，也是一个最小值点，这时有 个最小值点，故B错误； 当 时，由 ，所以 是递增的，故C正确． 11. 【答案】B；C；D 【解析】设直线 的倾斜角为 ，，， 根据拋物线第一定义可得， ， 所以 ， 同理可得：， 所以 ， 因此当 时， 有最小值，其最小值为 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，故A错， ，故B正确， 联立 消 ，可得 ，故C正确， 故D正确， 故选BCD． 三、填空题（共3题，共15分） 12. 【答案】 【解析】因为 ， 所以 ， 故 13. 【答案】 【解析】原不等式等价于 ， 当 时，对 ，不等式恒成立； 当 时，则有 解得：． 综上所述，实数 的取值范围是 ． 14. 【答案】 四、解答题（共5题，共77分） 15. 【答案】 (1) 方法一：在 中， 因为 ， 所以由正弦定理可得 ． 因为 ， 所以 ． 所以 ． 在 中，， 所以 ， 所以 ． 方法二：在 中， 因为 ， 由余弦定理 ， 得 ， 整理得 ， 所以 ， 所以 ． (2) 选条件②：由（Ⅰ）知 ， 因为在 中，， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 设 边上高线的长为 ，则 ． 选条件③： 因为 ， 所以 ， 由余弦定理得 ． 所以 ． 设 边上高线的长为 ，则 ． 16. 【答案】 (1) 因为底面 为矩形， 所以 ， 因为 ，且交线为 ， 所以 ． (2) 取 中点 ，连接 ，， 因为 是 中点， 所以 ，， 又因为矩形 ， 所以 ，，且 是 中点， 所以 ，， 所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 又因为 ，， 所以 ． (3) 由（）可知 ． 因为 ， 所以 ，且交线为 ，连接 ， 因为 为等边三角形， 所以 ，， 所以 是直线 与平面 所成角， 在矩形 中，， 在正 中，， ， 因此 ， 即直线 与平面 所成角为 ． 17. 【答案】（）甲、乙两个班级抽取的 人都能正确回答的概率 ； （）甲班级能正确回答题目人数为 ， 的取值分别为 ，， ，， 则 ，， 乙班级能正确回答题目人数为 ， 的取值分别为 ，，， 因为 ， 所以 ，， 由 ， 可知，由甲班级代表学校参加大赛更好． 18. 【答案】 (1) ． (2) ，，设 ，由 ，结合图形可得 ，此时直线 可设为：，由 （负舍） 19. 【答案】 (1) 法一： 根据题意：令 ，可得 ，所以 ． 经验证，可得当 时，对任意 ，都有 ，所以 ． 法二： 因为 所以要使上式对任意 恒成立，则须有 ，即 ． (2) 由（Ⅰ）可知 ，且 ， 所以 ． 令 ，要使 存在两个极值点 ，， 则须有 有两个不相等的正数根， 所以 或 解得 或无解， 所以 的取值范围 ，可得 ， 由题意知 ， 令 ，则 ， 而当 时，，即 ， 所以 在 上单调递减， 所以 ， 即 时，． (3) 因为 ，， 令 得 ，， 由（Ⅱ）知 时， 的对称轴 ， ，，所以 ，又 ，可得 ， 此时， 在 上单调递减， 上单调递增， 上单调递减， 所以 最多只有三个不同的零点，又因为 ， 所以 在 上递增，即 时， 恒成立， 根据（Ⅱ）可知 且 ， 所以 ，即 ，所以 ，使得 ， 由 ，得 ，又 ，， 所以 恰有三个不同的零点：，，． 综上所述， 恰有三个不同的零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年兰州新区舟曲中学诊断考试 高三 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 已知 为实数，若复数 是纯虚数，则 的虚部为 A． B． C． D． 已知集合 ，，且 ，则实数 的所有值构成的集合是 A． B． C． D． 已知 ，则“存在 使得 ”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 已知向量 ， 的夹角为 ，，，则 A． B． C． D． 设 ，，且 ，则向量 与 的夹角为 A． B． C． D． 在等比数列 中，，，且数列 的前 项和 ，则此数列的项数 等于 A． B． C． D． 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 在直三棱柱中，，．已知 与 分别为 和 的中点， 与 分别为线段 和 上的动点（不包括端点）．若 ，则线段 的长度的取值范围为 ． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 某人参加一次测试，在备选的 道题中，他能答对其中的 道．现从备选的 道题中随机抽出 道题进行测试，规定至少答对 题才算合格．则下列选项正确的是 A．答对 题和答对 题的概率相同，都为 B．答对 题的概率为 C．答对 题的概率为 D．合格的概率为 设函数 ，已知 在 有且仅有 个零点．下述四个结论中正确的是 A． 在 有且仅有 个最大值点 B． 在 有且仅有 个最小值点 C． 在 单调递增 D． 的取值范围是 已知拋物线 ，过焦点 作一直线 交抛物线于 ， 两点，以下结论正确的有 A． 没有最大值也没有最小值 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 已知 ，则 ． 若不等式 对任意 都成立，则实数 的取值范围是 ． 已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若 为底面 的中心，则 与平面 所成角的大小为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （13分）在 中，，． (1) 求 ； (2) 再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上的高 条件①：； 条件②：； 条件③： 的面积为 ． （15分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，，，． (1) 求证：； (2) 若 ， 分别为棱 ， 的中点，求证：； (3) 设 为等边三角形，求直线 与平面 所成角的大小． （15分）某校从高二年级中选拔一个班级代表学校参加“青年大学习知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答一个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级 名选手，现从每个班级 名选手中随机抽取 人回答这个问题．已知这 人中，甲班级有 人可以正确回答这道题目，而乙班级 人中能正确回答这道题目的概率每人均为 ，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的． （）求甲、乙两个班级抽取的 人都能正确回答的概率； （）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为 ，，求随机变量 ， 的期望 ， 和方差 ，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛． （17分）已知椭圆 ，， 是其左右焦点，直线 过点 交椭圆 于 ， 两点，且 ， 在 轴上方，点 在线段 上． (1) 若 是上顶点，，求 的值； (2) 若 ，求点 的坐标；当原点 到直线 的距离为 时，写出此时直线 的方程． （17分）已知函数 ，且对任意 ，都有 ． (1) 用含 的表达式表示 ； (2) 若 存在两个极值点 ，，且 ，求出 的取值范围，并证明 ； (3) 在（Ⅱ）的条件下，判断 零点的个数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$