山西省太原市第五中学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

太原五中2024~2025学年第二学期高二年级5月月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合 参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有 A.11种 B.22种 C.30种 D.60种 2.已知离散型随机变量X的分布列为P(X=)=号(i=1,23),则P(X2)= A吉 B号 c号 D.1 3.为了解某地区某种水果的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：万元/吨)的影响，对近五年该水 果的年产量和价格统计如下表： 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为y=一0.0034.x十a,则a= A.2.82 B.2.86 C.2.88 D.2.92 4.有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻， 则不同的坐法有 A.24种 B.48种 C.96种 D.144种 5.已知(2x一1)=ao十a1x十a2x2十a3x3十a4x十a5x5十6：x5,则ao十a2十a4十a6= A.364 B.365 C.728 D.730 6.抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和 大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是 A清 B号 c哥 【高二年级5月月考·数学第1页（共4页）】 25-T-768B 7.某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人 选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有 A.270种 B.180种 C.150种 D.90种 8.重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有 长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动.某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加 活动的老人中女性占比为号，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中 有k名女性的可能性最大，则k的值为 A.8 B.7或8 C.9 D.8或9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知n≥3，n∈N+,则满足不等式A21一<7的n的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知函数y=(x)的导函数y=(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.函数y=f(x)的图象在x=一1的切线的斜率为O B.函数y=f(x)在(1,2)上单调递减 C.x=一1是函数y=f(x)的极小值点 D.f(2)是函数y=f(x)的极大值 11.将n2个数排成n行n列的一个数阵，如： a1.1 a1.2 41.3 d2,1 42,2 42.3 a2.n a3,1 43.2 43.3 3. .1 4n.2 aa.3 an. 该数阵第一列的个数从上到下构成以d为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构 成以d为公比的等比数列（其中d>0).已知a1.1一1，a5.1=a1.4十1，记这n2个数的和为S,则 下列说法正确的有 A.d=2 B.a5.7=512 C.a.=(2i-1)×2-1 D.S=n2(2"-1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布V(7,o),且P(X<5)=0.25,则P(X≤9)= 1曲线y一号在点11)处的切线方程为 14.设随机变量X~B(n,p),其中n≥4且n∈N+,p∈(0,1)，若E(3X)=E(2m-X), 3P(X=3)=4P(X=4),则D(pX+n)= 【高二年级5月月考·数学第2页（共4页）】 25-T-768B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料 表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人， 其中女性30人 (1)用2×2列联表表示上述数据： (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为消费者购买预包装食品时是否关注配料 表与性别有关？ n (ad-bc)? 附：X=a+bc+a+cb+D其中n-a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.025 0.010 Ta 2.706 3.841 5.024 6.635 16.(本小题满分15分) 在(2反一是）广的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. (1)求展开式中的常数项： (2)求展开式中二项式系数最大的项. 17.(本小题满分15分) 某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出 库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的 合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间 无包含关系) (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取 2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有X个，求X的分布列与数学期望： (2)消费者对该公司产品的满意率为子，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司 产品满意的人数有Y人，求至少有3人满意的概率 【高二年级5月月考·数学第3页（共4页）】 25-T-768B 18.(本小题满分17分) 已知数列a,满足a1=,。千a=2 1)求证：数列公十是等比数列，并求数列1口的通项公式： (2)求数列”的前n项和S 19.(本小题满分17分) 对于函数fx),规定∫(x)=[f(x)]',2(x)=[f(x)]',…,(x)=[w-D(x)]',(x) 叫做函数f代x)的n阶导数.若函数f(x)在包含o的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区 间(a,b)上具有(n十1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x,f(x)=f()十f(x)(x一x)+ 巴m)(x一)'+…+m(x一y+Rm（,该公式称为函数fx)在x=处的n 2！ n! 阶泰勒展开式，Rw(x)是此泰勒展开式的n阶余项.已知函数f(x)=ln(.x十1). (1)写出函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式(Rm(x)用R3,(x)表示即可)： (2)设函数f(x)在：x=0处的3阶余项为g(x),求证：对任意的x∈（一1,1），g(x)≤0： (3)求证：(1+2)1+)1+）…(1+0)<c逼(meN). 【高二年级5月月考·数学第4页（共4页）】 25-T-768B太原五中2024~2025学年第二学期高二年级5月月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有5×6=30（种）.故选C. 2.C由题意，得P(X=2)=P(X=3)=子，所以P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=号.故选C 3B由题意，得=号×(30+350+40+450+50)=40，=号×1.8+1.7+1.5计1.4+1D=1.5,所 以1.5=-0.0034×400+a,解得a=2.86.故选B. 4.D先把3名女生捆绑到一起，有A=6种排法，再把她们与另外3名男生排列，有A=24种排法，则不同 的坐法有6×24=144种坐法.故选D. 5.B令x=1,得4十a1+十as=1i=1①，令x=-1,得a0-a十…+a4=(-2-1)5=729②，①十②，得 2(a0十a2十a:十aa)=730,所以ae十a2十a4十a6=365.故选B. 6A事件M包含的基本事件有30个，则P0-6受-音，事件MN包含的基本事件有8个.则PMN) 多-号所以PNM--吉故选A 7.C先将5名学生分成三组，每组人数有1,1,3或2,2,1两种情况，则不同的分组方法有CCC+CCC A￥ A 再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有A种，由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择 方法有（代C+SC)N=150种故选C 8.D若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为X,则X~B(14,三)，若抽到k名女性的可能性 G(是)广（号）"≥c()(号). 141 14! 最大，则 所以 X号-=×号 解 c(是)广（号）≥c()(号) ×号4+3-×号 141 14 5 得8k≤9，又k∈N,故k=8或9.故选D 9.AB因为A是1=(n-1)(n-2)=元2-3n十2，所以A号1-n=2-4n十2<7，即m2-4n-5<0,又n≥3，n∈ N+,所以n=3或4，故选AB. 10.AD由图可知f(一1)=0，所以函数y=f(x)的图象在x=一1的切线的斜率为0，故A正确：由图可知 x∈(1,2)时，f(x)>0,所以函数y=f(x)在(1,2)上单调递增，故B错误：由图可知x∈（一∞，2）时， 子(x)≥0，所以函数y=f(x)在（一o,2)上单调递增，x=一1不是函数y=f(x)的极小值点，故C错 误：由C选项可知函数y=f(x)在（一∞，2）上单调递增，由图可知x∈(2，十∞)时，了(x)<0,所以函数 y=f(x)在(2，十o∞)上单调递减，x=2是函数y=f(x)的极大值点，f(2)是函数y=f(x)的极大值，故 D正确.故选AD. 1山.ACD因为a.=1,as,1=a.4十1，所以1十4d=十1，解得d=2(d=0,d=一2舍去)，故A正确：a.= a6.1·2=9×2=576,故B错误；a.=[1十2(i-1)]×21=(2i-1)×2-1,故C正确：S= 【高二年级5月月考·数学参考答案第1页（共4页）】 25-T-768B （a十a2+aa十…十aw)+(ae十aa十ags++aan)++(al+a+aa+…十an）=号 1-2 31-22+51-2)+…+21-1)9-22=+2》-1D.(2-1D=r(2-1D,故D正确.故 1-2 1-2 1-2 2 选ACD 12.0.75由正态曲线的对称性可知P(X<5)=P(X>9)=0.25,所以P(X≤9)=1-P(X>9)=1-0.25= 0.75. 185一9y-2=0因为x)=号-2-是2所以了)=2而/1)=分)=吾因此曲线 x+2 )y一一含在点1,1)处的切线方程为y号-号（x一1).即5一9y一2=0 3 14. 因为X~B(n,p),所以E(X)=np,E(3X)=3np,E(2n-X)=2n-np,由E(3X)=E(2n-X),得 4np=2,所以b=7,P(X=k)=C(受）”(k=0.l,m).由3P(X=3)=4P(X=4,得3C(2)）广 4C(号)广，即3C=4C,解得n=6,所以DX)=mp1-p)=号，DpX+)=pD(X)=}×号=是 15.解：(1)2×2列联表如下： 女性 男性 合计 关注配料表 30 50 80 …6分 不关注配料表 70 50 120 合计 100 100 200 (2)零假设为H。:消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别无关。 由题意可得7=200X70X50330X0≈8.333>6.635=，… 100×100×80×120 …10分 根据小概率值α=0.O1的独立性检验，我们推断H不成立，即认为消费者购买预包装食品时是否关注配料 表与性别有关…13分 16.解：1)因为在(2丘-三)）广的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64，所以2=64，解得1=6， …2分 则（(2G-2）”展开式的通项公式为T=C2)+(-)广=C…2(-3·丹，k=0.1,6 …5分 令63张=0，得k=2,所以T,=C×2×(-3)=2160. 2 即(2反-是）展开式中的常数项为2160.… …8分 (2(2-三） 的展开式中二项式系数分别是C,C,…,C,其中C君最大，…11分 所以展开式中二项式系数最大的项为T+1=C·22·(-3)3·x是=一4320.x是.…15分 【高二年级5月月考·数学参考答案第2页（共4页）】 25-T-768B 17.解：(1)由题知，在各随机抽取的100件产品中，甲、乙两条生产线的优等品分别有20件，10件，用分层随机 抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，其中从甲、乙两条生产线的样品中抽取的优等品分别有4件、 2件， 所以X的所有取值为0,1,2， …2分 且P(X=0)8=PX=1)e-是P(X=2)得=号 …5分 故X的分布列为： X 0 1 2 15 15 6分 所以0=0x品+1X号+2X号- 8分 (2)由题意知，YB(5,至)… 9分 则PY-3)=c()x()广=0-2 pY=4)=C××()广=10PY=)-(》广=28 12分 故P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)= 135+405 243459 51210241024512' 即至少有3人消意的概率为器 15分 18.(1)证明：因为a1=2,aw+1 an干4，所以an≠0， 2a. _4十4_2 1分 2an 所以。+号=2（位+号） 3分 an+1 因为十号=1≠0，所以 4分 a 1 =2, 所以数列公十号}是以1为首项，2为公比的等比数列， 5分 所以。+2=21，即a,= 分 21 (2)解：因为”=1·21-号 ” 8分 所以S=1×2°+2×21+3×22+…+n·2r-1- (+号+++受) 其中+号+号+…+受=n时D …10分 4 令Tm=1×2°+2×2+3×22+…+n·2m-1， 11分 【高二年级5月月考·数学参考答案第3页（共4页）】 25-T-768B 2T.=1×21+2×22+3×28+…十n·2m.… 12分 两式相减，得-T.=1十2十22十…十2-1一n·2= 1一2 1-2 -n·2"=(1-n)·2"-1.…13分 所以Tn=(n-1)·2m+1,… 15分 所以S=(m-1)·2-Cn+D+1.。 …17分 1.)解：由f)=lh(x+1),得f(x）=x市f(x)=-x+1f(x)=x中1>· …2分 所以)=n2f山)=号m）=-小m()=}…3分 所以函数f在x一1处的3阶泰勒展开式为)=h2+号（一1D日（一1+：一D+R, …4分 (2)证明：由(1)，得f(0)=0,f(0)=1,f2(0)=一1，(0)=2.…5分 所以函数代x)在x=0处的3阶泰勒展开式为f(x)=x一22+3x2+R(x,…6分 所以g(x)=Re(a)=ln(x+1)-x十2r-3t, )-1+r=-令)=0得=0 当x∈（一1,0）时，g(x)>0,g(x)单调递增：当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减. 所以g(x)≤g(0)=0,即对任意的x∈（一1,1），g(x)≤0.… …9分 3证明：由（2知，当xe0.1)时，gd=n(r+1)-十号2-r<0.即n(r+1D+号2， 因为安e01(mcN)所以(+)·+· 11分 a(1+号)+n1+安)+n(1+)++h(1+安)号+安++安-合(+++)+ 1-1 1-8 13分 因为+片·-安-·<+片·-=+（什）=韶+(2) 韶(neN) 所以n(1+2)+n(1+安)+n(1+安)++ln(1+会)<0 …15分 即n[(1+2)×(1+安)×(1+号)×…×(1+是)]<0 所以(1+号)(1+)(1+2）(1+是)<(meN) …17分 【高二年级5月月考·数学参考答案第4页（共4页）】 25-T-768B