精品解析：2025年黑龙江省绥化市明水县九年级中考一模数学试题

2025年明水县数学中考模拟试题（一） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是( ) A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. a2+a3＝a5 B. （a2）3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. 2a×3a＝6a 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 7. 一辆汽车沿倾斜角为40°的斜坡行驶，它上升的垂直高度为7米，则小汽车行驶的路程是（　　） A. B. C. 7cos40° D. 8. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 9. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）. A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 10. 如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，CE、BA的延长线交于点F，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 11. 如图，在矩形ABCD中，，，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点，，那么y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论： ①； ②； ③； ④若点，点，点在该函数图象上，则； ⑤若方程的两根为和，且，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 将“370000”这个数用科学记数法表示为__________． 14. 函数的自变量x的取值范围是___． 15. 分解因式：xy2﹣81x＝______________． 16. 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=_________． 17. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 18. 如图，小方格都是边长为1 的正方形．则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为____． 19. 如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm． 20. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过弧DE (不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为_______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长最短时，点P的坐标为 _____． 22. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则点的坐标为______． 三、解答题 23. 先化简，再求代数式的值，其中． 24. 如图，图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长； （2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为10的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 25. 为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜100”．根据图中信息回答下列问题： （1）图中a的值为　　； （2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为　　度； （3）此次比赛共有300名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的学生大约有　　人： （4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“50≤x＜60”和“90≤x＜100”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率． 26. 如图，正比例函数y1=kx与反比例函数（x＞0）交于点A（2，3），AB⊥x轴于点B，平移直线y1=kx使其经过点B，得到直线y2，y2与y轴交于点C，与交于点D． （1）求正比例函数y1=kx及反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标； （3）求△ACD的面积． 27. 如图，已知⊙O为△ABC（∠A＜∠ABC）的外接圆，且AB为的直径，AB=8，点D为AB延长线上一点，点 E为半径OB上一点，连接CD、CE、OC，且∠BCD=∠A． （1）求证：CD为的切线； （2）若CB=CE，求证：CE2=CO2-OA·OE； （3）在（2）的条件下，求OE+BC的最大值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x=-2交x轴于点C，直线l过点N（0，-2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l于点M，△AOB的面积为2． （1）求抛物线的解析式； （2）当∠MPN=∠BAC时，求P点坐标； （3）①求证PM=PC； ②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年明水县数学中考模拟试题（一） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是( ) A. B. 0 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据0的绝对值最小，即可求解． 【详解】解：∵0的绝对值最小， ∴绝对值最小的数是0， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. a2+a3＝a5 B. （a2）3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. 2a×3a＝6a 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可． 【详解】A、错误，a2与a3不是同类项，不能合并； B、正确，（a2）3＝a6，符合积的乘方法则； C、错误，应为a6÷a2＝a4； D、错误，应为2a×3a＝6a2． 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数的幂的乘法与除法，幂的乘方，单项式的乘法，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，但是找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据三视图中，从左边看得到的图形是左视图,因此从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选D 考点：简单组合体的三视图 5. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AC为切线， ∴∠OAC=90° ， ∵∠C=40°， ∴∠AOC=50°， ∵OB=OD ， ∴∠ABD=∠ODB ， ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°， ∴∠ABD=∠ODB=25°． 故选B 7. 一辆汽车沿倾斜角为40°的斜坡行驶，它上升的垂直高度为7米，则小汽车行驶的路程是（　　） A. B. C. 7cos40° D. 【答案】A 【解析】 【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值＝垂直高度：坡面距离即可解答． 【详解】解：如图，∠A＝40°，∠C＝90°，CB＝7米， 则小汽车行驶的路程是：sin40°＝， 故AB＝（米）． 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形、正弦、坡角等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 【答案】B 【解析】 【分析】一个小组共有x人，则每个人送出去（x－1）个荷包，根据全组共送72个，列方程即可． 【详解】由题意得，x(x－1)＝72． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 9. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）. A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数 【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF， ∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF， ∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°． 故选C． 10. 如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，CE、BA的延长线交于点F，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，四边形ABCD是平行四边形，所以，AB∥CD,AD∥BC,由平行线分线段成比例性质定理逐个分析可得答案. 【详解】因为，四边形ABCD是平行四边形， 所以，AB∥CD,AD∥BC, 所以，，，,; 所以，选项C错误. 故选C 【点睛】本题考核知识点：平行线分线段成比例性质定理. 解题关键点：理解平行线分线段成比例性质定理. 11. 如图，在矩形ABCD中，，，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点，，那么y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：设BP=x，CQ=y，则AP2=42+x2，PQ2=（6-x）2+y2，AQ2=（4-y）2+62； ∵△APQ为直角三角形， ∴AP2+PQ2=AQ2，即42+x2+（6-x）2+y2=（4-y）2+62，化简得：y=−x2+x 整理得：y=− (x−3)2+ 根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应． 故选D． 【点睛】本题考查的是动点变化时，两线段对应的变化关系，重点是找出等量关系，即直角三角形中的勾股定理． 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论： ①； ②； ③； ④若点，点，点在该函数图象上，则； ⑤若方程的两根为和，且，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．二次函数图象上点的坐标特征．根据抛物线对称轴为直线可得a与b的关系，从而判断①；由时可判断②；由抛物线经过点及抛物线对称轴可求出b与a，c与a的关系从而判断③；由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④；将方程的解转化为抛物线与直线的交点问题，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ，即，①正确； 由图象可得时，， 即． ，②错误； 抛物线经过， ． ， ． ． 抛物线开口向下， ． ，③正确； 点C，点B，点A到抛物线对称轴距离依次增大， ，④错误； 抛物线经过点，对称轴为直线， 抛物线经过点． 抛物线解析式为． 方程的两根为抛物线与直线的交点的横坐标． 由图象可得，⑤正确 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 将“370000”这个数用科学记数法表示为__________． 【答案】3.7×105 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：370000＝3.7×105， 故答案为：3.7×105． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 14. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 15. 分解因式：xy2﹣81x＝______________． 【答案】x（y+9）（y﹣9） 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式＝x（y2﹣81） ＝x（y+9）（y﹣9） 故答案为：x（y+9）（y﹣9）． 【点睛】本题考查因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 16. 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=_________． 【答案】50° 【解析】 【详解】解：连接DF，连接AF交CE于G， ∵EF为⊙O的切线， ∴∠OFE=90°， ∵AB为直径，H为CD的中点 ∴AB⊥CD，即∠BHE=90°， ∵∠ACF=65°， ∴∠AOF=130°， ∴∠E=360°-∠BHE-∠OFE-∠AOF=50°， 故答案为：50°. 17. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 18. 如图，小方格都是边长为1 的正方形．则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为____． 【答案】 【解析】 【详解】如图，连接AB，则根据轴对称和旋转对称的性质，从图中可知： 阴影部分面积= ． 故答案是：． 19. 如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm． 【答案】3 【解析】 【详解】解：根据题意，由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形的半径为r cm，则×πr＝2π×1， 解方程可得r＝3 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 20. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过弧DE (不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为_______． 【答案】2r 【解析】 【详解】解：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理由MN与⊙O相切于点P，且⊙O是△ABC的内切圆，得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r， 故答案为2r． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长最短时，点P的坐标为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得到△AOC是等腰直角三角形，可以判定四边形OEDF是矩形，从而得到EF=OD，故OD最短时，EF最短，当OD⊥AC时，OD最短，确定定D的纵坐标，令抛物线的解析式的函数值等于D的纵坐标，确定P的坐标． 【详解】∵点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB=4， ∴点C(0，4)，点B(-1，0)， 设抛物线的解析式为y=， ∴， 解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=， ∵DE⊥y轴，DF⊥x轴，EO⊥FO， ∴四边形OEDF是矩形， ∴EF=OD， ∵点O是定点，点D是AC上的动点，根据垂线段最短原理，得 当OD⊥AC时，OD最短， ∵OA=OC， ∴CD=DA=OD， ∴CE=OE， ∴E(0，2)， ∴ 解得， 点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，矩形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，一元二次方程的解法，垂线段最短原理，熟练确定解析式，准确判定垂线段是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．通过旋转发现，，每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则点的坐标为 故答案为：． 三、解答题 23. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分，然后进行减法计算，再将除法转化为乘法进行计算，然后根据特殊角三角函数值求出x，再将x代入化简后的分式即可． 【详解】解：， ， ， ， ； ∵， ∴原式＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟悉因式分解及分式的运算法则是解题的关键． 24. 如图，图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长； （2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为10的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 【答案】（1）作图见解析，四边形AQCP的周长为4；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和对称的性质作出格点Q，使P、Q点关于直线AC对称，判断四边形AQCP为正方形，然后计算AP的长度得到正方形AQCP的周长； （2）利用（1）中方法作正方形ABCD，则正方形ABCD满足条件． 【详解】（1）如图，点Q和四边形AQCP为所作； 由网格特征可得AQ=QC=CP=PA，OA=OC=OQ=OP， ∵点P与点Q关于AC对称， ∴PQ⊥AC， ∴四边形AQCP是正方形， ∴四边形AQCP的周长＝4AQ=4×＝4； （2）如图，矩形ABCD为所作． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及正方形的性质、勾股定理等知识，正确掌握正方形的性质是解题关键． 25. 为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜100”．根据图中信息回答下列问题： （1）图中a的值为　　； （2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为　　度； （3）此次比赛共有300名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的学生大约有　　人： （4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“50≤x＜60”和“90≤x＜100”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率． 【答案】（1）6；（2）144；（3）100；（4）小明被选中的概率为． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其他分组的人数即可求得60≤x＜70的人数a； （2）用360°乘以成绩在70≤x＜80的人数所占比例可得； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可得； （4）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出有C的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）a=30﹣（2+12+8+2）=6， 故答案为6； （2）成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为360°×=144°， 故答案为144； （3）获得“优秀“的学生大约有300×=100人， 故答案为100； （4）50≤x＜60的两名同学用A、B表示，90≤x＜100的两名同学用C、D表示（小明用C表示）， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中有C的结果数为6， 所以小明被选中的概率为． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图、用样本估计总体、列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂直方图，熟记用列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 26. 如图，正比例函数y1=kx与反比例函数（x＞0）交于点A（2，3），AB⊥x轴于点B，平移直线y1=kx使其经过点B，得到直线y2，y2与y轴交于点C，与交于点D． （1）求正比例函数y1=kx及反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标； （3）求△ACD的面积． 【答案】（1）y1=x，；（2）D坐标为（，）；（3）. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，即可求得；（2）y2由y1平移得到，所以设y2=x+b，然后通过点B求出平移后的函数解析式,然后与联立，即可确定D的坐标；（3）通过D点坐标确定DE的长，用S△ACD=S△OCD面积相等，法求出OC的长，计算即可. 【详解】解：（1）将点A（2，3）分别带入y1=kx、得3=2k、，解得k=，m=6， ∴正比例函数y1=kx及反比例函数的解析式分别为y1=x、； （2）∵y2由y1平移得到，所以设y2=x+b， ∵AB⊥x轴， ∴B（2，0），将其带入y2=x+b得b=-3， ∴y2=x-3， 解得，（舍）， ∴点D坐标为（，）； （3）如答图，连接OD，作DE⊥y轴于E，则DE=， ∵直线y1∥y2， ∴S△ACD=S△OCD=×OC×DE=×3×（）=． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出解析式和交点坐标是解答问题的关键.. 27. 如图，已知⊙O为△ABC（∠A＜∠ABC）的外接圆，且AB为的直径，AB=8，点D为AB延长线上一点，点 E为半径OB上一点，连接CD、CE、OC，且∠BCD=∠A． （1）求证：CD为的切线； （2）若CB=CE，求证：CE2=CO2-OA·OE； （3）在（2）的条件下，求OE+BC的最大值． 【答案】 （1）∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， 又∵OA=OC，∴∠A=∠ACO， ∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠BCO=90°，∴CD为⊙O切线； （2）∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE， 又OC=OB，∴∠OCB=∠OBC， ∴△OBC∽△CBE， ∴，即BC2=BE·OB， 又BC=EC，OB=OC=OA， ∴CE2=(OB-OE)·OB= CO2-OA·OE； （3）OE+BC有最大值为5． 【解析】 【分析】（1）运用圆的性质和角的和差，确定∠OCD=∠BCD+∠BCO=90°,即可证明；（2）先证明△OBC∽△CBE，运用其性质结合等量代换即可解答.（3）设BC=x，AB=8，∴OA=OC=4，结合（2）的结论，求二次函数的最小值即可； 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）设BC=x，∵AB=8，∴OA=OC=4， 由（2）知x2=16-4OE，∴OE=， ∴OE+BC==， ∵∠A＜∠ABC， ∴0＜x＜， ∴当x=2时，OE+BC有最大值为5． 【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的性质.解决问题的关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的性质. 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x=-2交x轴于点C，直线l过点N（0，-2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l于点M，△AOB的面积为2． （1）求抛物线的解析式； （2）当∠MPN=∠BAC时，求P点坐标； （3）①求证PM=PC； ②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值． 【答案】（1）；（2）点P坐标为（，）或（，）；（3）①见解析；②PQ+PC的最小值为4. 【解析】 【分析】（1）结合经过原点以及顶点和坐标轴进行计算即可；（2）设P点坐标为（x，），将P点在y轴左和右分类讨论解答.（3）①过点P作PD⊥BC于点D，则PD=x+2，DC=，结合（2），在Rt△PCD中运用勾股定理进行计算即可证明；②由①知，PM=PC，当Q、P、M三点共线时， PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，求出最小值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x=-2， ∴c=0，OA=4，又△AOB的面积为2， ∴BC=1，即顶点B的坐标为（-2，-1）， ∴，，解得a=，b=1， ∴抛物线的解析式为； （2）∵BC=1，AC=2， ∴tan∠BAC=，设P点坐标为（x，），如答图1，当点P在y轴右侧，PM=-（-2）=，MN=x， ∴tan∠MPN==，即，此方程无解； 如答图2，当点P在y轴左侧，此时PM=，MN=-x， ∴tan∠MPN==，即，解得，，则，， ∴点P坐标为（，）或（，）； （3）①如答图3，过点P作PD⊥BC于点D，则PD=x+2，DC=， 由（2）知PM=，在Rt△PCD中， PC2===PM2， ∴PM=PC； ②由①知，PM=PC， ∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时， PQ+PM=QM, ∵Q（0,2）, ∴QM=QN=4, ∴ PQ+PC的最小值为4． 【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了求抛物线的解析式以及点坐标的确定，难点在于最小值的确定.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $