专题12 最值模型之“费马点”模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题12 最值模型之“费马点”模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学。费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 模型1.最值模型之“费马点”模型 1 模型2.最值模型之“加权费马点”模型 40 模型1.最值模型之“费马点”模型 【费马点】如图1-1所示，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点之间连线的夹角等于120°时，MA+MB+MC最小（注意：此结论成立的条件是△ABC中最大的角小于120°，如果最大的角大于或等于120°时，此时费马点就是最大角的顶点） 如图1-2所示，以 AB为边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN。 ∵△ABE是等边三角形，∴AB=BE=AE，∠ABE=60°，∵∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN. ∴在△AMB和△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）； 连接MN，由△AMB≌△ENB可知，AM=EN，∵∠MBN=60°，BN=BM，∴△BMN为等边三角形； ∴BM=MN，∵AM+BM+CM=EN+MN+CM，∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小。 此时∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120° ∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°。 作法：如图1-3所示，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。 例1．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 例2．如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 1．如图，两张宽均为的纸条交叉重叠成四边形．若，则四边形的对角线上的动点P到A、B、C三点距离之和的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】过作于，于，把绕点逆时针旋转得到，则，由含角的直角三角形的性质得，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，得，进而证是等边三角形，可知当时最短，连接，利用勾股定理求出的长度，即求得点到，，三点距离之和的最小值． 【详解】解：如图，过作于，于，把绕点逆时针旋转得到， 则， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是菱形， ， 由旋转的性质得：，，，，， 是等边三角形， ， ， 根据两点间线段距离最短可知，当时最短， 连接，与的交点即为到，，三点距离之和的最小的点， 则点到，，三点距离之和的最小值是． ，， ， ， 因此点到，，三点距离之和的最小值是， 故选：C． 2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ． 【答案】 【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题. 【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM． ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴∠BAP=∠CAP， ∵PA=PA， ∴△BAP≌△CAP（SAS）， ∴PC=PB， ∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°， ∴△GAP是等边三角形， ∴PA=PG， ∴PA+PB+PC=CP+PG+GM， ∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长， ∵AP+BP+CP的最小值为2， ∴CM=2， ∵∠BAM=60°，∠BAC=30°， ∴∠MAC=90°， ∴AM=AC=2， 作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-， ∴BC=． 故答案为． 3．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为△ABC的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 【答案】 5 【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可 ②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为△ABC的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可 【详解】①如图,过作，垂足为, 过分别作, 则, P为△ABC的费马点 5 ②如图： . 将绕点逆时针旋转60 由旋转可得： 是等边三角形， P为的费马点 即四点共线时候， = 故答案为：①5，② 4．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【答案】①④⑤ 【分析】 ①根据菱形的性质，运用“”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线对称，可知最小为长；③先假设，而后逆推即可判断；④连接，根据两点之间线段最短可得，当点M落在的中点时，的值最小；⑤根据图形特征得出当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，过E点作，交的延长线于F，在中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 即． 又∵， ∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，， ∴， ∴，故本答案错误； ③假设，且， ∴是的垂直平分线． 连接， 由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． ∴点A和点C关于直线对称， ∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F， 则，设菱形的边长为a， ∴，． 在中，， 解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确． 故答案为：①④⑤． 5．如图，已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，则这个正方形的边长为 【答案】 【分析】将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC，表示Rt△GMC的三边，根据勾股定理即可求出正方形的边长. 【详解】解：如图，将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，连接EF,GC,BG，过点G作BC 的垂线交CB的延长线于点M.设正方形的边长为2m， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°， ∵△ABE绕点A旋转60°至△AGF， ∴, ∴△AEF和△ABG为等边三角形， ∴AE=EF,∠ABG=60°， ∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC， ∴GC=， ∵∠GBM=90°-∠ABG =30°， ∴在Rt△BGM中，GM=m，BM=， Rt△GMC中，勾股可得， 即：， 解得：， ∴边长为. 故答案为：. 6．如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】将逆时针旋转得到，根据题意证明出是等边三角形，得到，进而得到，证明出当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，    ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度， ∵菱形的边长为4 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 7．【背景资料】在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）当△ABC的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为三角形，故，又，故，由可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （1）如图3，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）如图4，△ABC中，，，E，F为上的点，且，判断，，之间的数量关系为 ； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （1）如图5，△ABC三个内角均小于，在△ABC外侧作等边，连接，在上取点P，使，连接、，求证：点P是△ABC的费马点． （2）如图6，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，则的值为 ． 【学以致用】 如图7所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是 ． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（1），（2）；问题解决：（1）见解析，（2），学以致用： 【分析】背景资料：由旋转的性质可得，，得出为等边三角形三角形，故，由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，即可得解； 知识生成：（1）由旋转的性质可得，，，，证明为等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，求出，即可得解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，再由勾股定理即可得解； 问题解解：（1）在上截取一点Q，使得，连接，证明为等边三角形，得出，，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，结合，即可得证； （2）由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，将顺时针旋转得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，推出为等边三角形，，由等边三角形的性质可得，即可得到，再由勾股定理得出，即可得出答案； 学以致用：连接、、，将绕点C顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于H，由旋转的性质可得，，，得出，均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，推出，求出，得出，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：背景资料：当△ABC的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为等边三角形三角形， 故， 又∵， 故， 由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）解：将绕顶点A旋转到处，此时， ∴，，，， ∵△ABC为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵△ABC中，，， ∴， 如图4：将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（1）证明：如图，在上截取一点Q，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是的费马点； （2）解：∵在中，，，， ∴，， 如图6，将顺时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴的值为， 故答案为：； 学以致用：解：如图7，连接、、，将绕点C顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于H， 由旋转的性质可得：，，， ∴，均为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 8．平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵，如图1， ∴， E为的中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段BN的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为 ． 9．问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在△ABC中，为△ABC内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在△ABC中，为△ABC内部一点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5(2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． （2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 【详解】（1）解：如图3中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形，， 在中，， ， ， 的最小值为5． 故答案为5． （2）如图4中，    将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作交的延长线于． 在中，，， ， 在中， ， ， 的最小值为． 10．【阅读】若P为△ABC所在平面上一点，且，则点P叫做△ABC的费马点．如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足，则的值最小．理由如下： 将绕点A逆时针旋转至，连接 是等边三角形 点四点在同一条直线上．此时，的值最小． 【应用】 （1）如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知，，求的长； （2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边向三角形外部作等边，等边，连接交于点P，求证：点P为的费马点； 【拓展】 （3）如图（三），圆内接矩形内有一点于点E，已知，且的最小值是，求的半径． 【答案】（1）  （2）见解析  （3） 【分析】（1）根据费马点的定义证明，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点F，G，根据等边三角形得到，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当G、F、P、D四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 【详解】（1）解：∵点P是的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， （2）证明：连接，过点A作，于点F，G， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，， 根据题目可知当G、F、P、D四点共线时，此时，的值最小，且， 如图，延长交于点，则，连接， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P为外接圆的圆心， ∴，即 ∴的值最小为， ∴． 11．【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务： （1）横线处填写的条件是______； （2）当点P是△ABC的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 【答案】问题背景：（1）见解析；（2）；（3） ，理由见解析；实际应用； 【分析】 问题背景：（1）先证明为等边三角形，得到，则，由此可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）由旋转的性质可得，，进而利用三角形内角和定理得到，再由等边三角形的性质得到，则，，即可利用周角的定义得到； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论； 实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于D，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则得最小值为． 【详解】解：问题背景：（1）如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）如图2所示，设交于O， 由（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小， 由旋转的性质可得，， 又∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） ，理由如下： ∵，， ∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为， 过点作交延长线于D， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴得最小值为， 故答案为：． 12．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为2+2时，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；②当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由见解析；（3）2． 【分析】（1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易证出△AMB≌△ENB； （2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小； ②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长； （3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为2． 【详解】（1）证明：∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°． ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN， 即∠MBA＝∠NBE． 在△AMB和△ENB中 ， ∴△AMB≌△ENB（SAS）． （2）解：①由两点之间线段最短可知，当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小． ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小． 理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN， ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN． ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC． （3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°． 设正方形的边长为x，则EF＝，BF＝＝x． 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2＝EC2， ∴()2+(x+x)2＝(2+2)2． 解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去负值）． ∴正方形的边长为2． 13．问题提出 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，． 求证：①；②若连接，则； （2）如图2，在中，，，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场，分别从、、向游乐场修三条路，，，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为平方米． 【分析】（1）①先判断出∠EBN=∠ABM，进而判断出△EBN≌△ABM，即可得出结论； ②判断出△BMN是等边三角形，即可得出结论； （2）设AB=a，则AC=12-a，进而根据勾股定理得出，即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=4-2x，CF=4-x，再利用勾股定理得出，，得出x=1是A'C最小，进而求出A'F，BC，即可得出结论． 【详解】（1）①∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB，∠ABE=60°， 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°， ∴∠ABE=∠MBN， ∴∠EBN=∠ABM， 在△EBN和△ABM中，， ∴△EBN≌△ABM（SAS）， ∴EN=AM； ②如图1， 连接MN，由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN； （2）设AB=a， ∵AB+AC=12， ∴AC=12-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=4， ∴BC=4-AB=4-2x， ∴CF=BF+BC=4-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得， ， ∴当x=1，即AB=2x=2时，最小， 此时，BC=4-2=2，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 14．如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变， 已知，求的值； (3)点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为2，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)PD＝3+ 【分析】（1）先证明△BAD≌△CAE， 可得∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，从而得到∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，即可求证； （2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，可得BM＝MC＝3m，从而得到AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，DM= m，进而得到PB＝4m，PA＝m，再由△BAD≌△CAE，可得BD＝EC＝4m，再由△DFN∽△DEC，可得CF＝ m，从而得到AF＝m ，即可求解； （3）将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，根据等边三角形的性质可得BQ＝QN，从而得到当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时可得到  AM垂直平分BC，从而得到BD＝QD， 即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°，                ∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE， ∴∠BAD＝∠CAE，                  在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS），      ∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∵PD⊥BC， ∴∠BDP＝∠ECD＝90°， ∴PD∥CE， ∵∠B＝∠BPD＝45°， ∴PD＝BD， ∴PD＝EC， ∴四边形PDCE是平行四边形，             ∵∠PDC＝90°， ∴四边形PDCE是矩形； （2）解∶如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N， 设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC， ∴BM＝MC＝3m， ∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，DM=CM-CD=m， ∴BD＝PD＝4m， ∴PB＝4m， ∴PA＝m，                          ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝EC＝4m， 设CN＝FN＝x， ∵FN∥CE， ∴△DFN∽△DEC， ∴＝， ∴＝， ∴DN＝x， ∴x+x＝2m， ∴x＝m， ∴CF＝ m， ∴AF＝AC-CF＝3m－m＝m ， ∴； （3）即：如图，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ＝BN，QC＝NM，∠QBN＝60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ＝QN， ∴QA+QB+QC＝AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，         如图，连接MC， ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ＝BN，BC＝BM，∠QBN＝60°＝∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN＝∠BNQ＝60°，BM＝CM， 又∵AB＝AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD＝60°， ∴∠DBQ=30°， ∴ ∴BD＝QD，        ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AD＝BD，此时P与A重合， 设PD＝x，则DQ＝x－2， ∴x＝（x－2）， ∴x＝3+， ∴PD＝3+ ． 模型2.最值模型之“加权费马点”模型 【加权费马点】如图2-1所示，点P是锐角△ABC内的任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP的最小值。 第一步：选定固定不变的线段；第二步：对剩余线段进行缩小或放大。 例如：保持BP不变，,如图2-2所示，当B、P、P2、A2四点共线时，取最小值。 模型特点：①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与己知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点:③同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点。 例1．已知，如图在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是 ． 【答案】． 【分析】把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，可求DD′= ，在Rt△CEB′中，可求CE，AE= ，BE= ，当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，可求AB′=BD++AD=． 【详解】解：把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E， 则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°， ∴DD′=CD÷cos45°=， ∵，， ∴， 在Rt△CEB′中， ∴CE=B′C·cos60°=5， ∴AE=AC+CE=6+， ∴BE= B′C·sin60°=5， 当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短， ∴AB′最短=， AB′=B′D′+D′D+AD=BD++AD=． 故答案为：． 例2．如图，中，，，点P为△ABC内一点，连接，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得，于是所求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可得的最小值即为线段的长，然后求出的长即可解决问题. 【详解】解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作交的延长线于点F，过点A作于点M，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为的长（当点E、D、P、B四点共线时取最小值）， ∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则在直角三角形中，， ∴， ∴； 故答案为：. 1．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值 【答案】 【分析】将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大倍，得到△，当点B、P、、在同一直线上时，=最短，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大，相似比为倍，得到△，则，，， 过点P作PE⊥A于E， ∴AE=， ∴E=A-AE=， ∴P=， 当点B、P、、在同一直线上时，=最短，此时=B， ∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，， ∴． ∴=B= 2．在边长为的正△ABC中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵△ABC是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 3．△ABC中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）过点分别作，的垂线，垂足为，，易得，由，可得，由，求得，可证得； （2）延长，使得，连接，，易证为等边三角形，进而可证，可得，，可知，易证得，可得，由可得结论； （3）由题意可知是等边三角形，如图，作，且，作，且，可得，，可知，可得，由可知点，都在线段上时，有最小值，过点作，过点作交延长线于，可得，，可证，得，设由等边三角形的性质，可得，进而可得，，结合可得：，可得，由翻折可知，，可求得的值． 【详解】（1）证明：过点分别作，的垂线，垂足为，， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴，则， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长，使得，连接，， ∵，， ∴△BCH为等边三角形， ∴，， ∵绕点逆时针旋转至， ∴，，则， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， 又∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴△ABC是等边三角形， 如图，作，且，作，且， 则，， ∴，， 则， ∴，则 ∴， ∴，即：， ∴ 即：点，都在线段上时，有最小值，如下图， 过点作，过点作交延长线于， 则， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，设 ∴，，则， ∵， ∴，则，， 则由可得：， 整理得：，得， 由翻折可知，， ∴． 4．如图，在等腰中，，，点D在线段的中垂线上，连接、． (1)如图1，若时，连接并延长交于点F，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，过点B作于点G，交于点H，过点C作交的延长线于点E．求证：； (3)在等腰内部有一点P，连接、、，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）过作 交于, 可求, 由可求，再根据即可求解; （2）在线段上截取, 过点作, 交于, 可证,从而可证,再证四边形是矩形和, 即可得证； （3）过作, 使作, 使可证, 可得 当在一条直线上时, 的值最小, 即的值最小；再过作 交于,过作 交的延长线于，过作交的延长线于， 可证从而可求可证可得 证设 可求可求 【详解】（1）如图, 过作 交于, ∵点在的中垂线上， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在线段上截取过点作交于, 如图: ,, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 即, 在和中, ， ∴, ∴, 在和中, ， ∴, ∴,, ∵在的中垂线上， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴四边形是矩形, ， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ， 在和中, ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图, 过作使作使 ,，， ， ， ， ， ， 如图, 当在一条直线上时,的值最小，即的值最小， 如图，过作交于, 过作交的延长线于，过作 交的延长线于， ， ， ， ， 设则 ， ， ， ， ， ∵， ∴, ， ， ， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ， 由翻折得：，, ∵, ∴, ∵, ∴, ， 设, 则, ， ， 解得：， ， ， ∴， ． 5．如图，在△ABC中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求△ABC的面积； (2)求证：； (3)已知点是△ABC内一动点，且不与△ABC的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24(2)见解析(3) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）过点E作交于H，证明，得出，根据，即可求出结论； （3）过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，根据旋转得出，，，，根据勾股定理得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵中，， ∴， 即 解得（负值舍去） ∴， ∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 最值模型之“费马点”模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学。费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 模型1.最值模型之“费马点”模型 1 模型2.最值模型之“加权费马点”模型 11 模型1.最值模型之“费马点”模型 【费马点】如图1-1所示，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点之间连线的夹角等于120°时，MA+MB+MC最小（注意：此结论成立的条件是△ABC中最大的角小于120°，如果最大的角大于或等于120°时，此时费马点就是最大角的顶点） 如图1-2所示，以 AB为边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN。 ∵△ABE是等边三角形，∴AB=BE=AE，∠ABE=60°，∵∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN. ∴在△AMB和△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）； 连接MN，由△AMB≌△ENB可知，AM=EN，∵∠MBN=60°，BN=BM，∴△BMN为等边三角形； ∴BM=MN，∵AM+BM+CM=EN+MN+CM，∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小。 此时∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120° ∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°。 作法：如图1-3所示，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。 例1．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 例2．如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 1．如图，两张宽均为的纸条交叉重叠成四边形．若，则四边形的对角线上的动点P到A、B、C三点距离之和的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ． 3．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为△ABC的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 4．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 5．如图，已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，则这个正方形的边长为 6．如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    7．【背景资料】在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）当△ABC的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为三角形，故，又，故，由可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （1）如图3，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）如图4，△ABC中，，，E，F为上的点，且，判断，，之间的数量关系为 ； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （1）如图5，△ABC三个内角均小于，在△ABC外侧作等边，连接，在上取点P，使，连接、，求证：点P是△ABC的费马点． （2）如图6，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，则的值为 ． 【学以致用】 如图7所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是 ． 8．平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 9．问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用： (1)如图3，在△ABC中，为△ABC内部一点，连接，则的最小值是________． (2)如图4，在△ABC中，为△ABC内部一点，连接，求的最小值． 10．【阅读】若P为△ABC所在平面上一点，且，则点P叫做△ABC的费马点．如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足，则的值最小．理由如下： 将绕点A逆时针旋转至，连接 是等边三角形 点四点在同一条直线上．此时，的值最小． 【应用】 （1）如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知，，求的长； （2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边向三角形外部作等边，等边，连接交于点P，求证：点P为的费马点； 【拓展】 （3）如图（三），圆内接矩形内有一点于点E，已知，且的最小值是，求的半径． 11．【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务： （1）横线处填写的条件是______； （2）当点P是△ABC的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 12．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为2+2时，求正方形的边长． 13．问题提出 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，． 求证：①；②若连接，则； （2）如图2，在中，，，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场，分别从、、向游乐场修三条路，，，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 14．如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变， 已知，求的值； (3)点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为2，求的长． 模型2.最值模型之“加权费马点”模型 【加权费马点】如图2-1所示，点P是锐角△ABC内的任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP的最小值。 第一步：选定固定不变的线段；第二步：对剩余线段进行缩小或放大。 例如：保持BP不变，,如图2-2所示，当B、P、P2、A2四点共线时，取最小值。 模型特点：①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与己知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点:③同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点。 例1．已知，如图在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是 ． 例2．如图，中，，，点P为△ABC内一点，连接，则的最小值为 . 1．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值 2．在边长为的正△ABC中有一点，连接，求的最小值． 3．△ABC中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 4．如图，在等腰中，，，点D在线段的中垂线上，连接、． (1)如图1，若时，连接并延长交于点F，若，求的面积； (2)如图2，连接，若，过点B作于点G，交于点H，过点C作交的延长线于点E．求证：； (3)在等腰内部有一点P，连接、、，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 5．如图，在△ABC中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求△ABC的面积； (2)求证：； (3)已知点是△ABC内一动点，且不与△ABC的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$