专题11 最值模型之“胡不归”模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题11 最值模型之“胡不归”模型 从前有一个翩翩少年在外搬砖，某天突然得知家中老父病危，便立即赶路回家。他从此刻位置A到家B之间是一片沙漠，聪明的他根据“两点间线段最短”，沿直线AB赶路，谁知最终也没能见到父亲一面，父亲弥留之际仍不断念叨着“胡不归?胡不归?”(啊呀呀，我的儿怎么还没回来呢?)而如果他先沿着公路AC先走一段(公路的速度比沙漠中的快)，再走沙漠，会不会更早到家。这真是一个令人悲伤的故事，想到这少年流下了悔恨的泪水，当初真应该好好学数学。 模型1.最值模型之“胡不归”模型 1 模型1.最值模型之“胡不归”模型 如图1-1所示：一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得的值最小。 如图1-2所示： 1、记，即求BC+k•AC的最小值； 2、构造射线AD使得sin∠NAD=k，，CH=k•AC，将问题转化为求BC+CH最小值； 3、过点B作BH⊥AD交MN于点C，交AD与点H，此时BC+CH取的最小值； 例1．如图，在中，，，，按下列步骤作图： ①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ③作射线交于点F． 若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D．2 例2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是(     ) A． B． C． D．10 1．如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 2．如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在菱形ABCD中，，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AM，若的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（    ） A．AB B．AE C．BD D．BE 4．△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（    ） A．4 B．＋3 C．6 D．2＋3 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 6．如图，在△ABC中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该p抛物线对称轴上一点，则的最小值为（    ） A． B．25 C．30 D． 8．如图，平行四边形中，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    10．如图，在△ABC中，，，，若是边上的动点，则的最小值为 ． 11．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于 ． 12．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是 ． 13．如图，在△ABC中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为 ． 14．【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 15．拋物线分别交轴于点,交轴于点.抛物线的对称轴与轴相交于点,直线与抛物线的对称轴相交于点. （1）直接写出抛物线的解折式和点的坐标； （2）如图1,点为线段上的动点,点为线段上的动点,且.在点,点移动的过程中,是否有最小值？如果有,请求出最小值； （3）以点为旋转中心,将直线绕点逆时针旋转,旋转角为 ()，直线旋转时,与抛物线的对称轴相交于点,与抛物线的另一个交点为点. ①如图2,当直线旋转到与直线重合时,判断线段的数量关系?并说明理由 ②当为等腰三角形时,请直按写出点的坐标. 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点． (1)求点M坐标和直线的函数表达式； (2)如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点，交于点F． ①当时，的面积为_________． ②当时，的值为________． ③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时的值为_______． (3)如图3，，点为轴上一动点，最小值为______． 17．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长； （2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） 18．如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由； (3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 19．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 最值模型之“胡不归”模型 从前有一个翩翩少年在外搬砖，某天突然得知家中老父病危，便立即赶路回家。他从此刻位置A到家B之间是一片沙漠，聪明的他根据“两点间线段最短”，沿直线AB赶路，谁知最终也没能见到父亲一面，父亲弥留之际仍不断念叨着“胡不归?胡不归?”(啊呀呀，我的儿怎么还没回来呢?)而如果他先沿着公路AC先走一段(公路的速度比沙漠中的快)，再走沙漠，会不会更早到家。这真是一个令人悲伤的故事，想到这少年流下了悔恨的泪水，当初真应该好好学数学。 模型1.最值模型之“胡不归”模型 1 模型1.最值模型之“胡不归”模型 如图1-1所示：一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得的值最小。 如图1-2所示： 1、记，即求BC+k•AC的最小值； 2、构造射线AD使得sin∠NAD=k，，CH=k•AC，将问题转化为求BC+CH最小值； 3、过点B作BH⊥AD交MN于点C，交AD与点H，此时BC+CH取的最小值； 例1．如图，在中，，，，按下列步骤作图： ①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ③作射线交于点F． 若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了作角平分线，正弦，垂线段最短，三角形内角和定理等知识，由作图可知，是的平分线，可求，如图，作于，则，由，可知当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为，计算求解即可，确定线段和最小的情况是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ， 如图，作于， ， ， 当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， 故选：A． 例2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是(     ) A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA==2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=BD，推出CD+BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC， ∴∠AEB=90°， ∵tanA==2，设AE=a，BE=2a， 则有：100=a2+4a2， ∴a2=20， ∴a=2或-2（舍弃）， ∴BE=2a=4， ∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA， ∴， ∴DH=BD， ∴CD+BD=CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+BD≥4， ∴CD+BD的最小值为4． 故选B． 1．如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则，∴，解得：， 设，则， ∵，∴，解得： ∴， 故选：D 2．如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 3．如图，在菱形ABCD中，，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AM，若的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（    ） A．AB B．AE C．BD D．BE 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得∠DBC=∠ABC=30°，可得PF=BP，可得AP+BP=AP+PF，由垂线段最短，可求解． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥BC于点F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DBC=∠ABC=30°，且PF⊥BC， ∴PF=BP， ∴AP+BP=AP+MP， ∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值， ∴AM+BM最小值为AE 故选：B． 4．△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（    ） A．4 B．＋3 C．6 D．2＋3 【答案】C 【分析】过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，DF=DC，2AD+DC=2（AD+DC）=2（AD+DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长． 【详解】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示： 在Rt△DFC中，∠DCF=30°， ∴DF=DC， ∵2AD+DC=2（AD+DC） =2（AD+DF）， ∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长， 此时，∠B=∠ADB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD=AB=2， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2， ∴BC=4， ∴DC=2， ∴DF=DC=1， ∴AF=AD+DF=2+1=3， ∴2（AD+DF）=2AF=6， ∴2AD+DC的最小值为6， 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数的图像与x轴交于点， ∴b＝2， ∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，y=3， ∴B（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，-1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 6．如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，通过解直角三角形可得的长，再根据，可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，连接 ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该p抛物线对称轴上一点，则的最小值为（    ） A． B．25 C．30 D． 【答案】A 【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，在证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解． 【详解】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图， 令y=0，得方程，解得x=0或者x=6， ∴A点坐标为(6,0)，即OA=6， 将配成顶点式得：， ∴B点坐标为(3,4)， ∴BD=4，OD=3， ∵CM⊥OB，AN⊥OB， ∴∠BMC=∠ANO=90°， 根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA， ∴∠BDO=90°， 在Rt△BDO中，利用勾股定理得， ∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC ∴△OBD∽△CBM， 同理可证得△OBD∽△OAN， ∴，， ∴，即3BC=5MC， ∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)， ∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小， ∴AC+CM最小值为AN，如图所示， ∵， ∴， ∴AC+CM最小值， ∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24， 故选：A． 8．如图，平行四边形中，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】如图，过点P作PQ⊥AD，交AD延长线于点Q，根据平行四边形的性质可得∠PDQ=60°，可求出PQ=PD，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可． 【详解】如图，过点P作PQ⊥AD，交AD延长线于点Q， ∵平行四边形中，，AB//CD ∴∠PDQ=60°， ∴PQ=PD， ∴当B、P、Q三点共线时有最小值， ∴=BQ=AB·sin∠DAB=6×=． 故答案为： 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作，    令，即， 解得或1， ，， ，， ， ． ， 根据垂线段最短可知，的最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 10．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF＝DC，2AD＋DC＝2（AD＋DC）＝2（AD＋DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长． 【详解】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示： 在Rt△DFC中，∠DCF=30°， ∴DF=DC， ∵2AD＋DC=2（AD＋DC）=2（AD＋DF）， ∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD＋DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长， 此时，∠B＝∠ADB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB＝2， 在Rt△ABC中， ∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝1， ∴BC＝2， ∴DC＝1， ∴DF＝DC＝， ∴AF＝AD＋DF＝1＋＝， ∴2（AD＋DF）＝2AF＝3， ∴2AD＋DC的最小值为3， 故答案是：3． 11．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】4 【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P， 四边形是菱形，边长为5，， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， 即， ， 当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为， 菱形的面积， ， 的最小值是4． 故答案为：4． 12．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短． 【详解】解：如图所示： 过点作交于点，过点作交于点， 四边形是菱形，， ∴∠ABP=30°， ， ， 由垂线段最短可知，的最小值为的长， ， 即的最小值是：， 故答案是：． 13．如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 14．【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2 【运用】请根据以上材料解答下列问题： （1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM＋MF的最小值． 【答案】（1）-3；7；（2）（0，4）或（0，6）；（3）4 【分析】（1）设直线的解析式为y＝2x+b，将A（1，3）代入求出b＝1，得到函数解析式，再将点B、C分别代入求出m、n的值； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，根据 KPA•KPC＝﹣1，得到，求解即可； （3）连接DE，证得AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA，求出AD、DE、DG，利用勾股定理求出EG，及sin∠GFA的值，过M作MN⊥GF于N，则， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值，由DH•GE＝DG•DE得到DH＝4． 【详解】解：（1）设直线的解析式为y＝2x+b， 将A（1，3）代入得b＝1， ∴直线的解析式为y＝2x+1， 将B（m，﹣5）、C（3，n）两点分别代入解析式， 得m＝﹣3，n＝7； （2）设点P（0，y），当∠APC为直角时，有KPA•KPC＝﹣1， 由（1）知，A（1，3）、C（3，7）， ∴， 解得y＝4或y＝6， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，6）． （3） 如图，连接DE，由题意知，KAB＝2，， ∵KAB＝KDE，， ∴AB∥DE，AB⊥DA，DE⊥DA， ∴， ∴， ∴， 过M作MN⊥GF于N，则， ∴， 过点D作DH⊥GE于H，则DH即为最小值．由DH•GE＝DG•DE， 得DH＝4， 即的最小值为4． 15．拋物线分别交轴于点,交轴于点.抛物线的对称轴与轴相交于点,直线与抛物线的对称轴相交于点. （1）直接写出抛物线的解折式和点的坐标； （2）如图1,点为线段上的动点,点为线段上的动点,且.在点,点移动的过程中,是否有最小值？如果有,请求出最小值； （3）以点为旋转中心,将直线绕点逆时针旋转,旋转角为 ()，直线旋转时,与抛物线的对称轴相交于点,与抛物线的另一个交点为点. ①如图2,当直线旋转到与直线重合时,判断线段的数量关系?并说明理由 ②当为等腰三角形时,请直按写出点的坐标. 【答案】（1），；（2）有最小值，；（3）①，见解析；②的坐标分别为，. 【分析】⑴用待定系数法可得抛物线的解析式为：； 根据对称轴求法，可得. ⑵根据三角函数即可解得； ⑶①设直线的解析式为，由待定系数法可得直线的解析式为，再根据三角函数即可得到答案； ②根据等腰三角形的性质即可得到答案. 【详解】解：⑴因为拋物线分别交轴于点,用待定系数法可得 ，解得抛物线的解析式为：； 由抛物线的对称轴与轴相交于点,根据对称轴求法，可得. ⑵在移动的过程中，有最小值. ∵ ∴在中，，∴， ∵，∴， 过点作，交于点， 根据垂线段最短，的长就是的最小值. ∵，，∴ ∴在中，. ⑶① 理由如下：设直线的解析式为 将，代入 于是得  ，解得 ∴直线的解析式为， ∵点，∴点，∴ ∵，∴ ∴在中，由⑵得， ∴，∴， ∴ ∴. ②当为等腰三角形时点的坐标分别为，. 16．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点． (1)求点M坐标和直线的函数表达式； (2)如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点，交于点F． ①当时，的面积为_________． ②当时，的值为________． ③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时的值为_______． (3)如图3，，点为轴上一动点，最小值为______． 【答案】(1)；直线的函数表达式为 (2)①；②或；③或；(3)． 【分析】（1）先利用直线解析式求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）①先求出点A、C、E的坐标，再根据列式计算即可；②求出E、F的坐标，进而表示出，再根据建立方程求解即可；③分当时， 当时， 当时，三种情况讨论求解即可； （3）作交y轴负半轴于P，过点Q作交直线于T，连接，证明，得到，，求出，得到，进而求出；利用勾股定理求出；再证明，得到，则当M、Q、T三点共线，即当时， 有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； ②在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； ③当时，则， ∴轴， ∴， 由（2）②可得， ∴， 解得； 当时，则， ∴轴， ∴， 由（2）②可得， ∴， 解得； 当时，如图所示，过点N作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：或； （3）解：如图所示，作交y轴负半轴于P，过点Q作交直线于T，连接， ∵， ∴， ∴，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴当M、Q、T三点共线，即当时， 有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 17．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长； （2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） 【答案】（1）作图见解析，；（2）见解析； 【分析】（1）由∠BAC+∠BDC=180°，得到A、B、C、D四点共圆，作∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，点D即为所求；过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明AM=AN=5，可求解； （2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求； 【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求作． 如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN，∠DAB=∠DAC=30°， 又∵AD=AD ∴Rt△ADM≌Rt△ADN（HL）， ∴AM=AN， ∵∠DAB=∠DAC， ∴ ， ∴DB=DC， 在Rt△DMB和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）， ∴BM=CN， ∵AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AN=10， ∴AN=5， ∴ ； （2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求； 证明如下：如图4所示，取格点M、N，连接MC，NE，MC与NE交于J， ∴,,， ∴， ∴△ACJ是直角三角形，∠ACJ=90°， ∴， 如图5所示，取格点Q、R、T，连接QT，RN，二者交于L，连接BL，KL，AK、IJ， ∴,，即KL=AJ，, ∴四边形AKIJ是平行四边形， ∴， ∵， ∴△BKL是直角三角形，即BK⊥KL， ∴BK⊥AJ， 设BK与AJ交于点O，则∠AOP=90°， ∴， ∵要使即使最小，即最小， ∴当B、P、O三点共线时，，即最小， ∴点P即为所求； 18．如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由； (3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)(2)不改变，见解析(3) 【分析】（1）由菱形可得，，从而，是等边三角形，根据“三线合一”可得 ，，进而证得点F是边的中点，从而，根据即可解答； （2）由（1）得到，是等边三角形，从而，，进而证得，得到，从而； （3）过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点，则，因此，当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H，的最小值即为的长，在中通过解直角三角形即可解答． 【详解】（1）∵四边形是菱形，边长为6， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴，， ∵， ∴ ∴点F是边的中点， ∴， ∴； （2）的度数不改变，证明如下： 由（1）得到，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点， ∵， ∴在中， ∴   ∴当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 19．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$