精品解析：辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期高一年级期中考试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. 已知，，则在方向上的投影向量为（ ） A B. C. D. 5. 把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 6. 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与夹角为 D. 10. 若，，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则（ ） A. 当时， B. 当且时， C 当时， D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分 12. 已知角的终边经过点，若，则_____________. 13. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_____. 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为且，求的值． 16. 已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若方程在内恰有两个不相等实数根，求的取值范围． 17. 如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设. （1）试用表示AM，并写出的范围； （2）当为多大时，工厂产生噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）. 18. 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，求的模长； （2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （3）设，若对恒成立，求 的最大值. 19. 如图所示，在中，，AD平分，且. （1）若，求BC长度； （2）求k的取值范围； （3）若，求k为何值时，BC最短. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期高一年级期中考试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，根据三角函数线比较大小即可. 【详解】如图， 在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线. 由图知，，又分别与轴、轴的正方向相反，而与轴的正方向相同， 所以. 故选：D 2. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式化简求值. 【详解】. 故选：A 3. 已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出扇形的半径和弧长，即可求得答案. 【详解】设扇形的半径为r，则， 则扇形的弧长为，故扇形周长为， 故选：B 4. 已知，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】根据题意，， 所以在方向上的投影向量. 故选：A. 5. 把函数的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.则函数的一个解析式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度即得解. 【详解】将函数的图像所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到，再把函数的图象向左平移个单位长度， 得到. 故选：B 6. 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出. 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出、，结合的范围，再由 可得答案. 【详解】，① 由， 得，代入①， 解得，所以， 又因为，所以， 所以， 因为， 所有. 故选：A. 8. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 由，解得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与夹角为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，结合向量垂直、夹角的相关计算公式逐项判断可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，即， ∴，选项B正确. ∵， ∴不成立，选项A错误. ∵，， ∴与夹角为，选项C正确. ∵， ∴，选项D正确. 故选：BCD. 10. 若，，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 11. 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由两角相等得到三角形相似，再由边对应成比例可得A选项；设，由三角形相似表示出，在中由正弦定理表示出，在中由余弦定理得到与的关系，结合求出；C选项，由，在结合余弦定理即可证明；D选项，通过取特殊值举反例即可判断错误. 【详解】A选项，当时，是等腰三角形，， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以，即，故A正确； B选项，当时，由A选项知，， 因为，所以，设，则， 因为，所以，所以 又因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即， 即，所以， 在中，， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以，联立，解得， 故B正确； C选项，当时， ， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得， 即，C正确； D选项，当时，若， 此时， 在中，由正弦定理得，所以， 所以，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分 12. 已知角的终边经过点，若，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角终边经过点，利用三角函数的定义求解. 【详解】解：因为角的终边经过点，且， 所以，解得， 所以， 故答案为： 13. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的商数关系可得，再结合正弦定理及余弦定理化简可得，然后求解即可. 【详解】解：因为， 则， 所以， 即， 所以， 则， 即， 即 即， 故答案为：. 【点睛】本题考查了同角三角函数的商数关系，重点考查了正弦定理及余弦定理的应用，属中档题. 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数周期性作出函数图象，结合函数图象进行求解即可. 【详解】由得，当时，， 故当时，， 当时，， 当时，，依次类推， 又函数的定义域为R，所以函数的大致图象为 因为，， 所以，， 所以由，可得， 当时，由的， 所以对任意，都有， 得实数的取值范围为，则实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦函数的图象与性质及恒成立的应用，解答本题的关键是利用法则画出函数图象，正确理解函数法则是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标运算列式可得的值，再根据三角函数二倍角公式、平方公式、商数关系，齐次转化求解即可； （2）根据平面向量夹角坐标运算、模长公式，结合三角恒等变换与特殊角度余弦值即可得结论. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 因为，所以， 故=； 【小问2详解】 因为，， 所以，， ，因为与的夹角为， 所以，即， 所以， 因，所以， 所以， 故． 16. 已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数最小正周期，进而得到，，代入特殊点坐标，求出，得到解析式； （2）整体法求出函数单调递减区间； （3）得到，结合图象得到，求出答案. 【小问1详解】 由题可知，的最小正周期，则， 则，，即，． 因为，所以． 又，所以，得． 故． 【小问2详解】 令， 得， 则的单调递减区间为． 【小问3详解】 由，得． 由，得． 因为方程在内恰有两个不相等的实数根，所以， 解得，即的取值范围为． 17. 如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设. （1）试用表示AM，并写出的范围； （2）当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）. 【答案】（1），；（2）时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得的表达式； （2）根据余弦定理表示出，结合三角恒等变换及三角函数得性质可得的最大值，进而可求. 【详解】解：（1）因为，在中， 因为，所以， （2）在中， ， 当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6. 所以当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 18. 如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. （1）若，求的模长； （2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； （3）设，若对恒成立，求 的最大值. 【答案】（1） （2）不正确，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件有，再利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【小问1详解】 因为，则，又， 则. 【小问2详解】 不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. 【小问3详解】 因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 19. 如图所示，在中，，AD平分，且. （1）若，求BC的长度； （2）求k的取值范围； （3）若，求k为何值时，BC最短. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在和中分别利用正弦定理结合AD平分，可得，从而可求出，进而可求出； （2）由结合三角形的面积公式及已知条件化简可得，从而可求出k的取值范围； （3）由，结合余弦定理得，令，则当最小值时，最短，化简后结合辅助角公式和正弦函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为AD平分，所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以，得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； 小问3详解】 由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时， 所以， 因为， 所以，所以， 由（2）知， 所以， 即当时，最短. 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式和三角函数恒等变换公式的应用，第（3）问解题的关键是余弦定理结合已知条件表示出，换元后结合三角函数恒等变换公式可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $