专题5.1 矩形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题5.1 矩形中的几何综合 · 典例分析 【典例1】如图①，在矩形中，，，点M在边上，，点N是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点A、B的对应点分别为点E、F． （1） __________； （2）当时， ________；当时， ________． （3）如图②，当点E落在边上时，连接，求的值． （4）当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出x的值． 【思路点拨】 （1）根据，，直接求出； （2）根据，证明四边形为矩形，得出，说明此时；根据，求出，得出，证明四边形为矩形，得出，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案即可； （3）过点N作于点P，根据折叠得出，，，，证明为等腰直角三角形，得出，，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，，最后求出结果即可； （4）分三种情况：当所在直线经过矩形的顶点D时，当顶点C在的延长线上时，当顶点C在的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即此时； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即此时； （3）解：过点N作于点P，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； （4）解：当所在直线经过矩形的顶点D时，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，如图所示： 根据折叠可知：，，，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，过点M作于点Q，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， 根据折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 3．（2025·河北·一模）如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，将矩形沿折叠，点B，C，D的对应点分别为分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，E为中点，P为边上一动点（含端点），F为中点，则的周长最小值为 ． 8．（2025·陕西渭南·二模）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接，点在线段上，连接，若，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，是边上任意一点，分别过点作射线的垂线，垂足分别是，若，则的最小值是 ． 10．（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是 ． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，、分别是、的中点，动点、在线段上，且满足．则四边形周长的最小值为 ． 12．（2025·甘肃定西·一模）如图，在矩形中，的角平分线与交于点，的角平分线与交于点，若，点是的中点，则的长为 ． 13．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为 14．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（只需填序号） 15．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点、分别在、边上，，将沿翻折至，沿翻折至，恰好落在线段上，则到的距离为 ． 17．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 18．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． （1）求证 ； （2）若，求矩形的面积． 19．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，在矩形中，，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，于，连结． （1）当在线段上时 ①若，求的长； ②若，求证：； （2）连结，在点的运动过程中，设运动时间为秒，当为何值时，是以为底的等腰三角形? 20．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）矩形中，G，H分别是，的中点，E，F是对角线上的两个动点，且． （1）如图，当时，求证：四边形是平行四边形； （2）若，，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出的长． 21．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知矩形和矩形，是上一点，与边相交于点，与边相交于点． （1）如图1，若，，则________； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求； （3）如图3，若，，求证：． 22．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若，点与点重合，求的长； （3）如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 23．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）． （1）四边形________（填“能”或“不能”）是正方形； （2）若、分别是、的中点，连接，问：当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点． （1）若，请求出的值； （2）求证：是的中点； （3）请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． （1）如图1，若点落在边上，求证：； （2）如图2，若三点在同一条直线上，求的长； （3）若是以为底的等腰三角形，求的长． 26．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）当 s时，； （2）如图1， 从运动开始， 当t为何值时， ； （3）从运动开始，当t为何值时，四边形为矩形； （4）从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 27．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，． （1）求证：； （2）如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，； ①求证：； ②连接，求的度数． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，，，点在边或边上，将矩形沿着过点的直线折叠，当点落在边（含端点）上时，落点记为，然后展开铺平，以，，为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） （1）如图1，当的顶点位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； （3）当点在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 29．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交直线于点Q，以为边向左侧作矩形，使．    （1）当点Q在边上时，求的长（用含t的代数式表示）； （2）当点M在边上时，求t的值； （3）连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值． 30．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）． （1）当点和点重合时，求线段的长； （2）如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； （3）作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 矩形中的几何综合 · 典例分析 【典例1】如图①，在矩形中，，，点M在边上，，点N是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点A、B的对应点分别为点E、F． （1） __________； （2）当时， ________；当时， ________． （3）如图②，当点E落在边上时，连接，求的值． （4）当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出x的值． 【思路点拨】 （1）根据，，直接求出； （2）根据，证明四边形为矩形，得出，说明此时；根据，求出，得出，证明四边形为矩形，得出，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案即可； （3）过点N作于点P，根据折叠得出，，，，证明为等腰直角三角形，得出，，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，，最后求出结果即可； （4）分三种情况：当所在直线经过矩形的顶点D时，当顶点C在的延长线上时，当顶点C在的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即此时； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即此时； （3）解：过点N作于点P，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； （4）解：当所在直线经过矩形的顶点D时，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，如图所示： 根据折叠可知：，，，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，过点M作于点Q，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， 根据折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 【思路点拨】 连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【解题过程】 解：连接，如图， 沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，为的中点，F为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，综合性强，正确找出点的运动轨迹是解题关键．分别取的中点，连接，先根据矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理可得的长，再根据三角形的中位线定理可得当点在上运动时，点在上运动，根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后利用勾股定理可得，由此可求出的长，最后在中，利用勾股定理计算即可得． 【解题过程】 解：如图，分别取的中点，连接， ∵矩形中，，，为的中点， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点为的中点，点是的中点， ∴， 又∵点是的中点，为的中点， ∴， 同理可得：， ∴点在同一条直线上，即当点在上运动时，点在上运动， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：A． 3．（2025·河北·一模）如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，将矩形沿折叠，点B，C，D的对应点分别为分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，要使最大，则点F要离点E最远，当点Q与点B重合时，线段最大，计算出的长度，，即可解答，熟知折叠的性质，得到当点Q与点B重合时，线段最大是解题的关键． 【解题过程】 解：如图， 是的中点， 为定点， ∴要使最大，则点F要离点E最远， ∴当点Q与点B重合时，线段最大，此时点也与点B重合， 根据折叠可得，， 四边形是矩形， ，，， ， 设，则， 点是的中点， , 在中，， 即， 解得， 同理可得. 最大值为． 故选：B． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作于，则四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故选：． 5．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 连接、，根据经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得，，，根据两直线平行，内错角相等可推得，根据等角对等边可得，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得，结合直角三角形中两个锐角互余可得，推得是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【解题过程】 解：连接、，如图， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴是直角三角形， ∴， 设，则， 即， 在中，， 在中，， 即，， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】 本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断． 【解题过程】 解：如图，作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 平分，故①正确， 如图中，延长交的延长线于，作于． 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④错误， 故选：A 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，E为中点，P为边上一动点（含端点），F为中点，则的周长最小值为 ． 【思路点拨】 根据三角形的中位线的性质得到，推导出，当的周长最小时，的周长最小；即的值最小时，的周长最小；如图，作A关于的对称点，连接交于P，于是得到结论． 【解题过程】 解：∵E为中点，F为中点， ∴， ∴ ， 当的周长最小时，的周长最小，即的值最小时，的周长最小； 如图，作A关于的对称点，连接交于P，连接，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（2025·陕西渭南·二模）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接，点在线段上，连接，若，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，连接，过点作，由矩形的性质可得，再由点、分别是、的中点，可得，再求出，再用面积法求出，最后由等腰三角形的判定求解即可． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作， 矩形中，，， ， 点、分别是、的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，是边上任意一点，分别过点作射线的垂线，垂足分别是，若，则的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，连接、，由矩形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，即可解决问题．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，连接、， 四边形是矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 和的边上的高， ， ， ， ， ， 随着的增大而减小， 时，最小，， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是 ． 【思路点拨】 分两种情况讨论，一是，由翻折得，所以，过点F作于点G，交于点H，则，四边形是矩形，所以，，求得，则，由勾股定理得，求得；二是，连接，过点F作于点Q，交于点P，则，四边形是矩形，所以，可证明垂直平分，则，所以，则，所以，由，求得，于是得到问题的答案． 【解题过程】 解：如图1，△是以为腰的等腰三角形，且， 四边形是矩形，，， ，， 将△沿直线翻折，点落在点处， ， ， 过点作于点，交于点，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，且，， ， 解得； 如图2，△是以为腰的等腰三角形，且， 连接，过点作于点，交于点，则， ， 四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是5或， 故答案为：5或． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，、分别是、的中点，动点、在线段上，且满足．则四边形周长的最小值为 ． 【思路点拨】 因为和是定长，所以要使四边形的周长最小，只要最小即可；过点Q作交于M，连接，可证明四边形是矩形，则有，再证明四边形是平行四边形，得到，则，证明，得到，则当C、Q、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【解题过程】 解：四边形周长， 又， ∴四边形周长， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可， 如图所示，过点Q作交于M，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、Q、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为 ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 12．（2025·甘肃定西·一模）如图，在矩形中，的角平分线与交于点，的角平分线与交于点，若，点是的中点，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，根据矩形的性质，角平分线的定义得到，由勾股定理得到，如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质定理可证，得到，再证，得到，设，则，，由列式求解即可，掌握矩形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解题过程】 解：四边形是矩形， ，，，， 是角平分线， ， ， ， ， ， ， 如图所示，过点作于点，连接， 平分，，即，且， ，且， ， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 由得，， 解得，， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，点、分别是、的中点，延长、交于点．若，，，则的长为 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理及其逆定理等知识，熟练运用以上知识点，利用中点作出适当的辅助线，构造全等三角形和三角形中位线是解题的关键．过点作交于点，可得是的中位线，，是的中位线，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长． 【解题过程】 解：如图， 过点作交于点， 点是的中点，， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ； 延长交于点， ，， ， ，； 过点作于点， 四边形是矩形，； 点是的中点， ， 在中，，， ． 故答案为 ：． 14．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（只需填序号） 【思路点拨】 根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【解题过程】 解：四边形是矩形， ， 平分， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又∵， ∴，故①正确； ， ， ∴，， ， ，故②错误； ∴， ， ， ，故③正确； 连接．    ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ． 【思路点拨】 如图1和2，作点关于的对称点，连接，，先根据轴对称的性质可得，将求的最小值转化为求点到折线的最短距离，从而可得在图2中，当时，点到的距离最短，再设交于点，交于点，利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，最后利用的面积求解即可得． 【解题过程】 解：如图1和2，作点关于的对称点，连接，， 由轴对称的性质得：， ∴求的最小值可转化为求点到折线的最短距离， 如图1，当点在上运动时，点到的最短距离为的长， 如图2，当点在上运动时，则时，点到的距离最短， ∵如图2，在中，， ∴当点在折线上运动时，点到折线的最短距离为图2中的长， 在图2中，设交于点，交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点、分别在、边上，，将沿翻折至，沿翻折至，恰好落在线段上，则到的距离为 ． 【思路点拨】 过作垂直于的延长线与G，连接交与，连接，由矩形的性质及折叠的性质得 ，由矩形的判定方法得四边形是矩形，设，则，，由勾股定理得 ， ， ，，求出的长， ①当时，由，求出，由勾股定理得，即可求解；②当时，同理可求． 【解题过程】 解：如图，过作垂直于的延长线与G，连接交与，连接， 在矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵将沿翻折至，沿翻折至，恰好落在线段上， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； ②当时， 同理可求：． 综上，到的距离为或． 17．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【思路点拨】 （1）由平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形的判定可证得，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，进而求得，，由勾股定理可求得，，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【解题过程】 （1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 18．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． （1）求证 ； （2）若，求矩形的面积． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）由得，即可由证，可得； （2）证明是等边三角形，得，，进而得，再由直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 19．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，在矩形中，，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，于，连结． （1）当在线段上时 ①若，求的长； ②若，求证：； （2）连结，在点的运动过程中，设运动时间为秒，当为何值时，是以为底的等腰三角形? 【思路点拨】 （1）①在矩形中，，，，由勾股定理求得的长，即可求得的长； ②证明，可得，从而可得，即可得到； （2）分两种情况点在线段上、点在延长线上两种情况分别讨论即可得 【解题过程】 （1）①解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴； ②证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，，如图所示， ∵， ∴， 在矩形中， ∴， ∴， 综上所述，可知或； ∴当或时，是以为底的等腰三角形． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）矩形中，G，H分别是，的中点，E，F是对角线上的两个动点，且． （1）如图，当时，求证：四边形是平行四边形； （2）若，，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出的长． 【思路点拨】 （1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，由线段中点的定义可得，，进而可得，由可得，进而可得，利用可证得，， 于是可得，，由此即可得出结论； （2）连接，由（1）得，，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，在中，根据勾股定理可得，然后分两种情况讨论：①当是矩形时；②当是矩形时；分别利用矩形的性质及线段之间的和差关系即可求出的长． 【解题过程】 （1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得：，，， 四边形是矩形， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 分两种情况讨论： ①当是矩形时， ， ； ②当是矩形时， 如图， ， ； 综上，的长为或． 21．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知矩形和矩形，是上一点，与边相交于点，与边相交于点． （1）如图1，若，，则________； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求； （3）如图3，若，，求证：． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据勾股定理计算，即可求解； （2）证明得出，进而证明得出，即可得出为的中点，即可求解； （3）过点作于点，交于点，分别证明，，即可得出，，进而根据，即可得证． 【解题过程】 （1）解：∵矩形 ∴， 在中，，， ∴ 故答案为：． （2）解：∵矩形和矩形， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴ 在四边形中， ∴， 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴， ∴． 22．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若，点与点重合，求的长； （3）如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【思路点拨】 本题考查了矩形与折叠，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进行推理证明与计算； （1）根据折叠和平行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列出方程即可求； （3）过点P作于H，证明，设，则，由勾股定理列出方程即可求解． 【解题过程】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 23．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）． （1）四边形________（填“能”或“不能”）是正方形； （2）若、分别是、的中点，连接，问：当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由题意得，则四边形不能是正方形； （2）连接，证明四边形是矩形，求得，推出当时，四边形是平行四边形，据此求解即可； （3）由对称的性质知是线段的垂直平分线，当点与点重合时，，利用等积法求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意得，，， ∵， ∴四边形不能是正方形， 故答案为：不能； （2）解： 连接， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 此时，即， 解得； （3）解：存在实数，使得点与点重合， 连接交于点，连接，， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵关于直线的对称图形是， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点重合时，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 24．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点． （1）若，请求出的值； （2）求证：是的中点； （3）请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． （1）根据矩形的性质及角平分线得出是等腰直角三角形，结合题意及线段长即可得出结果； （2）根据题意及各角之间的关系确定，，，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）由（2）得，设，则，确定，，，再由全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，由勾股定理得出，代入计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴与是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即是的中点； （3）是定值，理由如下： 由（2）得， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． （1）如图1，若点落在边上，求证：； （2）如图2，若三点在同一条直线上，求的长； （3）若是以为底的等腰三角形，求的长． 【思路点拨】 本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题； （2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长； （3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题． 【解题过程】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ； （2）解：如图2，，，三点在同一条直线上， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， ， 是的中点， ， 在矩形中， ，，， ， ， 如图，连接， 是的中点，， ， ， 点是的中点， 是的中位线 ，， 由翻折可知：，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， ， ， ； （3）解： 如图，延长交于点， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当以为底的等腰三角形时，则， ，，， ， ， 设，则， 在中，， 则可得， 可得， ， ， ， 在中，， 即， 解得，即． 26．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）当 s时，； （2）如图1， 从运动开始， 当t为何值时， ； （3）从运动开始，当t为何值时，四边形为矩形； （4）从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 【思路点拨】 （1）根据路程等于速度乘以时间，求出的长，进而求出的长，当时，易得四边形为平行四边形，得到，列出方程进行求解即可； （2）过点作，过点作，得到四边形，四边形均为矩形，得到，进而求出的长，表示出的长，三线合一得到，列出方程进行求解即可； （3）根据四边形为矩形时，，列出方程进行求解即可； （4）分和两种情况进行讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意，得：，， ∴，， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：10； （2）过点作，过点作，则：四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）当四边形为矩形时，则：， 即：， 解得：； 故当时，四边形为矩形； （4）①当，如图，则：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：； 综上：或． 27．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形，E，F分别为，边上的点，，的延长线交于点G，． （1）求证：； （2）如图2，Q，H分别是，边上的点，交于点P，，； ①求证：； ②连接，求的度数． 【思路点拨】 （1）根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据，即可得出答案； （2）①过点E作，交于点M，先证明，得出，根据，得出，证明，得出答案即可； ②连接，，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，即可得出答案． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：①过点E作，交于点M，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，，，点在边或边上，将矩形沿着过点的直线折叠，当点落在边（含端点）上时，落点记为，然后展开铺平，以，，为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） （1）如图1，当的顶点位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； （3）当点在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 （1）根据矩形的性质得到，，由点是的中点，得到，求得，推出，根据折叠的性质得到，，求得，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）根据题意补全图形如图所示，过作于，根据矩形的性质得到，，，得到，由折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）①当在边上时，，即当与重合时，面积最大为4，求得；②当在边上时，过作交于点，交于，根据三角形的面积和矩形的面积公式推出即当为中点时，面积最大为4，根据勾股定理得到． 【解题过程】 （1）证明：在矩形中，，， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 将矩形沿着过点的直线折叠，当点落在边（含端点）上时，落点记为， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：补全图形如图所示，过作于， 则四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当在边上时，如图所示，， 即当与重合时，面积最大为4， ； ②当在边上时，如图所示，过作交于点，交于， ， ， ． 即当为中点时，面积最大为4， ． 综上：或． 29．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交直线于点Q，以为边向左侧作矩形，使．    （1）当点Q在边上时，求的长（用含t的代数式表示）； （2）当点M在边上时，求t的值； （3）连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）由题意可知，再根据勾股定理与含30度角的直角三角形的性质即可求出，结合题意即得出； （2）画出图形，由矩形的性质得出，．再根据勾股定理与含30度角的直角三角形的性质可求出，由，列出关于t的等式，解出t即可； （3）分类讨论：①当点Q在上时，根据题意可判断，即易证，得出，最后列出关于t的等式，解出t即可；②当点Q和点C重合时，即得出，列出关于t的等式，解出t即可；③当点Q在的延长线上时，根据题意可判断，从而可求出，最后根据，列出关于t的方程，解出t即可； 【解题过程】 （1）解：由题意可知． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，    ∵四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴同理可得：， ∴． ∵， ∴， 解得：； （3）解：分类讨论：①如图，当点Q在上时，    ∵沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点Q和点C重合时， ∵，， 同理可得：， ∴此时重合，    ∵， ∴， 解得：； ③如图，当点Q在的延长线上时，    ∵沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∴． ∵, ∴, ∴ ∵， ∴， 解得：． 综上可知，t的值为或1或． 30．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间秒（）． （1）当点和点重合时，求线段的长； （2）如图，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； （3）作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）连接，求出，由勾股定理可得 ； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）分两种情况：当点在上时，求出，知，由 ，可得，故；当点在上时，当，重合时符合题意， 由，有 ，得 ． 【解题过程】 （1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：当点在上时，如图， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：； 当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得； 综上，当点恰好落在边上时，的值为或． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$