专题02 矩形与等腰三角形、二倍角、动点、定值的交互问题（举一反三专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题02 矩形与等腰三角形、二倍角、动点、定值的交互问题（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 【题型1 矩形的翻折】 1 【题型2 矩形与等腰三角形】 8 【题型3 矩形与等腰直角三角形】 14 【题型4 矩形中为二倍角】 19 【题型5 矩形与分类讨论】 26 【题型6 矩形中的动点】 32 【题型7 矩形中的最值】 38 【题型8 矩形中的定值】 43 【题型1 矩形的翻折】 【例1】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，根据勾股定理求得，因为点与点关于直线对称，所以，垂直平分，则，由，得，求得，则，证明，得出，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点，分别落在点，处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理在中，求得．延长至点G，使得，连接，设，证明，得到，从而，进而得到，从而，得到，根据等角对等边得到，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴在中，． 延长至点G，使得，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，正确作出辅助线，证明等腰三角形是解题的关键． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形中，点是射线上一个动点，连接并延长交直线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：； (2)若． （）如图，点是边的中点时，求的长； （）当点在线段上，且时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)（）；（） 【分析】（）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案； （）（）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（）知，，在中利用勾股定理即可求解；（）当在线段上，则点在线段的延长线上，当时，设，则，，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2）解：（）∵点是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（）知，，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； （）当点在线段上，则点在线段的延长线上，如图所示， 当时，设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【题型2 矩形与等腰三角形】 【例2】如图，在长方形中，，对角线，平分交于点E，是线段上的点，连接，过点C作交的延长线于点P，当为等腰三角形时，（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到的长，求得，过Q作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到问题答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过Q作于H，    ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在矩形中，，，为边上的一点，为的中点，连接并延长，交于点．若平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 由四边形是矩形，得，，，结合平分，得出，则，证明，得出，则，再求得，利用，，列式求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，点E在上，且，点F是线段上的一个动点（点F不与点A，D重合），连接，，将沿直线翻折得到，当点F在运动过程中，到使点G正好落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段的长是 ． 【答案】2 或或 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 先求出，依题意有以下三种情况：（1）当点落在直线上时，则点在的延长线上，由翻折的性质得，进而得，由此可判定四边形是矩形，则；（2）当点落在直线上时，则点在的延长线上，由翻折的性质得，根据得，由此得，则．（3）当点落在直线上时，则点在的延长线上，如图3所示，根据翻折的性质和勾股定理即可解答；综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵点在上，且， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ， ∵点是线段上的一个动点（点不与点重合）， ∴当点正好落在矩形任意一边所在的直线上时，有以下三种情况： （1）当点落在直线上时，则点在的延长线上，如图 1 所示： 由翻折的性质得：， ， ， ∴四边形是矩形， ； （2）当点落在直线上时，则点在的延长线上，如图2所示： 由翻折的性质得：， ， ， ， ． （3）当点落在直线上时，则点在的延长线上，如图3所示： 根据折叠可得， 则， ∴， 在中，， 则， 解得：； 综上所述：所有满足条件的线段的长是 2 或或． 故答案为：2 或或． 【变式2-3】如图，矩形中，，，P、E分别是线段、上的点，且四边形是矩形，若是以为腰的等腰三角形，则的长是（   ）    A．4或5 B．5或6 C．5或 D．4或 【答案】C 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求得，再分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，， ∵， ∴， ∴，则； 当时，如图，    过点D作于Q，则，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的的长为5或， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 【题型3 矩形与等腰直角三角形】 【例3】如图，在等腰中，是的高线，E是边上一点，分别作于点F，于点G，《几何原本》中曾用该图证明了．过点B作于点H，若四边形的周长为20，且图中阴影部分的面积和为14，则四边形的面积为（    ）. A．20 B．22 C．24 D．28 【答案】B 【分析】阴影部分为两个等腰直角三角形，先把阴影部分的面积表示出来：=14 ，再根据题目中给的公式求出=56，结合四边形的周长为20，利用完全平方公式算出四边形的面积． 【详解】在等腰中， ∵AD是的高线， ∴,、均为等腰三角形， ∵AD是的高线，且， ∴ADBC，EFBC， 又∵，， ∴四边形BHEG为矩形， 根据题意得： =14， ∴==56， 矩形BHEG的周长为：2（BG+GE）=20， ∴BG+GE=10， 则=100， ∴， ∴四边形BHEG的面积为22， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、完全平方公式的运用，对图形进行准确判定，并灵活运用完全平方公式进行求解． 【变式3-1】如图，把一张矩形纸片按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角，若，则的长度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质得出，进而得到，再根据勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】补全图形，如图所示，    ∵四边形是矩形， ∴， 由第一次折叠得， ∴， ∴， 根据勾股定理得, 由第二次折叠得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质和勾股定理，弄清楚折叠中线段的数量关系是解决本题的关键． 【变式3-2】如图，将一个等腰直角三角尺放置在一张矩形纸片上，使点G，E，F分别在矩形的边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键． 先根据直角三角形的两锐角互余可得，最后由平行线的性质可得结论． 【详解】解：在矩形中， 故选：C． 【变式3-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点H，连结并延长，交于点F，连结给出下列结论： ①； ②； ③的面积是矩形面积的； ④； ⑤ 其中正确的有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，再根据即可对该结论进行判断； ②根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可； ③根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求解即可； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，再利用等腰直角三角形的性质求解即可； ⑤根据 “AAS”证明和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是矩形， ∴， 的平分线交于点E， ， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论③不正确； ④∵于点H， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论④不正确， ⑤∵于点H，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【题型4 矩形中为二倍角】 【例4】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1），理由见解答；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，根据勾股定理解出即可； （3）（3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【变式4-1】如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，，点G是的中点，若，则的长为（　　） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理，等腰三角形的性质与判断等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式4-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，于点，连接，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质；设交于点，过点作于点，则四边形是矩形，先证明，设，进而勾股定理表示出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点 ∵， 设，则 在中， ∵，垂直平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 设， 在中， 在中， ∵ ∴ 解得： ∴ ∴ 故答案为：． 【变式4-3】矩形中，E为边上一点，连接，在上取一点F，，，若，求的值． 【答案】． 【分析】由“”可证，可得，，，由角的数量关系可证，，即可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 矩形与分类讨论】 【例5】（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）在矩形中，，，点在上，，是上的一个动点，连接，若将四边形沿折叠，点，分别落在点，处，则当点恰好落在矩形的一边上时，的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 分点落在和边上两种情况，分别运用矩形的折叠问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，当点落在边上时， 由折叠知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 如图2，当点落在边上时， 由折叠知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， ∴， 设， 在中，2， 在中，， ∴，解得：． ∴． 综上，的长为3或． 故答案为：3或． 【变式5-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．    【答案】2或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．分两种情况讨论：当点落在上时，当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ，， ， 当点落在上时， 将沿直线折叠， ， ， ， ； 当点落在上时，如图2，连接，过点作于，    ， ， ， ， ， 将沿直线折叠， ， ， ， ， 综上所述：的长为2或． 故答案为：2或． 【变式5-2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在矩形中，，点，点分别在上，，若为矩形上一点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或1或3 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据矩形的性质以及已知条件可得、、、，然后分三种情况讨论，利用矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∵， ∴，， ①∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点B重合时，为直角三角形，即； ②如图：当点E为直角顶点时，为直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ③如图：当点F为直角顶点时，为直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∴点P和点D重合，即． 综上，的长为2或1或3． 故答案为：2或1或3． 【变式5-3】（24-25九年级下·江西·阶段练习）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为 ． 【答案】，或 【分析】根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可． 【详解】解∵中，，，分别是，的中点， ∴为直角三角形    ∵ ∴，， ∴ 若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论， ①当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作， ∵点到直线的距离为1， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴； ②当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则 ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴ 由题意可得：四边形为矩形 ∴， ∴ ∴； ③当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3） ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，三点共线 ∴； ④如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时， ，，点到直线的距离为1 可以确定点在线段上，且 则 综上，的长为，或, 故答案为：，或 【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 【题型6 矩形中的动点】 【例6】如图，矩形中，，，一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，．当 时，四边形是菱形．    【答案】/ 【分析】由垂直得，在中，，由，可得，再证明四边形是平行四边形，当时，四边形为菱形，再建立方程即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴； ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即当时，四边形为菱形； 故答案为： 【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键． 【变式6-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿匀速运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当点运动至终点时，整个运动停止．设运动时间为．若动点所在的直线平分矩形的面积，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，要使点所在的直线平分矩形的面积，则需所在的直线经过点，则分当在上时，当与重合时，当与重合，与重合时三种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：要使点所在的直线平分矩形的面积，则需所在的直线经过点， 当在上时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，解得：； 当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴运动时间； 当与重合，与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∴运动时间； 综上可得：的值为或或， 故答案为：或或． 【变式6-2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中， ，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为 时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【答案】2.4或4或7.2 【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动． 四边形是矩形， ，． ． 若，则四边形是矩形． 根据题意，得． 当时，， ∴， 解得． 当时， ， ∴， 解得．当时， ， ， 解得． 当时，， ， 解得，此时无法构成矩形，故舍去． 综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 故答案为：2.4或4或7.2． 【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论． 【变式6-3】如图，在矩形中，，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，速度为每分钟x个单位长度．动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，速度为每分钟5个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动，连接，在运动过程中，将四边形沿MN翻折，得到四边形，若在某一时刻，点B的对应点恰好落在的延长线上，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题以翻折和动态为背景考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，弄清各线段间关系，灵活运用勾股定理是解题的关键． 画出图形，先在中利用勾股定理求出运动的时间，再根据勾股定理利用列方程求出x即可． 【详解】解：连接，，，设经过t秒点B的对应点B′恰好落在的延长线上，且， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形由四边形折叠得到， ，，，， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ，， 在中， ， 在中， ， ， 解得， 故答案为：2． 【题型7 矩形中的最值】 【例7】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，延长，使得，连接，，则和关于对称，由得，当、、共线时取等号，此时，最小，最小值为的长，过作垂足是，则四边形是矩形，进而可得，，由勾股定理求得，则最小值为，由四边形周长为求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴ ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 延长，使得，连接，，则和关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时取等号，此时，最小，最小值为的长， 过作垂足是，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得， ∴最小值为， 则四边形周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形，以及为的最小值是解答的关键． 【变式7-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键；连接，取其中点E，连接，则，当点E在线段上时，取得最大值；由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得的长，从而求得的最大值． 【详解】解：如图，连接，取中点E，连接， 则，当点E在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的定义，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 如图，在上取一点，使得，连接，过点N作于点H，证明四边形是矩形，结合全等三角形的判定与性质得，利用勾股定理求出，再根据可得结论 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，过点N作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分交于点， ∴ ∵， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ ∵，， ∴ 则 ∴ 故的最小值为13， 故答案为：13． 【变式7-3】如图，点为线段上的动点（点不与点、重合），分别以、为斜边构造等腰直角三角形、等腰直角三角形，点与点在的同侧，于点，于点，点为的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①线段的长为定值；②四边形的面积为定值；③线段的长为定值；④周长的最小值为． 【答案】①②④ 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及线段的和差求解；②根梯形的面积公式求解；②根据勾股定理求解；④先找到最小值，再根据勾股定理求解． 【详解】解：等腰直角三角形、等腰直角三角形，于点，， ，，，， ，，故①是正确的； 于点，，， ，， 四边形的面积为：，故②是正确的； 点为的中点， ， 过作于点，延长到，使得，连接交于， 则四边形是矩形，，， ， ，（当时取等号） 为动点， 为变量， 为变量，故③是错误的； 由作图得，垂直平分， ， ， ， 周长为：，故④是正确的， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了轴对称最小路径问题，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质及梯形的面积公式是解题的关键． 【题型8 矩形中的定值】 【例8】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，点为对角线中点，连结，过点作交于点，平分交于点，若已知矩形的周长为定值，则下列线段长为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，推出为等腰三角形，则有，结合，即可得到结果． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为对角线中点， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长等于矩形的周长的， 当矩形的周长为定值时，为定值． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的定义及性质等知识点．确定为等腰三角形是解题的关键． 【变式8-1】如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（    ） A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值 【答案】D 【分析】连接，过点作，利用，即可得解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ∵在矩形中，，， ∴， ∵ 即：， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质和勾股定理以及等积法求线段．熟练掌握矩形的性质，以及等积法求线段的长度是解题的关键． 【变式8-2】（2025·浙江舟山·一模）如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②三角形的周长为定值4 ③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，再证四边形是菱形，则，，，得，可知四边形的面积，进而可知当时，四边形的面积随着增大而减小，进而判断③正确；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④错误． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∴，故①正确； 连接，令与交于点， 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 当时，四边形的面积随着增大而减小，故③正确； ∵，， 则在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④错误， 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的判定及性质，全等三角形的判定等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【变式8-3】如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边于点，连接，有下列结论：①四边形的面积是定值；②的值不变；③的值不变；④，则下列结论一定成立的序号有 ．    【答案】①②④ 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，过点C作，交的延长线于点G，可得四边形是平行四边形，，推出，即可判断结论①；由，可判断结论②；利用勾股定理即可判断结论③；根据现有条件无法证明的值不变，即可判断④． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积是定值，故①正确； ∵， ∴的值不变，故②正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明的值不变，故③错误， 故答案为：①②④． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形与等腰三角形、二倍角、动点、定值的交互问题（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 【题型1 矩形的翻折】 1 【题型2 矩形与等腰三角形】 2 【题型3 矩形与等腰直角三角形】 3 【题型4 矩形中为二倍角】 5 【题型5 矩形与分类讨论】 6 【题型6 矩形中的动点】 7 【题型7 矩形中的最值】 8 【题型8 矩形中的定值】 9 【题型1 矩形的翻折】 【例1】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形中，点是射线上一个动点，连接并延长交直线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：； (2)若． （）如图，点是边的中点时，求的长； （）当点在线段上，且时，求的长． 【题型2 矩形与等腰三角形】 【例2】如图，在长方形中，，对角线，平分交于点E，是线段上的点，连接，过点C作交的延长线于点P，当为等腰三角形时，（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在矩形中，，，为边上的一点，为的中点，连接并延长，交于点．若平分，则 ． 【变式2-2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，点E在上，且，点F是线段上的一个动点（点F不与点A，D重合），连接，，将沿直线翻折得到，当点F在运动过程中，到使点G正好落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段的长是 ． 【变式2-3】如图，矩形中，，，P、E分别是线段、上的点，且四边形是矩形，若是以为腰的等腰三角形，则的长是（   ）    A．4或5 B．5或6 C．5或 D．4或 【题型3 矩形与等腰直角三角形】 【例3】如图，在等腰中，是的高线，E是边上一点，分别作于点F，于点G，《几何原本》中曾用该图证明了．过点B作于点H，若四边形的周长为20，且图中阴影部分的面积和为14，则四边形的面积为（    ）. A．20 B．22 C．24 D．28 【变式3-1】如图，把一张矩形纸片按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角，若，则的长度为（　　）    A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将一个等腰直角三角尺放置在一张矩形纸片上，使点G，E，F分别在矩形的边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点H，连结并延长，交于点F，连结给出下列结论： ①； ②； ③的面积是矩形面积的； ④； ⑤ 其中正确的有 ． 【题型4 矩形中为二倍角】 【例4】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【变式4-1】如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，，点G是的中点，若，则的长为（　　） A．8 B．9 C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，于点，连接，且，若，，则的长为 ． 【变式4-3】矩形中，E为边上一点，连接，在上取一点F，，，若，求的值． 【题型5 矩形与分类讨论】 【例5】（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）在矩形中，，，点在上，，是上的一个动点，连接，若将四边形沿折叠，点，分别落在点，处，则当点恰好落在矩形的一边上时，的长为 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．    【变式5-2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在矩形中，，点，点分别在上，，若为矩形上一点，当为直角三角形时，的长为 ． 【变式5-3】（24-25九年级下·江西·阶段练习）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为 ． 【题型6 矩形中的动点】 【例6】如图，矩形中，，，一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，．当 时，四边形是菱形．    【变式6-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿匀速运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当点运动至终点时，整个运动停止．设运动时间为．若动点所在的直线平分矩形的面积，则的值为 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中， ，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为 时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【变式6-3】如图，在矩形中，，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，速度为每分钟x个单位长度．动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，速度为每分钟5个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动，连接，在运动过程中，将四边形沿MN翻折，得到四边形，若在某一时刻，点B的对应点恰好落在的延长线上，且，则 ． 【题型7 矩形中的最值】 【例7】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是 ． 【变式7-2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是 ． 【变式7-3】如图，点为线段上的动点（点不与点、重合），分别以、为斜边构造等腰直角三角形、等腰直角三角形，点与点在的同侧，于点，于点，点为的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①线段的长为定值；②四边形的面积为定值；③线段的长为定值；④周长的最小值为． 【题型8 矩形中的定值】 【例8】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，点为对角线中点，连结，过点作交于点，平分交于点，若已知矩形的周长为定值，则下列线段长为定值的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（    ） A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值 【变式8-2】（2025·浙江舟山·一模）如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②三角形的周长为定值4 ③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边于点，连接，有下列结论：①四边形的面积是定值；②的值不变；③的值不变；④，则下列结论一定成立的序号有 ．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $