5.1 矩形-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

5.1 矩形 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。 二、矩形的性质 1.边：对边平行且相等。 2.角：对角相等、邻角互补，且四个角都是直角。 3.对角线：对角线互相平分且相等。 4.对称性：矩形是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）。 三、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 巩固课内例1:判断矩形中三角形的形状 1．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，，．若，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．图，把长方形纸片沿着线段折叠，重叠部分的形状是 三角形. 3．数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠， 与交于点，得到．如图所示：   【基础回顾】 （1）在图②中，若，；（直接写出答案） 【操作探究】 （2）改变折痕位置，请判断的形状，请说明理由； （3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______； 【拓展延伸】 （4）小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值． 巩固课内例2:求矩形的对角线长 1．矩形的面积为，一边长是，那么矩形的对角线长是（    ） A． B． C． D． 2．矩形的对角线相交于点O， ， ， 则这个矩形的对角线长是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小正方形边长都是1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点，点A，B都是格点．请按下列要求在的网格中完成画图，并回答问题． (1)在图1中，点P是线段中点，请作出点C关于点P的对称点D； (2)以点A，B为顶点的矩形中，存在顶点在函数的图象上： ①请在图2中作出一个符合要求的矩形； ②所有满足要求的矩形对角线长分别为________． 巩固课内例3:中点四边形是矩形 1．顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对 2．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 3．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 类型一、矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则 ． 3．如图，矩形中，的平分线交于点，O为对角线和的交点，且，求的度数． 类型二、矩形的性质求长度 1．如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A． B．5 C．10 D． 2．如图，在矩形中，，，平分，则的长为 ． 3．如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，求的长． 类型三、矩形的性质证边 1．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．如图，在中，，垂足为是的外角的平分线，，垂足为E．求证：四边形是矩形．（不用求证） 如将上面的题干做如下改动，你还能解决吗？ 如图，在中，分别是和的平分线，，连接．求证：． 类型四、矩形的性质证角 1．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是 ． 3．如图，在矩形中，点在上，且，连接．求证：． 类型一、矩形的判定——有一个角是直角的平行四边形 1．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 3．（1）计算： （2）如图，，求证：四边形为矩形． 类型二、矩形的判定——三个角是直角 1．综合实践课上，老师让同学们利用尺规作矩形，其中为矩形的对角线，以下为某同学的作图过程： ①如图1，作的垂直平分线，交于点O； ②如图2，以点O为圆心，的长为半径画圆，在上取点B，连接并延长，交于点D； ③如图3，依次连接，，，，得到四边形，四边形即所求作的矩形． 由作图过程可知，判定四边形为矩形的依据是（    ） A．有三个角为直角的四边形为矩形 B．对角线相等的平行四边形为矩形 C．有一个角为直角的平行四边形为矩形 D．以上都可以 2．对于四边形，给出下列4组条件：①；②；③，；④．其中能得到“四边形是矩形”的条件有 ． 3．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 类型三、矩形的判定——对角线相等的平行四边形 1．如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 2．如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形． 3．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 类型四、母子矩形 1．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么的长等于 ． 3．如图，在矩形中， ，，动点，分别从点，同时出发，沿相向而行，且运动速度均为每秒个单位长度，当点到达点时，两点均停止运动，设运动的时间为． (1)当秒时，__________； (2)若，分别是边，上的点，且，连结，，，． ①当四边形是矩形时，请直接写出的取值范围； ②在①的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 类型一、矩形的折叠问题 1．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，．当点恰好在线段上时，线段的长为 ． 3．如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点的对应点为点，点不得超过对角线，连接． (1)当时，求线段的长度； (2)当时，求线段的长度； (3)在折叠过程中，直接写出线段的最小值． 类型二、平面直角坐标系中的矩形 1．在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 3．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．      (1)点的坐标为_____；点的坐标为_____； (2)求，的值； (3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值． 类型三、矩形的动点求t 1．如图1，四边形中，，，，动点E从点D出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（    ）    A．18 B．17 C．16 D．15 2．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 3．如图，在矩形中，，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，于，连结． (1)当在线段上时 ①若，求的长； ②若，求证：； (2)连结，在点的运动过程中，设运动时间为秒，当为何值时，是以为底的等腰三角形? 1．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，为对角线，交于点．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是 ． 5．如图，在矩形中，，，点是的中点，点在矩形的边上，且，过点作交边于点，则长 ．    6．如图，在矩形中，，，E，F分别是，的中点，平分，与交于点，连接，则 ． 7．如图，，点为内部一条射线上的一点，请用尺规作图法在射线上分别求作点，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 8．如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接．求证：四边形是矩形． 9．如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步  先把矩形对折，折痕为，如图①； 第二步  再把点B叠在折痕线上，折痕为，点B在上的对应点为，得，如图②； 第三步  沿折叠，得折痕，如图③， 利用展开图④探究： (1)是什么三角形？证明你的结论． (2)对于任意一个矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？若能，请说明理由；若不能，请举反例． 10．在综合与实践活动课上，小明以矩形为主题开展研究性学习． 【动手操作】作矩形，使，连接，作点关于的对称点，连接，，，，与交于点． 【观察发现】 （1）如图1，当时，小明发现，的度数是确定的，请直接写出这个度数； （2）如图2，当时，小明又发现，线段与的比是确定的，请求出这个比值； 【实践探究】（3）如图3，设，与的交点分别为，，小明进一步发现，线段与始终保持相等，请予以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 矩形 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。 二、矩形的性质 1.边：对边平行且相等。 2.角：对角相等、邻角互补，且四个角都是直角。 3.对角线：对角线互相平分且相等。 4.对称性：矩形是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）。 三、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 巩固课内例1:判断矩形中三角形的形状 1．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，，．若，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据矩形性质可得AB=CD=2，AD=BC=3，∠B=∠C=90°，根据，BF+FC=3，可求BF=1，FC=2，由点是的中点，可得DE=CE=1,可证△ABF≌△FCE（SAS），得出AF=FE，∠AFE=180°-（∠AFB+∠EFC）=180°-90°=90°即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=2，AD=BC=3，∠B=∠C=90°， ∵，BF+FC=3， ∴3BF=3， ∴BF=1，FC=2， ∵点是的中点， ∴DE=CE=1, 在△ABF和△FCE中， ， ∴△ABF≌△FCE（SAS）， ∴AF=FE，∠AFB=∠FEC， ∵∠EFC+∠FEC=180°-∠C=180°-90°=90°， ∴∠AFB+∠EFC=∠FEC+∠EFC=90°， ∴∠AFE=180°-（∠AFB+∠EFC）=180°-90°=90°， ∴的形状为等腰直角三角形． 故选D． 【点睛】本题考查矩形性质，线段中点，线段倍分，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定，掌握矩形性质，线段中点，线段倍分，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定是解题关键． 2．图，把长方形纸片沿着线段折叠，重叠部分的形状是 三角形. 【答案】等腰 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质即可得到结论. 【详解】∵， ∴， ∵把长方形纸片沿着线段折叠， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰三角形， 故答案为等腰. 【点睛】本题考查了长方形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定、解题的关键是学会利用翻折不变性解决问题. 3．数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠， 与交于点，得到．如图所示：   【基础回顾】 （1）在图②中，若，；（直接写出答案） 【操作探究】 （2）改变折痕位置，请判断的形状，请说明理由； （3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______； 【拓展延伸】 （4）小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）或；（4）． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出的度数，再根据平角求出的度数，最后根据平行线的性质即可求解； （2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出； （3）利用当的面积最小值为时，，则可证明，，从而即可求出； （4）分情况一：将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合；情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：如图，        由折叠性质可知，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴． ∵将纸片沿折叠， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）如图2，当的面积最小值为 时，，      ∴， ∵，， ∴ 同理： 故答案为：或； （4）分两种情况：情况一：如图，将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合，设，则，      由勾股定理得， 解得． ∴， ∴． 情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为，设，则，        同理可得：， ∵， ∴． 综上：的面积最大值为． 【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注意分类思想的运用． 巩固课内例2:求矩形的对角线长 1．矩形的面积为，一边长是，那么矩形的对角线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；由矩形的面积得，由勾股定理得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， 四边形是矩形， ， ， 故选：C． 2．矩形的对角线相交于点O， ， ， 则这个矩形的对角线长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质和等边三角形的判定定理证明是等边三角形，得到，则可得到，再由含30度角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的对角线的长是， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小正方形边长都是1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点，点A，B都是格点．请按下列要求在的网格中完成画图，并回答问题． (1)在图1中，点P是线段中点，请作出点C关于点P的对称点D； (2)以点A，B为顶点的矩形中，存在顶点在函数的图象上： ①请在图2中作出一个符合要求的矩形； ②所有满足要求的矩形对角线长分别为________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5或 【分析】题目主要考查利用网格作图及矩形的性质，网格与勾股定理，理解题意，利用网格作图是解题关键． （1）根据矩形的性质及网格即可作图； （2）①先作出直线，然后利用矩形的性质即可作图；②根据①中图及网格，求出矩形的对角线长即可． 【详解】（1）解：如图所示：点D即为所求； （2）①如图所示：矩形或矩形即为所求； ②由①得矩形对角线的长度为，矩形对角线的长度， ∴满足要求的矩形对角线长分别为5或， 故答案为：5或． 巩固课内例3:中点四边形是矩形 1．顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是（   ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．利用中位线定理证明，则四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论． 【详解】解：在菱形中，分别是的中点， 连接、， 在中， ∵， 同理 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选A． 2．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题． 由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】证明：∵分别为的中点， ∴且． ∵分别为的中点， ∴且． ∴且． 同理，得且． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴ 即四边形的面积为． 故答案为： 3．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ， ， 四边形的周长为：． 类型一、矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，是对角线，点E在的延长线上，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，交于点，由矩形的性质得，从而得到，由等腰三角形性质得，再由三角形内角和定理求得，即可推出，再根据等边对角即可解答． 【详解】解：连接，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，矩形中，的平分线交于点，O为对角线和的交点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由矩形的性质得到，，，则由角平分线的定义可推出，则，证明是等边三角形，得到，，则可推出，，据此可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ． 类型二、矩形的性质求长度 1．如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，平分，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质，，，再根据平行线的性质与角平分线定义得出，从而得出，继而得出，再利用勾股定理求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5 3．如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键是． （）由平行四边形的性质得出，，再由得出，从而证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定方法即可求证； （）由（）得：四边形是矩形，则，，再由平行线的性质及等腰三角形的判定得出，然后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（）得：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、矩形的性质证边 1．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即可． 【详解】解：①，故①正确； ②若， ∵，，， ∴， 又∵是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴，与已知矛盾，故②错误； ③∵， ∴是矩形，故③正确； ④∵，， ∴， 在矩形中，，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，设、分别交于点J、K， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴平分四边形的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 3．如图，在中，，垂足为是的外角的平分线，，垂足为E．求证：四边形是矩形．（不用求证） 如将上面的题干做如下改动，你还能解决吗？ 如图，在中，分别是和的平分线，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质，先根据角平分线的定义和等腰三角形三线合一的性质分别得出，，，再结合已知条件判定四边形为矩形． 【详解】证明：∵，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴ 即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 如将上面的题干做如下改动，可证， ∵分别是和的平分线， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 类型四、矩形的性质证角 1．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明为等腰直角三角形，得到，根据，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出，判断②；证明判断③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由“”可证，由“”可证，由全等三角形的性质和矩形的性质依次判断可求解． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故①正确， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ，， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 点是的中点，故③正确； ，， ， ，所以④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 3．如图，在矩形中，点在上，且，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，． 在和中， ∵， ∴． ∴． 类型一、矩形的判定——有一个角是直角的平行四边形 1．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键； 对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以及平行四边形的性质判断即可． 【详解】①当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故①正确； ②当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故②错误； ③当时， ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； ④当时， ． ∵，四边形为平行四边形， ∴，四边形是矩形， 故④正确． 综上可得平行四边形是矩形的条件的序号是①③④． 故选：D 2．如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【答案】 90 矩 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， 故答案为：90，矩． 3．（1）计算： （2）如图，，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，平行四边形的判定与性质及矩形的判定，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的加减运算法则，平行四边形的判定与性质及矩形的判定． （1）先化为最简二次根式，再相加即可； （2）由平行四边形的判定与性质及矩形的判定证明即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）证明：， ． ∴． 又， ∴四边形为平行四边形． ， ∴四边形为矩形． 类型二、矩形的判定——三个角是直角 1．综合实践课上，老师让同学们利用尺规作矩形，其中为矩形的对角线，以下为某同学的作图过程： ①如图1，作的垂直平分线，交于点O； ②如图2，以点O为圆心，的长为半径画圆，在上取点B，连接并延长，交于点D； ③如图3，依次连接，，，，得到四边形，四边形即所求作的矩形． 由作图过程可知，判定四边形为矩形的依据是（    ） A．有三个角为直角的四边形为矩形 B．对角线相等的平行四边形为矩形 C．有一个角为直角的平行四边形为矩形 D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，由作图过程可知，，可得四边形为平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形或有一个是直角的平行四边形或三个角都是直角的四边形都是矩形即可判定． 【详解】由作图过程可知，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，选项B正确； ∵是直径， ∴， ∴四边形为矩形，选项C正确； ∵和都是直径， ∴，， ∴四边形为矩形，选项A正确； 综上，选项ABC都正确； 故选：D． 2．对于四边形，给出下列4组条件：①；②；③，；④．其中能得到“四边形是矩形”的条件有 ． 【答案】①④/④① 【分析】考查了矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案． 【详解】能得到四个角都是直角，则四边形是矩形，故①正确 由不可以得到矩形，故②错误； ，，邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误； ，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确； 故答案为：①④． 3．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分，，， ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 类型三、矩形的判定——对角线相等的平行四边形 1．如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． 2．如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形． 【答案】答案不唯一， 【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 3．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，继而得到，即可得到结论； （2）先证明是等边三角形，得到，根据勾股定理得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， 是矩形． （2）解：，， 是等边三角形， ， ， 是矩形， ， 在中 ，， ． 类型四、母子矩形 1．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 2．在矩形中，，，、分别是边、的中点，点、在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么的长等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．连接，，，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵、分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在矩形中， ，，动点，分别从点，同时出发，沿相向而行，且运动速度均为每秒个单位长度，当点到达点时，两点均停止运动，设运动的时间为． (1)当秒时，__________； (2)若，分别是边，上的点，且，连结，，，． ①当四边形是矩形时，请直接写出的取值范围； ②在①的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)①或；②秒或秒 【分析】（1）先矩形的性质及勾股定理求出，再根据题意可得，，当秒时，得，可得答案； （2）①如图，连接交于点，连接，证明得，，继而得到，则，根据矩形的性质得，根据垂线段最短，当时，的长度最小，然后分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求解即可； ②分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵动点，分别从点，同时出发，沿相向而行，且运动速度均为每秒个单位长度，当点到达点时，两点均停止运动，运动的时间为， ∴，， 当秒时，， ∴， 故答案为：； （2）①如图，连接交于点，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，的长度最小， 此时点为的中点， ∵，即点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 当点在线段上时， ，即， ∴； 当点在线段上时， ，且， 即， ∴； 综上所述，当四边形是矩形时， 的取值范围为或； ②当时，过点作于点， 由①知：，点为的中点，， ∴，，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∴点线段上， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； 当时，过点作于点， ∴， 由①知：，点为和的中点， ∴，，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形，，， ∴，点线段中点的右侧， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； 综上所述，在①的条件下，若是以为腰的等腰三角形，的值为秒或秒． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等知识点．正确理解题意，掌握利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 类型一、矩形的折叠问题 1．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定，掌握折叠的不变性，运用勾股定理建立方程求解是解题的关键． 根据矩形的性质以及折叠的性质得到，设，则，然后在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， 解得：， ∴， 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，．当点恰好在线段上时，线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，根据勾股定理求得，设，则，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，即， 解得； ∴． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点的对应点为点，点不得超过对角线，连接． (1)当时，求线段的长度； (2)当时，求线段的长度； (3)在折叠过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)cm (2) (3) 【分析】（1）连接，，由矩形的性质和折叠的性质易得，则，，由此可得四边形是平行四边形，则可得，，根据勾股定理求出的长，进而可得的长． （2）由折叠的性质可得，．再根据证明，则可得，进而可得，又由，可得，则可得，，根据勾股定理求出的长，即可求出的长． （3）由于折叠过程中长始终等于的长，由 可得，当和落在上时, 有最小值为1. 【详解】（1）解：如图，当于点时，连接，， 在矩形中，，， ． ， ，，， ． ． 又， 四边形是平行四边形 ，， ， ． （2）解：如图，当时，延长交于点，延长交于点， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：在折叠过程中， 中， , 即, ， , 当和落在上时, . 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型二、平面直角坐标系中的矩形 1．在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴点的横坐标与点相同，为， 点的纵坐标与点相同，为， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 2．如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 点的坐标为， 的坐标为， 又直线将四边形的面积分成相等的两部分， 直线过点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故答案为：． 3．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．      (1)点的坐标为_____；点的坐标为_____； (2)求，的值； (3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，矩形的性质，坐标与图形，函数解析式的确定等，理解题意，根据题意作出相应图象求解是解题关键． （1）根据的坐标即可求得的坐标，根据函数图象可知：当时，直线经过点，将平移个单位后得到，令，即可得出的坐标，进而求得的坐标，即可求解． （2）先求得的坐标为，则，即可得出，当直线经过点时，直线交轴于点，进而求得平移后的直线的解析式为，得出点的坐标为，即可得出 （3）过点作，过点作．得直线的解析式为，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点坐标为，四边形是矩形，边在轴上， ∴，则， 由函数图象可知：当时，直线经过点， 沿轴的负方向平移个单位后与矩形相交于点， ∵沿x轴的负方向平移个单位后直线的解析式是：， ∴当时，， ∴点的坐标为． ∵， ∴； 故答案为：，． （2）解：令得：， 解得：， ∴点的坐标为． ∵点的坐标为． ∴， ∴当直线经过点时，； 如图所示，当直线经过点时，直线交轴于点． ∵点的坐标为，点的坐标为． 设平移后的的解析式为， 将代入得：，解得． ∴平移后的直线的解析式为． 当时，得，解得． ∴点的坐标为． ∴； （3）∵矩形的面积； ∴当直线扫过矩形部分的面积为时，， 如图，过点作． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， ∴， ∴直线的解析式为． 将代入得：，解得， ∴点的坐标为． ∴， ∴； 即， 解得：． 类型三、矩形的动点求t 1．如图1，四边形中，，，，动点E从点D出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（    ）    A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】A 【分析】由图1和图2可得当时，点到达点处，即，过点作于点，由矩形的性质可得，由等腰三角形三线合一，求得，当时，点到达点B处，根据三角形面积公式求得，再根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：当时，点到达点处，即，    如图，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， ， 当时，点到达点处， ， ， 四边形的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点图象问题，矩形的性质，等腰三角形三线合一，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解题的关键． 2．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 【答案】7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及含30度的直角三角形等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．过点作于，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由题意可知，，，利用直角梯形的性质证明四边形是矩形，再列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ，运动的速度都为每秒，，， ，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：7． 3．如图，在矩形中，，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，于，连结． (1)当在线段上时 ①若，求的长； ②若，求证：； (2)连结，在点的运动过程中，设运动时间为秒，当为何值时，是以为底的等腰三角形? 【答案】(1)①；②见解析 (2)当或时，是以为底的等腰三角形． 【分析】（1）①在矩形中，，，，由勾股定理求得的长，即可求得的长； ②证明，可得，从而可得，即可得到； （2）分两种情况点在线段上、点在延长线上两种情况分别讨论即可得 【详解】（1）①解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴； ②证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，，如图所示， ∵， ∴， 在矩形中， ∴， ∴， 综上所述，可知或； ∴当或时，是以为底的等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活用相关知识是解题的关键. 1．如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等求解． 【详解】解： 直线， ． 故选：A． 2．如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、∵， ， 平行四边形为矩形，不符合题意； B、∵， 平行四边形是矩形，不符合题意； C．∵在中， ∴ ∵， ∴ 平行四边形是矩形，不符合题意； D、∵在中， ∴四边形是菱形，不能证明是矩形，符合题意． 故选：D． 3．如图，在矩形中，为对角线，交于点．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造矩形成为解题的关键． 如图：过F作于F，过E作于E，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，由勾股定理以及线段的和差可得、，然后代入计算即可． 【详解】解：如图：过F作于F，过E作于E，则四边形是矩形， ∴， 设，则 ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选D． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，由矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 5．如图，在矩形中，，，点是的中点，点在矩形的边上，且，过点作交边于点，则长 ．    【答案】或/或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据题意、分类讨论是解题关键． 根据题意可得点在边或边上，①当点在边上时，利用矩形的性质得、、、，通过“一线三直角”模型的思路可证得，求得，利用勾股定理即可求解的长；②当点在边上时，同理可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：，，点是的中点， ， ，点在矩形的边上， 点不在上， 四边形是矩形， 到的距离最小值为， 点不在上， 点在边或边上． ①如图，当点在边上时，   四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，； ②如图，当点在边上时，   四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，． 综上所述，长为或． 故答案为：或． 6．如图，在矩形中，，，E，F分别是，的中点，平分，与交于点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．利用勾股定理求得，证明是的中位线，得到，，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，，点为内部一条射线上的一点，请用尺规作图法在射线上分别求作点，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查尺规作垂线，掌握尺规作垂线的方法是关键． 过点作线段，交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， ∴，则，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，即为所求作图形． 8．如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，可证明四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论． 【详解】证明：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 9．如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步  先把矩形对折，折痕为，如图①； 第二步  再把点B叠在折痕线上，折痕为，点B在上的对应点为，得，如图②； 第三步  沿折叠，得折痕，如图③， 利用展开图④探究： (1)是什么三角形？证明你的结论． (2)对于任意一个矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？若能，请说明理由；若不能，请举反例． 【答案】(1)是等边三角形，证明见详解 (2)当时，按此法一定能折出等边三角形； 当时，按此法无法折出完整的等边三角形． 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，等边三角形的判定以及性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，再根据矩形的性质可得出，从而由平行线的性质可证，即说明是等边三角形． （2）根据矩形的长为a，宽为b，可知当时，按此法一定能折出等边三角形； 当时，按此法无法折出完整的等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，证明如下： 由折叠可知． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：不一定．由（1）知，当矩形的长恰好等于等边的边时， 即矩形的宽∶长等于时正好能折出． 如果设矩形的长为a，宽为b， 可知当时，按此法一定能折出等边三角形； 当时，按此法无法折出完整的等边三角形． 10．在综合与实践活动课上，小明以矩形为主题开展研究性学习． 【动手操作】作矩形，使，连接，作点关于的对称点，连接，，，，与交于点． 【观察发现】 （1）如图1，当时，小明发现，的度数是确定的，请直接写出这个度数； （2）如图2，当时，小明又发现，线段与的比是确定的，请求出这个比值； 【实践探究】（3）如图3，设，与的交点分别为，，小明进一步发现，线段与始终保持相等，请予以证明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考考矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，解题的关键是利用相关性质找到角度关系，线段关系，通过推理计算得出结果． （1），利用矩形和轴对称性质得到线段相等和角关系，再结合等腰三角形性质得到，从而得到，接着证明，得到是等边三角形，得到，即可求得的度数； （2）延长，交于点，利用柜形，轴对称性质得到，由，可证，得到，，再证，得到，求出与的比值； （3）通过证明得出，通过矩形的性质证明，，从而得到结果． 【详解】（1）四边形是矩形， ， 又点关于的对称点是， 所以， 在和中 ， 是等边三角形， ； （2）延长，交于点， 点与点关于对称， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ； （3）作，垂足为． 由轴对称性质可得，，． ，， ， ． 四边形是矩形． ， ， ． ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$