精品解析：四川省绵阳外国语学校2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试题

绵阳外国语学校2024～2025学年下期半期质量检测 高二年级数学试卷 命题人：李俊 审题人：王庆明 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一.单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列中，，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 的展开式的二项式系数和为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 5. 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） A. 或 B. 函数有且仅有一个零点 C. 函数恰有两个极值点 D. 函数在有最小值，无最大值 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有80种 C. 若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种 D. 若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有60种 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 1225既是三角形数，又是正方形数； C. ； D. 总存在，使得成立； 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：1．用钢笔或圆珠笔答在答题卷中，2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 三．填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案直接填在答卷中相应的横线上． 12. 二项式的展开式中含的系数为______（用数字作答）. 13. 首项为的等差数列，当且仅当时取最小值，则公差的取值范围是______ 14. 函数有两个不同零点，则实数的取值范围是_______ 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，. （1）若是正项等比数列，且，求； （2）若，求. 16. 函数 （1）若在处取得极小值，求实数的取值范围， （2）若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 17. 已知数列的前项和为，，且. （1）求； （2）求的通项公式； （3）已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数， （1）试讨论在上的单调性 （2）若，求证： 19. 数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的5G+技术领先世界．目前某区域市场中5G+智能终端产品的制造只由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G+商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中恰有转而采用A公司技术，采用A公司技术的恰有转而采用B公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． （1）求与的递推关系式 （2）求数列的通项公式 （3）设，求的前项和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳外国语学校2024～2025学年下期半期质量检测 高二年级数学试卷 命题人：李俊 审题人：王庆明 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一.单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式即可. 【详解】由基本初等函数的导数公式可得，. 故选：D 2. 已知数列中，，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式逐项递推求解即可. 【详解】由题，， 故选：C. 3. 的展开式的二项式系数和为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数和公式直接计算即可求解. 【详解】的展开式的二项式系数和为. 故选：C 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用等差数列的求和公式求出首项,公差,再代入求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为,公差为， 则， 所以， 故选：B. 5. 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，进而得，求导得，最后代入切线方程即可求解. 【详解】由题意有，， 所以，， 所以， 所以切线方程为， 故选：B. 6. 甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法， 最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D 7. 数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可得数列为等比数列，则在根据分式通分运算可得解. 【详解】因为，即， 则数列为等比数列， 又所以 则 . 故选：C 8. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知，利用作差法构造函数，再利用导数研究函数的单调性进行计算求解. 【详解】因为，设，所以， 令，所以，所以， 所以在定义域内单调递增，又， 所以当时，，所以在单调递增， 又，所以，，即，故C错误； 设，，则， 所以在上单调递减，又，所以当时，， 所以，即，所以，故D错误； 设，令， 则， 当，，则单调递增，又，所以当，， 所以，即，故B错误，，A正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） A. 或 B. 函数有且仅有一个零点 C. 函数恰有两个极值点 D. 函数在有最小值，无最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出；代入即可得出函数的单调性、极值；根据极值以及特殊点处的函数值，结合函数的单调性以及零点存在定理，即可得出函数的零点情况；根据函数的单调性，求解即可得出函数在上的最值情况. 【详解】对于A项，由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 故.A项错误； 对于B项，由A知，， 且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减. 又，， 根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上没有零点，在上没有零点. 又， 根据函数的单调性以及零点存在定理可知，在上有一个零点，在上没有零点. 综上所述，函数有且仅有一个零点.故B正确； 对于C项，由A可知在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以，在处取得极大值，在处取得极小值. 故C正确； 对于D项，由A知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，在处取得最大值，在处取得最小值，故D错误. 故选：BC. 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有80种 C. 若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种 D. 若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有60种 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解选项A和选项B，利用排除法求解选项C，利用排列组合和分布相乘计数原理的知识求解选项D. 【详解】选项A：每名同学有5个社区可选，总共有 种方法.而选项A中写的是 ，显然错误. 选项B：同学A有4种选择（不去甲），同学B有4种选择（不去乙）， 同学C有5种选择，总数为 ，正确. 选项C：总情况数 ，减去都不去甲的情况数 . 结果为 ，故选项C正确. 选项D：满足要求的安排方法可以分为三步完成： 第一步：从5个社区中选两个不同的社区（该步的完成方法数为）， 第二步：从3名同学中选2人分配到第一个社区（该步的完成方法数为 ）， 第三步：安排所选的第三名同学，此步的完成方法数为. 总数为，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 1225既是三角形数，又是正方形数； C. ； D. 总存在，使得成立； 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列和的递推公式，由累加法得通项公式，放缩法验证选项A；用通项公式验证选项B；直接求和验证选项C；取实例验证选项D. 【详解】由题意有数列中，， 所以，当时，得也满足，故， 数列中，， 所以满足上式，所以， 对于A：， 所以，故A正确； 对于B：因为， 所以，又，故B正确； 对于C：由 ，故C错误； 对于D：取，所以， 所以总存在，使得成立，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：1．用钢笔或圆珠笔答在答题卷中，2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 三．填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案直接填在答卷中相应的横线上． 12. 二项式的展开式中含的系数为______（用数字作答）. 【答案】240 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式求出即可. 【详解】的第项为， 令，得. 故答案为：240. 13. 首项为的等差数列，当且仅当时取最小值，则公差的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论，，，将问题转化为，，，即可利用等差数列的通项公式求解. 【详解】设等差数列为， 若公差，则等差数列为递减数列， 由可知，恒成立，则无最小值，不符合题意； 若公差，则等差数列每项均为，则无最小值，不符合题意； 若公差，则等差数列为递增数列， 又当且仅当时取最小值，则，， 解得， 则公差的取值范围是. 故答案为： 14. 函数有两个不同零点，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，通过将原函数变形转化成两个函数图像有两个不同交点的问题，然后求导判断单调性，最后求出的取值范围. 【详解】原函数，. 因为函数有两个不同的零点，化简得：. 所以该条件演变成直线与有两个不同的交点. 对函数求导得：. 令导数为0，则或. 当时，，所以在上单调递增； 当且时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 而. 当时，；当时，； 当时，； 为了保证直线与有两个不同的交点. 则的取值范围为. 故答案为：为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，. （1）若是正项等比数列，且，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2）465 【解析】 【分析】（1）利用等比数列前项和公式即可计算出，进而得； （2）由得是以为首项，公差为2的等差数列，是以为首项，公差为2的等差数列，利用等差数列前项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为是等比数列，设首项为，公比为， 由，知，， 所以①；② 得，又所以， 代入①得，所以 【小问2详解】 因为，所以为常数 所以是以为首项，公差为2的等差数列， 是以为首项，公差为2的等差数列， 故 16. 函数 （1）若在处取得极小值，求实数的取值范围， （2）若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，从而得极值，即可得解； （2）分和，由单调性得最值，从而求解. 【小问1详解】 因为， 令得或， 当时， 所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意； 当时， 在递减，在递增，则为极小值点，符合题意； 所以的取值范围为. 【小问2详解】 当时， 在递增，在递减， 又，， ，， ，满足，则， 当时， 在递减，在递增， ，， ，满足，则， 综上：. 17. 已知数列的前项和为，，且. （1）求； （2）求的通项公式； （3）已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法1，根据给定条件，利用累乘法求出；法2，根据给定的递推公式，利用构造法求出； （2）由（1）的结论，利用前项和与第项的关系求出； （3）由（2）求出，再变形给定不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值，结合数列特性求解. 【小问1详解】 法1：由，得，而，当时， ， 而满足上式，所以. 法2：由，得，则， 因此数列是常数列，则，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 则，而满足上式， 所以的通项公式. 【小问3详解】 由（2）得，依题意，对任意的都成立， 设函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，因此当时，，则， 所以的取值范围是. 18. 已知函数， （1）试讨论在上的单调性 （2）若，求证： 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在单调递增；在单调递减； （2）证明：当时，， 要证，即证， 又，且即证， 设， ， 再设， ，且， ，使，即使， 当，，当，，且， 则，即， ， ，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合，进行分类讨论，由此得出结论； （2）利用放缩法，根据得，设，求导后，设，根据的单调性，得，使得有最小值，计算即可证明. 【小问1详解】 ，因为， 所以：当时，，则在上单调递增； 当时，由得 若，即，当时，，则， 所以在上单调递减； 若，即，当，，单调递增； ，，单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在单调递增；在单调递减； 【小问2详解】 略. 19. 数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的5G+技术领先世界．目前某区域市场中5G+智能终端产品的制造只由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G+商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中恰有转而采用A公司技术，采用A公司技术的恰有转而采用B公司技术，设第次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． （1）求与的递推关系式 （2）求数列的通项公式 （3）设，求的前项和 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意有，则，消去即可求解； （2）由，利用构造法，构造是等比数列即可求解； （3）由（2）得数列的通项公式，进而得，利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知经过次技术更新后， 则 即， 【小问2详解】 由题意，可设 所以， 又，所以 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 【小问3详解】 又，则， 所以： 两式相减得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $