第12章 培优专题 二次根式比大小的5种方法(5大题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

培优专题 二次根式比大小的5种方法 5种方法 方法一、平方法比大小 1．比较大小： （填“或或”）． 2．比较大小： （填“”，“”或“”）． 3．比较大小： （填“>”“<”或“=”号）． 方法二、作商法比较大小 4．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 5．比较与的大小. 方法三、分母有理化比较大小 6．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 7．比较大小： ．（填“”“”或“”） 8．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 9．像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 方法四、作差法比较大小 10．小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 11．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 12．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 方法五、取倒数法比较大小 13．已知x＝，y＝，试比较x，y的大小． 14．阅读下面的解题过程 已知，求代数式的值. 解：由，取倒数得，，即， 所以 则可得. 该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： 已知，求的值. 试卷第1页，共3页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 二次根式比大小的5种方法 5种方法 方法一、平方法比大小 1．比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 故答案为：． 2．比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式分别平方，谁平方的结果大，则谁大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．比较大小： （填“>”“<”或“=”号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出和的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 方法二、作商法比较大小 4．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）由，得到，即可得到答案； （2）先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）， 证明： ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 5．比较与的大小. 【答案】 【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查实数大小比较，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则，准确进行计算． 方法三、分母有理化比较大小 6．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 7．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，先将变形为，再根据同分母的分式比较大小，分子越大分式越大，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 8．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． 9．像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①   ② (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， 同理：， ， ， ． 方法四、作差法比较大小 10．小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)不等式的基本性质1 (2) (3)当，即时，；当，即时，；当，即时， 【分析】本题主要考查不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算，熟练掌握不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算是解题的关键； （1）根据不等式的性质可进行求解； （2）由题意可得，然后进行作差，进而问题可求解； （3）作差可得，然后对a的值进行分类讨论即可求解 【详解】（1）解：由得到的理论是不等式的基本性质1． （不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）； 故答案为不等式的基本性质1． （2）解：， ， ． （3）解：， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 11．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)的整数部分为，小数部分为； (2)，理由见解析 【分析】（1）先估算的大小，根据题意利用作差法，即可求解； （2）根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：，理由如下， ∵， ∴． 【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键． 方法五、取倒数法比较大小 13．已知x＝，y＝，试比较x，y的大小． 【答案】x＜y. 【分析】先求出x、y的倒数，再来比较、的大小，根据0，得出xy. 【详解】解：＝＝0， ＝＝0， ∵＞0， ∴0，∴ xy. 【点睛】此题主要考查无理数的大小比较. 14．阅读下面的解题过程 已知，求代数式的值. 解：由，取倒数得，，即， 所以 则可得. 该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： 已知，求的值. 【答案】 【分析】先把括号内通分,再把除法运算化为乘法运算,接着把分子分母因式分解后约分得到原式=,利用倒数法由已知条件得到，然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算. 【详解】原式=， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴原式=. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于理解题意掌握运算法则. 试卷第1页，共3页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$