专题12.13 二次根式创新探究35题（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.13 二次根式创新探究35题（精选精编） 一、单选题 1．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）化简（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（   ） A．商的算术平方根性质 B．分数的基本性质 C． D． 3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 4．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图象．在画完函数的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图象经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图象一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数的图象（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标满足， ，，，若，直线轴，则点B的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若〇表示运算符号“”“”“”“”中的一种，且的结果是有理数，则〇可以表示的运算符号是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）口中的数是2的为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上均不正确 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）因班级文化建设需要，小方需要在一张的矩形卡纸中裁剪出若干张半径为，圆心角是的扇形纸片，若采取如图所示进行裁剪，则最多可以裁剪出扇形纸片（    ）    A．20张 B．21张 C．40张 D．41张 12．（23-24八年级上·重庆·期中）若（为正整数），则下列说法正确的个数是（    ） ①，，；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 13．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）不等式的解集是 ． 14．（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 15．（2025·湖南·模拟预测）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为 ，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为 ．（精确到0.01） 16．（2025·安徽芜湖·二模）如图，4个全等的矩形按如图方式排列，四个点在同一条直线上． （1）的度数为 ； （2）若，则的值为 ． 17．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．王明通过一系列的操作将图1所示的纸片载剪，拼成了钻石型五边形．具体操作如下：首先如图3，王明沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4进行拼接．根据王明的剪拼过程，则图3中，的长为 ． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 19．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为 ．    20．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）若点为线段中点，，且，，，，则 ． 21．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）①点关于x轴对称的点的坐标为 ； ②若代数式有意义，则x的取值范围是 ． ③已知是一个完全平方式，那么m的值为 ． 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    23．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图．如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索道的倾斜角为，长度米，其两端由、两座等高的支架架设，这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比是，若点J，L，D恰好在同一直线上，米，则 米． 24．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，、两点间的距离公式为，例如点、两点间的距离为．如图，平面直角坐标系中有一半圆图象在x轴上方，其圆心为原点O，半径为2．若点在该半圆上，则P与圆心O的距离为． ①写出y关于x的函数解析式： ； ②写出该半圆和函数的图象的交点坐标： ． 25．（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号） ①； ②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为； ③所有整数组成的数组； ④若，则，属于同一个数组． 26．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）我们知道（其中）．利用这个性质可以求方程的解．两边平方得，从而求出方程的解为．请尝试利用这个性质探究方程的解．你求出这个方程的解是 ． 27．（23-24八年级上·重庆南岸·期末）在进行实数的化简时，我们可以用“” ．如．利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 三、解答题 28．（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： （1）如果，则 ；如果，则 ； （2）①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 29．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． （1）当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． （2）由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并回答问题． 已知，求a、b的值． 分析：因为若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零，所以当一个等式里含有几个未知数时，可将该等式化为几个非负数的和的形式．例如，将方程化为，从而求得．再如，将方程化为，将方程左边配成两个完全平方式的和，从而求得． 试用类似的方法解决下面的问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求a、b、c的值． 31．（2025·广东·一模）在反比例函数中存在四个点，点与点关于原点中心对称． （1）填空： ；点的坐标是 ； （2）连接，求证：四边形是平行四边形； （3）连接，记与交点为点，求点坐标． 32．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知点P为线段上的一点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，过点A作交射线于点H，交射线于点Q，连接． （1）点Q在线段的延长线上时，求证：； （2）连接，在点P从点A向终点B运动的过程中， ①的度数是________； ②当时，直接写出线段长度的最小值． 33．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 34．（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）当时，化简：______； （2）若，求的值； （3）已知实数a，b满足，求的最大值． 35．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以为边构造三角形，利用三角形中 ▲ 进行比较． 问题思考：以为边构造的三角形为 ▇ 三角形． 任务： （1）研究报告中“▲”处空缺的内容：_______________________________； “▇”处空缺的内容：____________________________； （2）请补全材料中“……”处的解答过程； （3）直接写出与之间的大小关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.13 二次根式创新探究35题（精选精编） 一、单选题 1．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）化简（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘除法的逆用，掌握运算法则是解题关键． 将原式变形为，然后根据积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘除法运算法则进行计算． 解： ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（   ） A．商的算术平方根性质 B．分数的基本性质 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，还涉及算术平方根和分数的基本性质．从解答过程中分析，找出对应的知识点即可． 解：A、，这里用到商的算术平方根性质，故不符合题意； B、，这里用到分数的基本性质，故不符合题意； C、没有用到，故符合题意； D、，这里用到，故不符合题意， 故选：C． 3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 解：， ， ，即，解得， 故选：C． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而可得答案． 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图象．在画完函数的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图象经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图象一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数的图象（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的图形，根据的非负性，得到，进行判断即可． 解：∵为二次根式， ∴，， ∴函数图象中自变量的取值范围为：函数值的范围为， 观察图象可知，只有选项C符合题意； 故选：C． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标满足， ，，，若，直线轴，则点B的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，坐标与图形，先根据求出，，得出，根据，得出轴，说明点B在上，得出点B的横坐标为1，根据，，得出轴，求出，得出，求出结果即可． 解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴点B在上， ∴点B的横坐标为1， ∵，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点B的坐标为：或． 故选：D． 7．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若〇表示运算符号“”“”“”“”中的一种，且的结果是有理数，则〇可以表示的运算符号是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的运算法则，逐个进行计算是解题关键． 解：，， ，， ∴〇可以表示的运算符号是或， 故选B． 8．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）口中的数是2的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，二次根式的混合运算．根据分式的混合运算可判断A、B选项；利用二次根式的混合运算可判断C、D选项． 解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 9．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键． 根据题意，将展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答案． 解：根据题意得： ， ． 故选：． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】B 【分析】首先求出，所在直线的解析式为，然后将代入得到，然后代入变形为，利用换元法和完全平方公式得到，然后利用平方的非负性求解即可． 解：设，所在直线的解析式为 ∴，解得 ∴ ∴将代入得 整理得，即 ∴ 设 ∴原式 ∵ ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为． ∴的最小值为． 故选：B． 【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，分式的混合运算，二次根式的化简，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）因班级文化建设需要，小方需要在一张的矩形卡纸中裁剪出若干张半径为，圆心角是的扇形纸片，若采取如图所示进行裁剪，则最多可以裁剪出扇形纸片（    ）    A．20张 B．21张 C．40张 D．41张 【答案】C 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，二次根式除法，在中，，则，再由即可得到答案． 解：如图所示，在中，， ∴， ∵， ∴最多可以裁剪出扇形纸张， 故选：C．    12．（23-24八年级上·重庆·期中）若（为正整数），则下列说法正确的个数是（    ） ①，，；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和规律型的题目，分别计算当为1，2，3，4时的值，可得规律，即可得出答案，找出数字的规律是解题的关键． 解：为正整数）， ， ， ，故①正确； ，故②正确； ， ， ， ， 所以可知， ，故③正确． 故选：D． 二、填空题 13．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，分母有理化，熟练掌握解题步骤和运算法则是解题的关键． 根据解一元一次不等式的方法和步骤即可求解． 解： ， 故答案为：． 14．（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可． 解：点M在数轴上的位置在2与3之间， ， ， 与的积为有理数，且， ， 故答案为：8 15．（2025·湖南·模拟预测）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为 ，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为 ．（精确到0.01） 【答案】 5.1 35.10 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理及二次根式的性质，解题的关键是理解“不加借算”的意义；因此此题可根据“不加借算”的意义进行求解即可． 解：由题意得： ； 如图，是等边三角形，过点A作于点D， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为5.1；35.10． 16．（2025·安徽芜湖·二模）如图，4个全等的矩形按如图方式排列，四个点在同一条直线上． （1）的度数为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质； （1）利用矩形对边平行以及三角形的外角求解即可； （2）过作交延长线于，证明，则，设矩形的宽为，则，再在两个直角三角形和中求出，，最后根据计算即可． 解：（1）如图所示，延长、所在的矩形边长交于、，    ∵4个全等的矩形， ∴，，，， 由图可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）过作交延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， 设矩形的宽为，则， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 解得，（负值已舍去）， ． 故答案为：． 17．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．王明通过一系列的操作将图1所示的纸片载剪，拼成了钻石型五边形．具体操作如下：首先如图3，王明沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4进行拼接．根据王明的剪拼过程，则图3中，的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． 如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； 解：如图，过点D作交延长线于， 过中点作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了两点间的距离，勾股定理，二次根式的加减，首先根据勾股定理求出，，然后利用二次根式的加减求解即可． 解：根据题意得，， ∴． 故答案为：． 20．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）若点为线段中点，，且，，，，则 ． 【答案】3 【分析】先画出图形，过作．延长交于．由，得，证明，得，，由面积，得，，，，，，最后再计算即可． 解：如图，过作．延长交于． ， ， 为线段中点， ， 在和中， ， ， ， 面积， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点拨】本题考查了平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，二次根式的运算，熟练掌握相关的判定和性质，利用中线倍长是解题关键． 21．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）①点关于x轴对称的点的坐标为 ； ②若代数式有意义，则x的取值范围是 ． ③已知是一个完全平方式，那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标对称的特征、分式和根式有意义的条件、完全平方公式的特征； ①由平面直角坐标系中关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案； ②根据分式的分母不为0；和二次根式的被开方数不小于0即可解答； ③利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”可知为二倍底数乘积，进而可得到答案． 解：①点关于x轴对称的点的坐标为； ②若代数式有意义， ∴且， ∴； ③， ， ． 故答案为：①；②；③． 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算； 如图，首先证明右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形，然后求出是边长为的等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 解：如图，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 同理可得：右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形， 而是边长为的等腰直角三角形， ∴阴影部分长方形纸条的总面积为： ， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图．如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索道的倾斜角为，长度米，其两端由、两座等高的支架架设，这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比是，若点J，L，D恰好在同一直线上，米，则 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用，30度的直角三角形的性质，平行线的性质，过点作交于点，交于点，作于点，构造两个的直角三角形，根据直角三角形的性质求解即可． 解：过点作交于点，交于点，作于点，如图所示， ∵索道的倾斜角为， ∴ ∵米， ∴（米） 在中，（米）， ∴（米）， ∵这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢 ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米），即米， ∵车厢的宽高之比是， ∴（米） 故答案为： 24．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，、两点间的距离公式为，例如点、两点间的距离为．如图，平面直角坐标系中有一半圆图象在x轴上方，其圆心为原点O，半径为2．若点在该半圆上，则P与圆心O的距离为． ①写出y关于x的函数解析式： ； ②写出该半圆和函数的图象的交点坐标： ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的性质．①由，整理得到；②解方程，即可求解． 解：①∵， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； 故答案为：； ②根据题意得， 解得， ， ∴该半圆和函数的图象的交点坐标为， 故答案为：． 25．（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号） ①； ②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为； ③所有整数组成的数组； ④若，则，属于同一个数组． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查新定义问题，考查了学生的理解能力和推理能力，理解定义式解题的关键． ①根据数组的定义可判断； ②根据定义可知，点A在上，由两点距离公式可求出距离的最小值； ③由整数除以4的余数可能为0，1，2，3可判断； ④可根据定义分别设a，b的数组为，进行判断． 解：①根据数组定义，因此，所以①错误； ②a是4的倍数，不妨设（n是整数） 当 时，最小，所以②正确； ③a除以4的余数可能是0，1，2，3； 所以③错误； ④不妨设（m为整数） （n为整数） 由可知， a和b属于同一数组， 所以④正确； 故答案为：②④． 26．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）我们知道（其中）．利用这个性质可以求方程的解．两边平方得，从而求出方程的解为．请尝试利用这个性质探究方程的解．你求出这个方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质． 先将一个二次根式移到等号右边，两边同时平方去根号，移项，再平方，直至根号完全去掉，最后解整式方程，注意要检验． 解： 解得：或 经检验：或都是原方程的解， ∴原方程的解为：，． 故答案为：，． 27．（23-24八年级上·重庆南岸·期末）在进行实数的化简时，我们可以用“” ．如．利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 解：（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：8． 三、解答题 28．（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： （1）如果，则 ；如果，则 ； （2）①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可； ②根据倒数的定义列式求解即可． 解：（1）∵a、b互为倒数，， ∴． ∵a、b互为倒数，， ∴． 故答案为：； （2）①∵a、b互为倒数，， ； ②∵a、b互为倒数，， ∴，即． 29．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． （1）当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． （2）由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 【答案】（1）；；；（2）当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （）把的值代入求解即可； （）当时，当时，当时三种情况分析即可求解． 解：（1）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故答案为：；；； （2）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； ． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并回答问题． 已知，求a、b的值． 分析：因为若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零，所以当一个等式里含有几个未知数时，可将该等式化为几个非负数的和的形式．例如，将方程化为，从而求得．再如，将方程化为，将方程左边配成两个完全平方式的和，从而求得． 试用类似的方法解决下面的问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求a、b、c的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质． （1）根据，得出，代入，求出结果即可； （2）根据，得出，即可得出，，，求出结果即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， 解得：，，． 31．（2025·广东·一模）在反比例函数中存在四个点，点与点关于原点中心对称． （1）填空： ；点的坐标是 ； （2）连接，求证：四边形是平行四边形； （3）连接，记与交点为点，求点坐标． 【答案】（1）；；（2）见分析；（3） 【分析】（1）把把代入，可得，结合点与点关于原点中心对称，可得的坐标； （2）利用勾股定理证明，，从而可得结论； （3）依题可知点为平行四边形两条对角线交点，则点为线段的中点，结合中点坐标公式可得答案； 解：（1）解：把代入， ∴， ∵点与点关于原点中心对称， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 同理可知，， ∴， ∵且         ∴四边形是平行四边形 （3）解：依题可知点为平行四边形两条对角线交点， 则点为线段的中点， 由中点坐标公式知， 即点坐标为； 【点拨】本题考查的是求解反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，中点坐标公式的应用，掌握反比例函数的性质是解本题的关键. 32．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知点P为线段上的一点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，过点A作交射线于点H，交射线于点Q，连接． （1）点Q在线段的延长线上时，求证：； （2）连接，在点P从点A向终点B运动的过程中， ①的度数是________； ②当时，直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）证明见分析；（2）①；② 【分析】（1）由旋转可得：，，证明，可得，即可得到结论； （2）①如图，在上截取，证明，可得，，证明，进一步可得答案； ②证明，可得在射线上运动，当时，最短，此时，再进一步解答即可. 解：（1）解：由旋转可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴在射线上运动， 当时，最短， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为. 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键. 33．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用完全平方公式变形求值等知识，正确理解题意，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）首先根据完全平方公式可得，进而可得，进一步求解即可获得答案； （2）首先根据完全平方公式可得，进而可得，然后根据“配方法”求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）， ∴， ∴， ， ∴． 34．（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）当时，化简：______； （2）若，求的值； （3）已知实数a，b满足，求的最大值． 【答案】（1）3；（2）a的值为或6；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质． （1）当时，根据二次根式的非负性可对进行化简，进而即可得到答案； （2）分三种情况讨论，当时，当时，当时，即可求出的值； （3）由题意可得，根据，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，可求出a、b的值，进而即可求出答案． 解：（1）， ， 故答案为：3． （2）由可得，， 当时，， 解得； 当时，，不成立； 当时，， 解得； 的值为或6． （3）由题意得， ， 又∵，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ∴，， 且，， ∴当，时，取最大值为． 35．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以为边构造三角形，利用三角形中 ▲ 进行比较． 问题思考：以为边构造的三角形为 ▇ 三角形． 任务： （1）研究报告中“▲”处空缺的内容：_______________________________； “▇”处空缺的内容：____________________________； （2）请补全材料中“……”处的解答过程； （3）直接写出与之间的大小关系． 【答案】（1）两边之和大于第三边（三边之间的关系）；直角；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． （1）利用三角形三边关系确定三角形形状即可； （2）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可； （3）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可． 解：（1）解：研究报告中“▲”处空缺的内容：两边之和大于第三边（三边之间的关系）； “▇”处空缺的内容：直角； （2）解：，， ， ； （3）解：，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$