第11章 培优专题 反比例函数k的几何意义(2大题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

培优专题 反比例函数k的几何意义 k的几何意义重难点模型一览表 示例 几何意义 （1） ； （2） 的值为定值； （3）当 为 中点，则 必为 中点； （4）当 为 的 等分点时， 必为 的 等分点． 重点题型1 已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，两个阴影部分面积的值分别是（   ） A．3，2 B．1.5，2 C．3，1 D．1.5，1 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数比例系数k的几何意义．求出当时的函数值，然后根据三角形的面积公式可求出第一个图的面积；根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出第二个图的面积． 【详解】解：∵当时，， ∴第一个图的面积； ∵， ∴第二个图的面积． 故选D． 2．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 ； 【答案】2 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义．首先延长交x轴于点，易得四边形与四边形是矩形，又由点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，即可得，，继而求得答案． 【详解】解：延长交x轴于点， ∵四边形为矩形，且轴，点C、D在x轴上， ∴轴， ∴四边形与四边形是矩形， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 故答案为：2． 4．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，理解几何图形面积的计算与反比例系数的关系是关键． 设，则点到的距离为，点的横坐标为，则纵坐标为，则，由，即可求解． 【详解】解：过上任意一点作轴的平行线交于点， 设，则点到的距离为， ∴点的横坐标为，则纵坐标为， ∴， ∴， 解得，， 故选：D ． 5．如图，中，对角线交于点E，双曲线经过A、E两点，若的面积为12，则 ．    【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了平行四边形的性质．过作于，过作于，如图，设，，根据平行四边形的性质得，则可判断为的中位线，于是得到，，，则可表示出，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，然后利用平行四边形的面积公式得到关于的方程，再解方程即可． 【详解】解：过作于，过作于，如图，    设，， 四边形为平行四边形， ， 为的中位线， ， ， ， ，， 点在双曲线上， ， ， 平行四边形的面积是12， ， 即， ， ． 故答案为4． 6．如图，直线与反比例函数的图象交于点A，与x轴、y轴分别交于B、C两点，B是线段的中点，的面积为3，则k的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查直线和反比例函数的交点问题，全等三角形的性质和判定，作轴，垂足为D，连接，得出，证明，得出即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为D，连接， ∵B是线段的中点， ∴， ∵的面积为3， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． 故选：D． 7．如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ． 【答案】4 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：4． 8．如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为 ． 【答案】5 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、平行四边形的面积公式是解题的关键．根据轴可得，即可求得，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：5． 9．如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个恒等值，即可得出结果． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，所以． 故选：A． 10．如图，P是反比例函数图象上一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数且的图象于点E、F． (1)图①中，四边形的面积______（用含、的式子表示）． (2)图②中，设点P的坐标为． ①______； ②点E的坐标为（______，______），点F的坐标为（______，______）（用含的式子表示）； ③若，求的面积． 【答案】(1) (2)①6；②，；③ 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，再根据四边形的面积，即可求解； （2）①把点P的坐标代入，即可求解；②根据轴，轴，可得点E的横坐标为2，点F的纵坐标为3，即可求解；③根据题意可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点E，F在反比例函数的图象上，点P在反比例函数图象上，且轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积； 故答案为： （2）解：①∵点P的坐标为，且点P在反比例函数图象上， ∴， ∴； 故答案为：6 ②∵轴，轴，点P的坐标为， ∴点E的横坐标为2，点F的纵坐标为3， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点E的坐标为，点F的纵坐标为； 故答案为：， ③∵点E的坐标为，点F的纵坐标为，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点P的坐标为，且点P在反比例函数图象上， ∴， ∴． 11．如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．如图，连接，，记与x轴的交点为C，依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别交于A、B两点，即可得到，，而得出的面积为． 【详解】解：如图，连接，，记与x轴的交点为C， ∵轴， ∴与的面积相等， 又∵反比例函数和的图像分别交于A、B两点， ∴，， ∴， ∴的面积为． 12．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； （2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 13．反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 14．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，由的几何意义得，再由三角形同底等高面积相等即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可得： ， ∵轴， ∴， 故选：B． 15．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， 解得：， ∴反比例函数为：，正比例函数为， ∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点， ∴，即，一次函数为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，作轴于，过作轴于， ∴五边形的面积为， ∴四边形的面积为； 故选：B． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，，两点分别在反比例函数与的图象上，若，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的性质，连接，设交x轴于E，如图，利用平行四边形的性质得垂直x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到的面积，即可求出k的值． 【详解】解：连接，设交x轴于E，如图 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴垂直于x轴， ∴，， ∴， ∵的面积． ∴， 解得， 故答案为：3． 17．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积． 故选：A． 18．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是注意、两点的纵坐标相等．由于轴，可知、两点的纵坐标相等，于是可设点坐标是，点坐标是，于是可得、的值，进而可求，据图可知的高是，再利用面积公式可求其面积． 【详解】解：由于轴，设点坐标是，点坐标是，即纵坐标相同， 那么， 即， ， ， ． 故答案为：． 19．如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点，是线段上的动点，连接，设的面积为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求关于原点对称的点的坐标、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 根据反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 【详解】解：设点，如图， ∵反比例函数图象和正比例函数图象都是关于原点对称， ∴点， ∴，，， 根据题意可得：， ∴， ∵，， ∴ 故的面积． 故选：D． 20．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)①，②= (2)，D的坐标为，E的坐标为，直角三角形， 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、判断三边能否构成直角三角形、坐标与图形综合 【分析】本题考查勾股定理逆定理，以及反比函数系数k的几何意义，图形与坐标，熟记反比函数系数k的几何意义是解题的关键． （1）①根据矩形的性质得故可得点B的坐标；②根据反比函数系数k的几何意义可得结论； （2）由且可求出，得，根据求出，可得点D的坐标，进而求出解析式；同理可求出点E的坐标． 分别求出，，，再根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据面积公式可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， 则点坐标为， 反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， ∴，， ； 故答案为：；； （2）解：当时， ， ， ， ， ∴， ∴． ， ， ∴， ，， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：． 21．如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，再得结果即可． 【详解】解：如图， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的正半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】5 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，过点A作于点C，先根据反比例函数k的几何意义求出，根据等腰三角形性质即可求出，即可得到答案； 【详解】解：过点A作于点C，如图所示：    根据反比例函数比例系数的几何意义得： ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 重点题型2 根据图形面积求比例系数（解析式） 23．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数中系数的几何意义． 由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数的几何意义可得：的面积为面积的 2 倍，． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵， 则 故选：A． 24．如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，矩形的判定与性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键． 过点作轴于点E，将平行四边形面积转化为矩形面积，再得到矩形面积，应用反比例函数比例系数的意义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点E， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为矩形面积为6， 即， ∴设点坐标为， ∴， 故选：D． 25．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点C在x轴上，且，的面积为5，则k的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为5，列方程即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵的面积为5， ∴， 即， 解得：． 故选：A． 26．如图，反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，轴于点，如果，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得： 故答案为：． 27．如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，边落在正半轴上，为线段上一点，过点分别作，交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点，四边形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过C作CM⊥x轴于点M，由平行四边形DCOE的面积可求得OE，过D作DN⊥x轴于点N，由C点坐标则可求得ON的长，从而可求得D点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值 【详解】如图，过C作CM⊥x轴于点M，过D作DN⊥x轴于点N，则四边形CMND为矩形， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴CD∥OE，且DE∥OC， ∴四边形DCOE为平行四边形， ∵C（2，5）， ∴OM=2，CM=5， 由图可得，S△AOC＝S△ABC＝S▱ABCO， 又∵S△FCP=S△DCP且S△AEP=S△AGP， ∴S▱OEPF=S▱BGPD， ∵四边形BCFG的面积为10， ∴S▱CDEO=S▱BCFG=10， ∴S四边形DCOE=OE•CM=10，即5OE=10，解得OE=2， ∴CD=MN=2， ∴ON=OM+MN=2+2=4，DN=CM=5， ∴D（4，5）， ∵反比例函数y=图象过点D， ∴k=4×5=20. 故答案为20. 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 28．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． 先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数系数的几何意义可得，然后根据计算即可得到答案． 【详解】解：，轴于点，轴于点 ，四边形是矩形， 反比例函数的图象分别与，相交于，两点， ， 四边形的面积为4， ， ， 解得， 故选：C． 29．如图，已知点是反比例函数图象第一象限上的一点，过点作轴于点，的面积是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设点的坐标是，根据的面积是，可得：，所以可得． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， 的面积是， ， 即， 把点的坐标代入反比例函数， 可得：， ． 故答案为：． 30．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义，根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，得出，根据，可得，即可求解． 【详解】解：过B点作于E点，如图， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限，则， ∴， 故选：D． 31．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OA，如图， ∵轴， ∴OC∥AB， ∴ 而 ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义． 32．如图是反比例函数的部分图象，点D在函数图象上，点A是y轴正半轴上的一个动点，线段交函数图象于点C，若，的面积是8，则k为（   ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查根据图形面积求值，相似三角形的判定和性质，作，，垂足分别为E，F，则，则，推出，设，则，由，列式计算即可求解． 【详解】解：作，，垂足分别为E，F，则，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C，点D在函数图象上， 设， ∴，且， ∴， ∴， 解得； 故选A． 33．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质求面积 【分析】过点作轴，过点作轴，可证得，得出，然后根据的几何意义求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ， ， ， 又， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与相关的矩形或三角形）的能力． 34．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、三线合一、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解： 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称， ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得 ∴ ∵反比例函数的图形位于二、四象限 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义． 过点A作轴于点C，根据等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点C，   ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 36．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，即点的坐标为， 令一次函数中，则， ∴，即， ∴一次函数解析式为， 作于，于，如下图所示， ∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称， ∴，，， 记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为， ∴， 由对称性可知：，，，， ∴， ∴， ∴点坐标，代入直线得， 整理得， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 37．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的顶点在轴上，垂直于轴， ∴轴， ∴， ∵点分别在函数和的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得，即 ， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 反比例函数k的几何意义 k的几何意义重难点模型一览表 示例 几何意义 （1） ； （2） 的值为定值； （3）当 为 中点，则 必为 中点； （4）当 为 的 等分点时， 必为 的 等分点． 重点题型1 已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，两个阴影部分面积的值分别是（   ） A．3，2 B．1.5，2 C．3，1 D．1.5，1 2．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 ； 4．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（   ） A．4 B． C．6 D． 5．如图，中，对角线交于点E，双曲线经过A、E两点，若的面积为12，则 ．    6．如图，直线与反比例函数的图象交于点A，与x轴、y轴分别交于B、C两点，B是线段的中点，的面积为3，则k的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 7．如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ． 8．如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为 ． 9．如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 10．如图，P是反比例函数图象上一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数且的图象于点E、F． (1)图①中，四边形的面积______（用含、的式子表示）． (2)图②中，设点P的坐标为． ①______； ②点E的坐标为（______，______），点F的坐标为（______，______）（用含的式子表示）； ③若，求的面积． 11．如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积． 12．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 13．反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 14．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．6 15．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，，两点分别在反比例函数与的图象上，若，则的值为 ． 17．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 18．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 19．如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点，是线段上的动点，连接，设的面积为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 20．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 21．如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为 ． 22．如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴的正半轴上，若，则的面积为 ．    重点题型2 根据图形面积求比例系数（解析式） 23．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（   ）． A． B．2 C．4 D． 24．如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为12，则的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 25．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点C在x轴上，且，的面积为5，则k的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 26．如图，反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，轴于点，如果，则的值为 ． 27．如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，边落在正半轴上，为线段上一点，过点分别作，交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点，四边形的面积为，则的值为 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．如图，已知点是反比例函数图象第一象限上的一点，过点作轴于点，的面积是，则的值是 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 32．如图是反比例函数的部分图象，点D在函数图象上，点A是y轴正半轴上的一个动点，线段交函数图象于点C，若，的面积是8，则k为（   ） A． B．8 C． D．10 33．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 ． 34．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 36．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 37．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$