第12章 培优专题 二次根式化简的5种常用方法(5大题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

培优专题 二次根式化简的5种常用方法 5种常用方法 化简二次根式的常用技巧 1.把被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方; 2.若被开方数中含有带分数,应先将带分数化为假分数; 3.若被开方数中含有小数,应先将小数化为分数; 4.若被开方数是多项式,则先进行因式分解. 方法一、直接应用二次根式性质化简 1．把下列二次根式化成最简二次根式： (1). (2). (3). (4). 2．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 方法二、根据字母的取值化简 3．已知，化简 ． 4．若a<b(a，b为非零实数)，化简的结果为 (　 　) A．-a B．a C．a D． 5．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 8．如图，数轴上点表示的数为，化简： 。 方法三、根据隐含条件化简含有字母的二次根式 9．若为实数，且，则 ． 10．已知x， y都是实数，且 则的立方根为 ． 11．已知：为实数，且，化简：． 12．先化简，再求值：+x（x>0，y>0），其中x，y满足y=+（）-1． 13．已知，则的值为 ． 14．化简： ． 方法四、分类讨论化简含有字母的二次根式 15．设a，b为非零实数，则所有可能的值为 ． 方法五、利用类比法化简复合二次根式 16．先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 17．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，， 这样，，于是. 例如：化简. 解：这里，，由于，，即，， . 由上述例题的方法化简：（1）；（2） 18．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 19．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 20．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 二次根式化简的5种常用方法 5种常用方法 化简二次根式的常用技巧 1.把被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方; 2.若被开方数中含有带分数,应先将带分数化为假分数; 3.若被开方数中含有小数,应先将小数化为分数; 4.若被开方数是多项式,则先进行因式分解. 方法一、直接应用二次根式性质化简 1．把下列二次根式化成最简二次根式： (1). (2). (3). (4). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据二次根式的乘法和除法法则化简即可. 【详解】解：(1). (2). (3). (4). 【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于基础题型，熟练掌握化简的方法是关键. 2．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)28 (2)36 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 方法二、根据字母的取值化简 3．已知，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．若a<b(a，b为非零实数)，化简的结果为 (　 　) A．-a B．a C．a D． 【答案】A 【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么-a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】∵有意义， ∴-a3b≥0， ∴a3b≤0， 又∵a＜b， ∴a＜0，b≥0， ∴=-a． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 5．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； （5）根据二次根式的性质化简即可； （6）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 首先由实数、在数轴上的位置，可得和的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由实数、在数轴上的位置，可得，； ； 故选：A 7．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，利用数轴表示数的方法得到，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 8．如图，数轴上点表示的数为，化简： 。 【答案】2a+2 【分析】先根据数轴确定出0<a<2，继而再利用二次根式的性质进行化简即可. 【详解】观察数轴可知0<a<2， 则a+2>0， 所以， 故答案为：2a+2. 【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，准确识图，熟练掌握和灵活运用二次根式的性质进行化简是解题的关键. 方法三、根据隐含条件化简含有字母的二次根式 9．若为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，分式的化简，由二次根式有意义的条件可得，再根据绝对值的性质和分式的运算法则计算即可求解，由二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键． 【详解】解：∵与有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知x， y都是实数，且 则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根．熟练掌握二次根式有意义的条件，立方根是解题的关键．由题意知，，，可求，则，根据的立方根为，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根为3， 故答案为：3． 11．已知：为实数，且，化简：． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值化简，二次根式化简，整式加减．根据题意可得，，再化简代数式即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得且， ， ∴， ∴， ∴ 12．先化简，再求值：+x（x>0，y>0），其中x，y满足y=+（）-1． 【答案】3，3 【详解】由题意得解得 式=2=3=3=3． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简，再去绝对值，进行加减计算． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ， 故答案为：0． 方法四、分类讨论化简含有字母的二次根式 15．设a，b为非零实数，则所有可能的值为 ． 【答案】±2，0 【分析】分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义以及二次根式性质化简即可得到结果． 【详解】当a＞0，b＞0时，原式=1+1=2； 当a＞0，b＜0时，原式=1-1=0； 当a＜0，b＞0时，原式=-1+1=0； 当a＜0，b＜0时，原式=-1-1=-2， 故答案为2或-2或0 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 方法五、利用类比法化简复合二次根式 16．先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法与化简正确运用完全平方公式是解题关键． （1）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案． 【详解】（1）解：， 即， ∴ ； （2）解：， 即， ∴ ． 17．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，， 这样，，于是. 例如：化简. 解：这里，，由于，，即，， . 由上述例题的方法化简：（1）；（2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据材料里提供的方法化简即可得解； （2）根据材料里提供的方法化简即可得解. 【详解】（1）原式， （2）原式. 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，关键是确定两个数、，然后根据二次根式的性质化简. 18．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案． ②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，； （2）解：① ， ② ． 19．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 20．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$