第11章 培优专题 反比例函数常考6大模型(6大题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

培优专题 反比例函数常考6大模型 6大模型 函数模型1一点一垂线 1．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 2．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 3．已知图中的曲线是反比例函数y＝（m为常数）图象的一支． （1）根据图象位置，求m的取值范围； （2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．    4．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图象上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C． (1)求k的值； (2)求△OBC的面积． 函数模型2 一点两垂线 5．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．8 6．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．-6 7．如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 8．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 9．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点的坐标为． ①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______； ②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； （2）连接、． ①当时，求的长度； ②如图2，试证明的面积是个定值． 函数模型3两点一垂线 10．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，直y=mx与双曲线交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（　　） A．1 B．m﹣1 C．2 D．m 12．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 13．已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为． (1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； (2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围； (3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积． 14．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2. （1）求的值； （2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________； （3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 函数模型4 两点两垂线 15．如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 16．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 17．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 函数模型5 两点和原点 18．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 19．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（    ） A．－10 B．－9 C．－6 D．－4 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝ ． 21．如图，是反比例函数图象上一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，点，且分别交反比例函数图象于点，点，连结，，若图中阴影部分的面积为4，则的值为 ． 22．如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为 ． 23．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． (1)则m＝　　，n＝　　； (2)若y1＞y2时，则x的取值范围是　　； (3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 函数模型6 两曲一平行 24．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 25．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D．3 26．如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点A作轴于．连接，与相交于点，若，则的值为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 27．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 28．如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图像于点A，交函数的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC． （1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积； （2）若AB＝BC，求点A的坐标； （3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 反比例函数常考6大模型 6大模型 函数模型1一点一垂线 1．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OA，如图， ∵轴， ∴OC∥AB， ∴ 而 ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质确定k的值． 【详解】连接OC，如图， ∵轴于点A，C是线段AB的中点， ∴， 而， ∴， 而， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 3．已知图中的曲线是反比例函数y＝（m为常数）图象的一支． （1）根据图象位置，求m的取值范围； （2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．    【答案】（1）m＞5；（2）m＝13． 【分析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到m﹣5大于0，即可求出m的范围； （2）根据反比例函数系数k的几何意义得出（m﹣5）＝4，解得即可． 【详解】解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ∴m﹣5＞0， 解得m＞5； （2）∵S△OAB＝|k|，△OAB的面积为4， ∴（m﹣5）＝4， ∴m＝13． 【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，根据系数k的几何意义得出（m−5）＝4是解题的关键． 4．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图象上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C． (1)求k的值； (2)求△OBC的面积． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）由直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），先将A（1，a）代入直线y=2x求出a的值，从而确定A点的坐标，然后将A点的坐标代入反比例函数y=中即可求出k的值； （2）由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积等于|k|，从而求出△OBC的面积． 【详解】（1）解：∵直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a）， ∴将A（1，a）代入直线y=2x，得：a=2 ∴A（1，2）， 将A（1，2）代入反比例函数y=中得：k=2， ∴y=； （2）解：∵B是反比例函数y=图象上的点，且BC⊥x轴于点C， ∴△BOC的面积=|k|=×2=1． 【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题． 函数模型2 一点两垂线 5．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC的面积等于比例系数的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴， ∴矩形ABOC的面积 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键． 6．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面积=|−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到k=6． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形， ∴，而 =|−k|， ∴|−k|=6， ∴-k=-6， ∴k=6． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 7．如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 【答案】 【分析】因为P点在反比例函数的图像上，故点P的横、纵坐标之积是k，而点P的横、纵坐标的绝对值又对应矩形的长OM、宽ON，由已知条件“矩形的面积为3”，即OM·ON=3，从而建立k的方程，求出k的值即可得到该反比例函数的解析式． 【详解】解：设P的坐标是， ∵P在上，∴， 又矩形的面积为3，∴，即， 由于点P在第二象限，故， ， ∴，即， ∴， ∴该反比例函数的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式中比例系数k的几何意义．要求反比例函数解析式，关键是确定比例系数k．一般而言，只须把函数图像上的一个已知点的坐标代入所设函数解析式中，即可求出k．但有时候只需知道该点横、纵坐标之积即可．因为由函数解析式变形可知：．本题借助“矩形的面积为3”这一条件间接给出了点P的横、纵坐标之积，这是解题的关键．通过本题我们可以总结得出反比例函数比例系数的几何意义：一般地，对于反比例函数上的任意一点，它与坐标轴围成的矩形面积就等于． 8．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 【答案】4 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 9．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点的坐标为． ①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______； ②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； （2）连接、． ①当时，求的长度； ②如图2，试证明的面积是个定值． 【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①；②见详解 【分析】（1）①把x＝2代入中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式； ②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可； （2）①设M（m，），则B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案． 【详解】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴， ∴xC＝2，yB＝4， 把y＝4代入中，得x＝1， ∴B(1，4)， 把x＝2代入中，得y＝2， ∴C（2，2）， 把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6． 故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6； ②设D（m，0），E（0，n）， 当四边形BEDC为平行四边形时， ∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD， ∴1−0＝2−m，4−n＝2−0， ∴m＝1，n＝2， ∴D(1，0)，E(0，2)， 当四边形BDEC为平行四边形时， ∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE， ∴1−m＝2−0，4−0＝2−n， ∴m＝−1，n＝−2， ∴D（−1，0），E（0，2）， 综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）； （2）①设M（m，），则B（，），C（m，）， ∵OB＝OC， ∴OB2＝OC2， ∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8， ∴OB＝； ②延长MC与x轴交于点A， 设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0）， ∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m， ∴S△OBC＝S梯形OAMB−S△BCM−S△OAC ＝(＋m)• −ו−m•＝3， ∴△BOC的面积是个定值． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度． 函数模型3两点一垂线 10．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：，再根据坐标系中两点关于原点对称的性质，得点B坐标；过点做交延长线于点，根据直角坐标系的性质，得的值，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，设点A坐标为：，且 ∵A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点 ∴点B坐标为： ∵过点A作AC⊥x轴于点C ∴点C坐标为： ∴ 如图，过点做交延长线于点 根据题意得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解． 11．如图，直y=mx与双曲线交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（　　） A．1 B．m﹣1 C．2 D．m 【答案】A 【分析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知． 【详解】解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称， ∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等， ∴△AMO和△BMO的面积相等，且为， ∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1， 又因为点A在第一象限内， 所以可知反比例函数的系数k为1． 故选A． 【点睛】本题利用了反比例函数的图象在一、三象限和而确定出k的值． 12．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 【答案】3 【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，从而可得的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：点与点关于原点对称， ， ，边上的高为2， 轴， ， 则， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解题关键． 13．已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为． (1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； (2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围； (3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积． 【答案】(1)，画图象见解析 (2)点C的坐标为（3，2）；当时，或 (3) 【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可； （2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围； （3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积． 【详解】（1）解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上， ∴y2==-3， ∴点B的坐标为（-2，-3）， ∵点B（-2，-3）在一次函数y1=ax-1的图象上， ∴-3=a×（-2）-1， 解得a=1， ∴一次函数的解析式为y=x-1， ∵y=x-1， ∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0； ∴图象过点（0，-1），（1，0）， 函数图象如图所示； ； （2）解：解方程组， 解得或， ∵一次函数y1=ax-1（a为常数）与反比例函数y2=交于B、C两点，B点的横坐标为-2， ∴点C的坐标为（3，2）， 由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3； （3）解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称， ∴点D（2，3）， 作DE⊥x轴交AC于点E， 将x=2代入y=x-1，得y=1， ∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= =2， 即△ACD的面积是2． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2. （1）求的值； （2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________； （3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①，；②或；（3）存在，坐标为或，或. 【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值； （2）联立两函数即可求出坐标，根据图像可写出范围. （3）设点坐标为连结、，再根据勾股定理解答即可. 【详解】解：（1）由题意知：点与点关于原点对称，点为中点， 所以 又   所以 所以    （2）已知两函数交于A，B两点， 故 ①点坐标，点坐标 ②根据图像可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：或. （3）设点坐标为连结、；　 ∴ 或 或 当或或时， 三角形为直角三角形，解得或或 所以点坐标为或，或 【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 函数模型4 两点两垂线 15．如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 【答案】A 【分析】设A的坐标为（x，），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点， ∴设A的坐标为（x，）， ∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝（n＜0）上， ∴B的坐标为（，），C的坐标为（x，）， ∴AB=，AC=， ∵△ABC的面积为， ∴， ∴=9， ∴， ∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 16．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 【答案】6 【分析】首先根据平行四边形的性质得出，从而有，然后根据k的几何意义求解即可． 【详解】如图， ∵点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D， ． ∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形， ， ∴A，B关于原点对称， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是解题的关键． 17．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知． 【详解】解：∵OA=OB，ON=OM， ∴四边形AMBN是平行四边形， ∵S四边形AMBN＝1， ∴S△ABM＝， 设点A的坐标为（x，y）， ∴B的坐标为（−x，−y）， ∴×2x×y＝， ∴xy＝， ∴k＝xy＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键． 函数模型5 两点和原点 18．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象的中心对称性确定交点坐标是解题的关键． 根据题意得出，，再把代入即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于两点， 两点关于原点对称， ，， 把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 故选：B ． 19．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（    ） A．－10 B．－9 C．－6 D．－4 【答案】B 【分析】先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t，−t），则 A（−t，t），利用勾股定理表示出OA＝，OC＝，接着利用三角形面积公式得到××（t+t）＝15，解出t得到A（−，2），进而可求出k的值． 【详解】解：∵直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点， ∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴OA＝OB＝OC， 设B（t，−t），则 A（−t，t）， ∴OA＝， ∴OC＝， ∵S△ABC＝15， ∴××（t+t）＝15，解得t＝， ∴A（−，2）， 把A（−，2）代入y＝，得k＝−×2＝−9． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝ ． 【答案】-4 【分析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到． 【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵AD∥y轴， ∴， ∴， 解得k＝-4或k＝4（舍）， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积． 21．如图，是反比例函数图象上一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，点，且分别交反比例函数图象于点，点，连结，，若图中阴影部分的面积为4，则的值为 ． 【答案】7 【分析】连接CD，作轴，垂足为E，设，得到D，C，E的坐标，分别表示出△OCD和△DPC的面积，根据，即可得到k值． 【详解】解：连接CD，作轴，垂足为E， 设，则，，， ∴，，， ∴． ． ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 22．如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，得到BM是△AHC的中位线，进而得到AH=2BM，再由△AOH面积等于△OBM面积得到OH=HM=MC，进而得到△OAC的面积为，由此即可求解． 【详解】解：过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，如下图所示， 由B是线段AC的中点知，BM是△AHC的中位线， ∴MH=MC，AH=2BM， 又S△OBM=×OM×BM=k，S△OAH=×OH×AH=k， 由AH=2BM得到OH=OM， 由此H、M将线段OC平分成三份， ∴， 解得：k=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数图像及性质，反比例函数中k的几何意义等，熟练掌握反比例函数的图形性质是解决本题的关键． 23．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． (1)则m＝　　，n＝　　； (2)若y1＞y2时，则x的取值范围是　　； (3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 【答案】(1)m=-6，n=-1 (2)x＜-2，或0＜x＜6 (3) 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式中，求出m，再将点B坐标代入反比例函数解析式中求出n； （2）根据一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交点A（﹣2，3）和点B（6，-1），得到不等式，的解集是x＜-2，或0＜x＜6； （3）先求出BC，h，再求出AB，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）∵点A（-2，3）在反比例函数的图象上， ∴m=-2×3=-6， ∴反比例函数的解析式为， ∵B（6，n）在反比例函数的图象上， ∴6n=-6， ∴n=-1， 故答案为：m=-6，n=-1； （2）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（﹣2，3）和点B（6，-1） ∴y1＞y2时，， 由图象看出x的取值范围是x＜-2，或0＜x＜6； 故答案为： x＜-2，或0＜x＜6； （3）∵BC⊥y轴，B（6，-1）， ∴BC=6， ∵A（-2，3）， 设点A到BC的距离为h， ∴h=3-（-1）=4， ∵， CD⊥AB， ∴S△ABC=BC•h=AB•CD， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，用图象法解不等式，两点间的距离公式，三角形的面积公式，二次根式分母有理化，是解本题的关键． 函数模型6 两曲一平行 24．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义得到，，然后利用代数求解即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：A． 25．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】连接、，根据反比例函数的性质可得，，根据C是y轴上任意一点，轴，可得， 结合，问题得解． 【详解】连接、，如图， 根据题意有：，， ∵C是y轴上任意一点，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义． 26．如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点A作轴于．连接，与相交于点，若，则的值为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，根据平行线分线段成比例定理证得，即，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点A在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键． 27．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】 连接OA、OB， 轴，和同底边AB， ， ， 反比例函数和的图象交于点和点， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键． 28．如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图像于点A，交函数的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC． （1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积； （2）若AB＝BC，求点A的坐标； （3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由． 【答案】（1）；（2）点A（−2，）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由见详解 【分析】（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4），S△ABC＝BC×AB，即可求解； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），AB＝BC，即：-()＝−t，即可求解； （3）由S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝，即可得到结论． 【详解】解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4）， ∴S△ABC＝BC×AB＝×（−＋1）×（4−1）＝； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∵AB＝BC， ∴-()＝−t，解得：t＝±2（舍去2）， ∴点A（−2，）； （3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N， 则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∴S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝， ∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$