第9章 中心对称图形--平行四边形 期末压轴37题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

第9章 中心对称图形--平行四边形 期末压轴37题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．与的面积之和 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点的对称点处，当时，则的长（   ） A．或5 B．或 C．1或 D．5或 7．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，菱形的边长为6，，对角线相交于点O，动点E从点D沿运动到点O，连接，在直线左侧作正方形，则点G运动的路径长为 ． 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交于点．则的最小值是 ． 12．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接且点P是的中点，连接、，则的最小值等于 ． 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是 ．    14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为 ． 三、解答题 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， (1)如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； (2)如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 16．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 17．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：； （2）边长把边沿翻折． ①如图2，若点P落在对角线上，则 ； ②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． (1)若点E为的中点，连接，判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； (3)连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长． 20．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在轴的正半轴上移动，将矩形沿着对折．点的对应点为．已知，． (1)如图，当点恰好落在对角线上时，求直线所对应的函数表达式． (2)当三点在同一直线上时，直接写出直线所对应的函数表达式． 22．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知一次函数的图象经过点，．点的坐标为，点的横坐标为． (1)求的值； (2)若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求的值； (3)已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求的取值范围． 23．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，直线和直线（其中k，b是不为0的常数，）相交于点P，分别交y轴于A，B两点． (1)求证：点P在直线上； (2)如图，若，，，求的值； (3)在（2）的条件下，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出此时点Q的坐标． 24．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形是正方形，连接，过点C作射线，点E在边上，画射线，将射线绕点E顺时针旋转与交于点F． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 25．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，四边形是正方形，两点的坐标分别为、， 点P在直线上运动（点P与点C不重合）， 过点P作 ，交x轴于点 D． (1)点B的坐标为：______，直线的表达式为______； (2)点Q在直线上，且满足． ①请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出点Q位置；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图2，设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，求之间的函数关系； ③在②中， 若，，当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示，求的最小值t，并直接写出此时．的度数． 27．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在平面直角坐标系中中，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点，，点M、N分别为线段上的动点，将矩形沿直线折叠，A、C的对应点分别是、． (1)如图2，若点落在点B处，则 ； (2)如图3，折叠的某一时刻，点落在矩形的边上，且，求的长； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点、，使得以点，M，D，E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）小明在学习矩形的时候发现：如图1，当点P在矩形的边上时，点P到4个顶点间的距离，，，之间满足，请对小明发现的结论给出证明； （2）如图2，当点P在矩形内部或矩形外部时，，，，之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择点P在矩形内部或外部的一种情况即可），如果不成立，请说明理由； （3）在中，，，P为平面内一点，，，则长的取值范围是 （直接写出结果）． 29．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为______； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为______． 30．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线：与轴、轴分别交于点，． (1)求点，的坐标； (2)如图2，将沿方向平移个单位得到，则点的坐标为 ．将绕点逆时针旋转得到直线，点是上一点，到轴的距离为2且在第二象限，则点的坐标为 (3)在（2）的条件下，若是平面内一点，是直线上一点，是否存在以，，，为顶点的菱形，且为该菱形的一边？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 31．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 32．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）在正方形中，为边上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得．过点作的垂线，垂足为．连接与交于点． (1)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，取的中点，连接．随着点的运动，的长度是否发生变化？若不变，求的值；若变化，求的取值范围； (3)若连接，则的最小值为______． 33．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作，交边于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若点为边的中点，求证：平分； (3)当四边形为正方形时，记正方形的面积为，矩形ABCD的面积为．若，求的值． 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线折叠纸片，点A与点E对应，与交于点F． 【任务1】 直接判断的形状为______； 【操作2】 小芳计划折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕，分别与、交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹）②连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片对折，折痕为，然后展开；点P为的一点，再将纸片沿折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在上，再沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上，请说明理由； 【任务4】 若点P为的中点，连接，平移折痕经过点Q，交、、分别于点、、G，求的长． 35．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，菱形边长为6，，点P在边上，且，点Q是边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．连接，将线段绕点P顺时针旋转得线段． (1)当点Q与点A重合时，在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段； (2)在点Q运动过程中，求证：点在某一固定线段上运动； (3)直接写出线段长度的取值范围． 36．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 37．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形--平行四边形 期末压轴37题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①正确； ②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大， ∴面积也先变小，后变大； 故②错误； ③∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴周长的最小值为； 故③正确； ④∵，G为中点， ∴， ∴点E在运动过程中，与始终相等， 故④正确； 综上，①③④正确． 故选：A． 【点睛】本题考主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，是解此题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断． 【详解】解：如图，作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 平分，故①正确， 如图中，延长交的延长线于，作于． 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④错误， 故选：A 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明②正确；如图，连接交于，可得 ，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误． 【详解】解：①连接，延长交于点，连接，   为正方形的对角线， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故①错误； ，， ，故②正确； ③如图，连接交于， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵是动点，则是动点，的长度的变化的， ∴的长度是变化的，故④错误； 综上：②③正确； 故选B 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．与的面积之和 【答案】C 【分析】如图所示，连接，先证明，再证明都是等腰直角三角形，得到，进而推出，则，证明，得到，再证明四边形是菱形，得到；证明，得到，则；证明四边形是矩形，得到，则 ，即可推出， 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴，即， 由正方形的性质可得， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由正方形的对称性可得， ∴， ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，作出辅助线证明四边形是菱形，从而得到是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点的对称点处，当时，则的长（   ） A．或5 B．或 C．1或 D．5或 【答案】D 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 7．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由线段的数量关系可求，故①正确；由直角三角形的可求，可证是等边三角形，可得，由等腰三角形的性质可求，故②正确；由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，可得；故③错误；由“”可证，可得，由三角形的三边关系和勾股定理可求的最小值为10，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图1，当点在上时，取的中点，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图2，当时，设与交于，与交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；故③错误； 如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为10，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 8．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，由勾股定理得，，证明四边形是矩形，证明，则，由四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，则，由，可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，然后作答即可． 【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为2，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，是解题的关键． 10．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，菱形的边长为6，，对角线相交于点O，动点E从点D沿运动到点O，连接，在直线左侧作正方形，则点G运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】作出正方形，将线段绕点A顺时针旋转到，连接，利用菱形的性质结合勾股定理求出，证明，得到，由为定角，推出点在直线上运动，且路径长为的长度，再根据点E在上运动，即可得到的长度范围，进而得到点G运动的路径长． 【详解】解：如图，作出正方形，将线段绕点A顺时针旋转到，连接， 四边形是边长为6的菱形，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 由旋转的性质得到， ， ， 为定角， 点在直线上运动，且路径长为的长度， 点E在上运动，即， 点G运动的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹问题，旋转的性质，菱形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交于点．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，证明，则，如图，将沿着的方向平移到，连接，证明四边形是平行四边形，则，如图，过作，使，连接并延长交的延长线于，连接，证明四边形是平行四边形，则，，证明四边形是矩形，则，，，，，由，可知三点共线时，的和最小，为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 如图，将沿着的方向平移到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，过作，使，连接并延长交的延长线于，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的和最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．明确线段和的最小情况是解题的关键． 12．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接且点P是的中点，连接、，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识． 首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，，即可． 【详解】解：过P作于点N，交于点M， 由题意，， ∴， ∵点P是CE的中点， ∴， ∴， ∴， 则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上 过点D作于点F， 则此时点D和F关于直线l对称， 连交直线l于点H，连， 则， 当点P与点H重合时，的值最小， 由题意，，， ∴，， ∴ 故答案为： 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图点A坐标是，点B是x正半轴上的任意一动点，以为边向右侧作矩形， 且；则点 D到x轴距离的最大值是 ．    【答案】4 【分析】本题考查等积法，直角三角形斜边中线等于斜边一半，矩形性质等．根据题意取点，即和，当三点共线时点 D到x轴距离的最大值． 【详解】解：∵，即矩形面积为6， ∴， ∴取点，即，      ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 取F为的中点， ∴， ∴当三点共线时点 D到x轴距离的最大值，    ∴， 故答案为：4． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为 ． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，一是点F在线段上，作交于点H，由正方形的性质得，，则，，所以，则，可求得，由，得，则，可求得，则，于是得，则，求得；二是点F在的延长线上，作交的延长线于点L，可证明，则，可求得，则，由，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点F在线段上，作交于点H，则， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，点F在的延长线上，作交的延长线于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、二次根式的运算等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， (1)如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； (2)如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （2）过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）四边形是正方形，点关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 点关于直线的对称点为， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分，，， ， ，， ， ， ， ． ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 16．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】(1)D (2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者 【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长； ③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 17．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：； （2）边长把边沿翻折． ①如图2，若点P落在对角线上，则 ； ②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）（4） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，再根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，进而证明，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，，，再利用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的判定可得，再利用，即可求解； ②当点P落到上，由折叠的性质可得，垂直平分，即，，可得，当点P落到上，连接，证得，可得，即可求解； （3）①当A、M、C不共线时，，②当点A、M、C三点共线时，的值最小为，根据等腰三角形的判定与性质可得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即可求解； （4）将绕点B逆时针旋转得到，由旋转的性质和等边三角形的判定与性质可得，进而可得当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是，过点作的延长线于点N，由旋转的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图，当点P落到上， 由折叠的性质可得，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 当点P落到上，连接， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P在的内部，不含边， ∴， 故答案为：； （3）①当A、M、C不共线时， ， ②当点A、M、C三点共线时，的值最小为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 即最小值为； （4）如图，将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是， 过点作的延长线于点N， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不变；4 【分析】（1）可证得，进而证得，从而； （2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出； （3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 设直线交于， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下， 连接，作，交于，作于， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由得： ， ， ， ∴四边形的面积为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． (1)若点E为的中点，连接，判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； (3)连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据折叠得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，证明，即可证明结论； （2）分两种情况进行讨论：当点在矩形的对称轴上时，当点在矩形的对称轴上时，分别画出图形，进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当点在矩形的内部，时，当点在矩形的外部，时，分别画出图形，理由勾股定理，矩形的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点E为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当点在矩形的对称轴上时，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在矩形的对称轴上时，过点作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 同理得：四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上分析可知：或． （3）解：当点在矩形的内部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当点在矩形的外部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， 此时点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 20．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，， ∴； 由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在轴的正半轴上移动，将矩形沿着对折．点的对应点为．已知，． (1)如图，当点恰好落在对角线上时，求直线所对应的函数表达式． (2)当三点在同一直线上时，直接写出直线所对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作于点D，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，再求出，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据矩形的性质得出，，，求出，分两种情况进行讨论：当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：过点作于点D，如图所示： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴，， ， ∴， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 当点P在线段上时，如图所示： 根据折叠可知：，，， 则， ∴， 设，则，， 在中根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴， 设直线l的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线l的解析式为：． 当点P在线段延长线上时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 在中根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴， 设直线l的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． 综上分析可知：直线l的解析式为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，求一次函数解析式，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理和待定系数法． 22．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知一次函数的图象经过点，．点的坐标为，点的横坐标为． (1)求的值； (2)若线段的最高点与最低点的纵坐标差为6，求的值； (3)已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴，若线段与矩形只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法，将代入解一元一次方程即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是，列方程求解即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5五种情况利用数形结合的思想求出对应的临界值即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， 将代入一次函数得到， 解得； （2）解：由（1）知一次函数， 点的横坐标为， ， ，线段的最高点与最低点的纵坐标差为6， 分两种情况：线段的最高点是与最低点是；线段的最高点是与最低点是， 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 当线段的最高点是与最低点是时，则， 解得； 综上所述，的值为或； （3）解：由（2）可得 如图3-1所示，当时， ∵， ∴直线一定在线段下方，即此时线段与矩形不可能有交点，不符合题意；    如图3-2所示，时， ∵， ∴直线一定与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意；    如图3-3所示，当，且点D恰好在直线上时， 由对称性可得， ∴， 解得， ∴此时线段与矩形有一个交点，这个交点为D， 当时，此时矩形不可能与线段有交点，不符合题意；    如图4-4所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段之间，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段，线段都有一个交点，故此时不符合题意；    如图3-5所示，当时， 此时， ∴此时直线一定在线段上方，且直线在点B下方，且点D在直线左上方， ∴此时线段与线段有一个交点，即此时线段与矩形有一个交点，符合题意；    综上所述，或或． 【点睛】本题考查一次函数与矩形综合，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、一次函数图象与性质、矩形性质、点的对称性求坐标等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、矩形性质与点的对称是解决问题的关键． 23．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，直线和直线（其中k，b是不为0的常数，）相交于点P，分别交y轴于A，B两点． (1)求证：点P在直线上； (2)如图，若，，，求的值； (3)在（2）的条件下，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出此时点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或； 【分析】（1）联立两个函数解析式求解交点的横坐标即可； （2）如图，过作轴于，过作交于，过作轴于，求解，，即，证明，可得，结合在上，再进一步解答即可； （3）由，，求解，可得函数为，，可得，，，如图，设，再分三种情况讨论即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P在直线上； （2）解：如图，过作轴于，过作交于，过作轴于， ∴， 当时，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在上， ∴，， ∴， ∵, ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴； ∴函数为，， ∴，，， 如图，设， 当为对角线时， ， 解得：， ∴； 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或或； 【点睛】本题考查的是一次函数的交点坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 24．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形是正方形，连接，过点C作射线，点E在边上，画射线，将射线绕点E顺时针旋转与交于点F． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，画图补全图形； （2）在边上截取，连接．根据正方形的性质，证明即可得证； （3）根据和均为等腰直角三角形，得到，．再根据得证，等量代换思想整理即可得证． 【详解】（1）根据题意，画旋转图形如下： （2）证明：如图2，在边上截取，连接． ， ． ． ， ． ， ． ． ，， ． ，， ． 在和中， ． ． （3）线段，，之间的数量关系为：． 证明：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，． ， ． ． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的西安，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 25．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接并延长至，使得，连接，证明是等边三角形，进而证明，即可证明是等边三角形，点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动，当点运动到点时，点运动到点，即可求解； （2）根据垂线段最短，可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时，取最小值，且最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长至，使得，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当点运动到点时，点运动到点， 则有； （2）由（1）可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时， 取最小值，且最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定等知识，得出点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动是解题的关键． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，四边形是正方形，两点的坐标分别为、， 点P在直线上运动（点P与点C不重合）， 过点P作 ，交x轴于点 D． (1)点B的坐标为：______，直线的表达式为______； (2)点Q在直线上，且满足． ①请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出点Q位置；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图2，设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，求之间的函数关系； ③在②中， 若，，当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示，求的最小值t，并直接写出此时．的度数． 【答案】(1)； ； (2)①图见解析；②；③； 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，待定系数法求解析式，正方形的性质，中垂线的尺规作法和中垂线的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，理解函数图象求最值，熟练掌握相关性质和内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质，即可得到，由此得到点B的坐标；利用待定系数法即可求直线的表达式； （2）① 取大于长度为半径，分别以为圆心作圆弧相交于两点，连接两交点所得直线即为的垂直平分线，交直线于点，点为所求作． ②设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，则，利用两点间的距离公式可求出，，利用，整理化简即可得到x、y之间的函数关系； ③ 当Q在第一象限时，若，，用表示出，得到，，利用第②问结论，代入整理得，再结合已知给的当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示，可知当时，取得最小值，代入即可求得的最小值t，同时可求出，，此时，点在直线上，也就是在正方形的对角线上，再根据正方形的性质，等腰三角形的性质，即可求出． 【详解】（1）解： A、C两点的坐标分别为、， ， 四边形是正方形， ，，， 点B的坐标为． 设直线的表达式为，将、代入得， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：①取大于长度为半径，分别以为圆心作圆弧相交于两点，连接两交点所得直线即为的垂直平分线，交直线于点，根据垂直平分线的性质，可得，即点为所求作． ② 当在轴右侧时，如图所示， 当在轴左侧时，如图所示， 设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，即，则横坐标为， 点在直线：上， ，即，又， ，， ， ， 整理化简得，， 点P与点C不重合， ， 故x、y之间的函数关系为：． ③ 当在第一象限时，如图所示， 在第一象限， ， ，， ， ，， ，， ，， 根据前面的结论，， ， 整理得， ， ， 根据当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示， 可知当时，取得最小值， 此时，， 的最小值． 当时，，， ，， 此时，点在直线上，也就是在正方形的对角线上，交于点，如图所示， ，四边形为正方形， ，即，， ， 又 ， ， ， ． 故． 27．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在平面直角坐标系中中，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点，，点M、N分别为线段上的动点，将矩形沿直线折叠，A、C的对应点分别是、． (1)如图2，若点落在点B处，则 ； (2)如图3，折叠的某一时刻，点落在矩形的边上，且，求的长； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点、，使得以点，M，D，E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)或或或 【分析】（1）由题意得：，，则，再根据折叠和勾股定理建立方程求解即可求得答案； （2）过点作轴于，由矩形性质得：，，由折叠得：，得出，再运用勾股定理建立方程求解即可； （3）分三种情况：当、为菱形的对角线时，当、为菱形的对角线时，当、为菱形的对角线时，分别利用菱形性质列方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，， ，， 则， 由折叠得：， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于， 则， 四边形是矩形， ，， 由折叠得：， ， 在中，， ， ， 故的长为10； （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：， ， ， ， ， 又、， 当、为菱形的对角线时， 则或， 解得：或， 或； 当、为菱形的对角线时， 则， 解得：， ； 当、为菱形的对角线时， 则， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等，运用分类讨论思想结合菱形性质列出关于点坐标的方程是解题关键． 28．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）小明在学习矩形的时候发现：如图1，当点P在矩形的边上时，点P到4个顶点间的距离，，，之间满足，请对小明发现的结论给出证明； （2）如图2，当点P在矩形内部或矩形外部时，，，，之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择点P在矩形内部或外部的一种情况即可），如果不成立，请说明理由； （3）在中，，，P为平面内一点，，，则长的取值范围是 （直接写出结果）． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识点， （1）由矩形的性质和勾股定理可知，，，即可得出结论； （2）如图，分过点P作，交于点M，交于点N和过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点N两种情况讨论即可得解； （3）分P在外部时和P在内部时两种情况讨论即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∴在和中，，， ∴得：， ∴， （2）如图，过点P作，交于点M，交于点N， ∴四边形和四边形均为矩形， 根据图①中的结论可得， 在矩形中有，在矩形中有， 两式相加得， ∴． 如图，过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点N， ∴四边形和四边形均为矩形， 同样根据图①中的结论可得， 在矩形中有，在矩形中有， 两式相加得， ∴； （3）如图，当P在外部时，作矩形，连，， ∴， ∴， 由(2)结论知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，当P在内部时， ∵，， ∴， ∴综上所述：长的取值范围是， 故答案为：． 29．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为______； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为______． 【答案】(1)， (2)①成立，见解析；② (3)2或 【分析】（1）如图1，连接，，证明是等边三角形，则，证明，则，，由，可得； （2）①如图2，连接，同理（1）可得，，是等边三角形，则，同理（1）可证，则，，，即；②如图3，作于，于，则，，由，，可得，，则，如图3，在上取点，连接，使，则，，设，，则，，，由，可求，由勾股定理得，则，可求，即，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由题意知，分在点左侧，在点右侧两种情况求解；当在点左侧时，如图4，作于，则，，，由（1）（2）可知，，，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解即可；当在点右侧时，如图4 ，同理求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）①解：成立，证明如下； 如图2，连接， 同理（1）可得，，是等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴，即， 同理（1）可证， ∴，， ∴，即， ∴，； ②解：如图3，作于，于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图3，在上取点，连接，使， ∴，， 设，，则，，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得，，即， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，分在点左侧，在点右侧两种情况求解； 当在点左侧时，如图4，作于， ∵， ∴，，则， 由（1）（2）可知，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴； 当在点右侧时，如图4 ， 同理，， ∴； 综上所述，的长度为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本图考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 30．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线：与轴、轴分别交于点，． (1)求点，的坐标； (2)如图2，将沿方向平移个单位得到，则点的坐标为 ．将绕点逆时针旋转得到直线，点是上一点，到轴的距离为2且在第二象限，则点的坐标为 (3)在（2）的条件下，若是平面内一点，是直线上一点，是否存在以，，，为顶点的菱形，且为该菱形的一边？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，， 【分析】本题考查了一次函数的解析式的求解，交点坐标的求解，菱形的性质与判定和存在性问题，解决本题的关键熟练运用转化的思想以及运用联立方程的方法求解函数交点坐标． （1）根据一次函数解析式求得交点； （2）根据勾股定理可得，将沿方向平移个单位得到，即沿方向平移长度得到，据此即可解答；根据旋转的性质得到的解析式即可解答； （3）先根据题意做出图形，再根据菱形的性质得到点之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，故， 当时，可得，解得，故； （2）解：如图， 根据勾股定理可得， 将沿方向平移个单位得到，即沿方向平移长度得到， 即为向左平移1个单位，向下平移2个单位， ； 如图，截取，过点作交与点， 将绕点逆时针旋转得到直线，点是上一点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为， 把代入解析式可得， 解得， 故的解析式为， 到轴的距离为2且在第二象限， 把代入， 解得， ， 故答案为：；； （3）解：当为对角线时，如图， 菱形对角线互相垂直且平分， 经过点， ， ； 当为对角线时， ， 设， 四边形是菱形， ， 可得， 解得， 当，如图所示， 根据中点公式可得， ； 当，如图所示， 同理可得， 综上，的坐标为，，． 31．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为定值 (3) 【分析】（1）证明得到，进而证得四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，，证明四边形是平行四边形得到．由（1）知四边形是菱形， 设，利用菱形的性质、矩形性质以及勾股定理分别求得， 即可求解； （3）过C作，且，连接，，四边形是平行四边形，得到，进而可得，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为， 在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：线段的长度为定值， 如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， 设， 在矩形中，，，，， ∴，， 在中，由得， 解得， 在中，，， ∴， ∴，则， 故线段的长度为定值； （3）解：过C作，且，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，综合性强，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用转化思想求解是解答的本题的关键． 32．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）在正方形中，为边上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得．过点作的垂线，垂足为．连接与交于点． (1)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，连接，取的中点，连接．随着点的运动，的长度是否发生变化？若不变，求的值；若变化，求的取值范围； (3)若连接，则的最小值为______． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)不变， (3) 【分析】（1）过点E作于点H，证明，得到，可以得到，，即可得到是平行四边形； （2）连接，交于点O，连接，，根据三角形的中位线定理得到，然后证明，得到，即可利用勾股定理得到的长； （3）先证明，然后得到，即点G在以为直径的半圆Q上移动，即当点G在上时，CG最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由为： 过点E作于点H， ∵是正方形，将绕点P顺时针旋转得 ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴为矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）不变， 如图，连接，交于点O，连接，， ∵， ∴， ∴是正方形， ∴， 又∵的中点为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点G在以为直径的半圆Q上移动，即当点G在上时，CG最小， 这时，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中危险的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 33．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作，交边于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若点为边的中点，求证：平分； (3)当四边形为正方形时，记正方形的面积为，矩形ABCD的面积为．若，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)或． 【分析】（）由，可得四边形为平行四边形，再由即可求证； （）连接，交于点，由矩形的性质可得，得到，又由为边的中点可得为梯形的中位线，得到，即得，得到，即可求证； （）证明，得到，设，，则，可得，，由得，即得，得到，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了矩形的判定和性质，梯形的中位线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）证明：连接，交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴为梯形的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 当时， ∴； 当时，， ∴； ∴的值为或． 34．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线折叠纸片，点A与点E对应，与交于点F． 【任务1】 直接判断的形状为______； 【操作2】 小芳计划折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕，分别与、交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹）②连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片对折，折痕为，然后展开；点P为的一点，再将纸片沿折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在上，再沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上，请说明理由； 【任务4】 若点P为的中点，连接，平移折痕经过点Q，交、、分别于点、、G，求的长． 【答案】任务1：等腰；任务2：①见解析；②四边形为菱形，理由见解析；任务3：见解析；任务4： 【分析】（1）根据等腰三角形的判定方法即可得出答案； （2）①连接，作线段的垂直平分线即可； ②证明，得出，说明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形为菱形； （3）取的中点H，连接，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，即可证明结论； （4） 证明，根据等腰三角形的判定得出，根据即可求出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 任务二：①即为所求作的折痕； ②四边形为菱形，理由见解析； ∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 任务3：取的中点H，连接， 根据折叠可知：，，， ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上； 任务4：∵点P为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，菱形的判定，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 35．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，菱形边长为6，，点P在边上，且，点Q是边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．连接，将线段绕点P顺时针旋转得线段． (1)当点Q与点A重合时，在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段； (2)在点Q运动过程中，求证：点在某一固定线段上运动； (3)直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，连接线段，则线段即为所求； （2）以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，结合菱形边长为6，，得到，继而得到等边，连接，并延长交于点F，根据旋转性质，得，继而得到等边，证明得到，继而得到，从而证明，得到平行四边形，继而得到，得证在点Q运动过程中，点在固定线段上运动； （3）根据菱形边长为6，，，四边形是平行四边形，得，过点D作于点G，则，根据垂线段最短，得到线段的最小值为，最大值为，确定范围即可． 【详解】（1）解：以点A为圆心，以为半径画弧，交于点， 连接线段， 则线段即为所求； （2）证明：以点A为圆心，以为半径画弧，交于点， 连接， ∵菱形边长为6，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 连接，并延长交于点F， 根据旋转性质，得， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在点Q运动过程中，点在固定线段上运动． （3）解：∵菱形边长为6，，，四边形是平行四边形， ∴， 过点D作于点G， 则， 根据垂线段最短，得到线段的最小值为， 最大值为， 故． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，三角形全等的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短是解题的关键． 36．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；（3）四边形为菱形；理由见解析 【分析】分析问题：（1）过点A作于点E，过点D作于点F，得出，根据，，得出，即，得出，证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据平行四边形的判定和性质，进行证明即可； ②根据四边形为平行四边形时，，即可说明此命题是假命题； ③根据四边形为等腰梯形时，，说明此命题为假命题； （3）根据解析（1）可得：，，证明四边形为平行四边形，再证明，，得出，说明四边形为菱形． 【详解】解：分析问题：（1）；理由如下： 过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵，， ∴， ∵为四边形的“对中平分线”， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即； （2）①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故①是真命题；    ②当四边形为平行四边形时，，， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴当四边形为平行四边形，而不是菱形时，，故②是假命题； ③当四边形为等腰梯形时，延长、交于点E，如图所示：    ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴四边形为等腰梯形，， ∴时，四边形不一定是矩形，故③是假命题； 综上分析可知：真命题为①． （3）四边形为菱形；理由如下： ∵四边形有两条对中平分线，分别是，， ∴根据解析（1）可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握特殊四边形的判定方法． 37．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用30°直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴，即， ∴最小值为 试卷第1页，共3页 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $$