特训05 特殊平行四边形 压轴题Ⅳ-坐标应用（十二大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训05 特殊平行四边形 压轴题Ⅳ-坐标应用（十二大题型） 目录： 题型1：存在性问题—矩形、菱形、正方形 题型2：存在性问题—全等、特殊三角形 题型3：角度问题 题型4：（类）旋转中的某点恰好在某边上问题 题型5：已知数量关系求点的坐标 题型6：最值问题 题型7：定值问题 题型8：新定义题 题型9：动点问题 题型10：平移问题 题型11：旋转问题 题型12：翻折问题 题型1：存在性问题—矩形、菱形、正方形 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点．且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，，为直线上一动点，连接，过作，交直线、直线于点、，连接． (1)点的坐标为____________；直线的解析式为____________． (2)当为中点时，求的长． (3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形（且为菱形的一边），若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，，且，P为上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：存在性问题—全等、特殊三角形 4．在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为 （1）求直线的表达式； （2）以线段为边作正方形，点A、B在直线的下方，求点A的坐标； （3）设直线与y轴交于点E，点F在y轴右侧，且与全等，顶点O、A、E分别与顶点O、C、F对应，求的长． 5．以菱形的对角线交点O为坐标原点，所在的直线为x轴，已知，，，P为折线上一动点，作轴于点E，设点P的纵坐标为a． (1)求边所在直线的解析式； (2)设，求y关于a的函数关系式； (3)当为直角三角形时，求点P的坐标． 题型3：角度问题 6．直线l：分别交x轴，y轴于A，B两点， (1)求线段的长； (2)如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线上存在两点C，D，使四边形为正方形，求此时E点坐标和直线的解析式； (3)在（2）的条件下，将绕E点旋转，交直线l于P点，若，求P点的坐标． 题型4：（类）旋转中的某点恰好在某边上问题 7．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图1，当时，求点D的坐标； (2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点，点在轴正半轴上且坐标为，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形． (1)连接，求的面积； (2)如图①，连接交于点，连接，若，求的值： (3)如图②，连接，取的中点，连接，以为邻边作，若点恰好在边上，求的值 题型5：已知数量关系求点的坐标 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴、y轴上，点C的坐标为，在平面内移动一个以点G为直角顶点的三角板(两直角边足够长)，设三角板两直角边，分别与轴、y轴交于点P，Q．    (1)观察猜想 如图1，当点G与点C重合时，与的数量关系是_ ，与的关系是_ ； (2)思考探究 如图2，当点G在对角线上移动时，(1)中的与的数量关系是否仍然成立？若成立，请结合图2给予证明；若不成立，请写出正确结论； (3)拓展应用 如图3，若三角板的直角顶点G在直线上移动，且直角边始终经过点A，当时，请直接写出点Q的坐标． 题型6：最值问题 10．正方形的边长为2，点是线段上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接．    (1)如图（1），建立平面直角坐标系中，为原点，若长度为，求点的坐标； (2)如图（2），探究与的数量、位置关系； (3)连接，直接写出的最小值为__________． 11．如图，已知菱形的边在x轴的正半轴上，对角线相交于点P，直线交y轴于点D，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)点Q是线段上一点（不与点O、D重合），连接，在第一象限内将沿翻折得到，点O的对应点为点E．若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，若有一动点． ①若点T在内部（不包括边），求a的取值范围； ②在平面直角坐标系内是否存在点T，使最大？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7：定值问题 12．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t（s）． (1)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标； (2)若直线与直线相交于点M，且时，． ①求点C的坐标； ②当时，的大小是否发生变化，请说明理由． 题型8：新定义题 13．我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转，得到的对应点设为N，则称点N为点M的“点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点，设点P的“点”为Q．若点，则点P的坐标为_____ （2）问题探究： 如图1，已知点，点D在直线上，若点D的“点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为和，边长为6的正方形以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段上，点N在正方形上，若存在点，使得点M的“点”为点N，请直接写出t的取值范围． 题型9：动点问题 14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动．，同时出发，设运动时间为秒． (1)在时，点坐标　　　，点坐标　　　； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)运动过程中，四边形能否为平行四边形？若能，求出的值；若不能，说明理由． (4)运动过程中，线段上有一点，且，求四边形的周长最小值直接写出答案)． 题型10：平移问题 15．平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 题型11：旋转问题 16．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连结，点，过点D作直线轴．    (1)点A的坐标是______，线段______； (2)证明：四边形是矩形； (3)以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，，，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α． ①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标； ②在四边形旋转过程中，当时，若，直接写出关于m的方程为______． 题型12：翻折问题 17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C． (1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______； (2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标； (3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 特殊平行四边形 压轴题Ⅳ-坐标应用（十二大题型） 目录： 题型1：存在性问题—矩形、菱形、正方形 题型2：存在性问题—全等、特殊三角形 题型3：角度问题 题型4：（类）旋转中的某点恰好在某边上问题 题型5：已知数量关系求点的坐标 题型6：最值问题 题型7：定值问题 题型8：新定义题 题型9：动点问题 题型10：平移问题 题型11：旋转问题 题型12：翻折问题 题型1：存在性问题—矩形、菱形、正方形 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点．且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或或或． 【分析】（）依题意求出点，坐标，求出，求出点， 的坐标，用待定系数法求解析式； （）设，则，由轴可得点的纵坐标为 ，代入一次函数可得点的横坐标为，表示出，求出，根据，可得的值，即可得点的坐标； （）分两种情况：为矩形的边时，为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解． 【解析】（1）由一次函数，令，则，令，则， ∴，，即，， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）设，则， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 将代入一次函数得：， ∴，即点的横坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）为矩形的边时，如图，分别过点作交直线于，作 交直线于，再分别过点、作交直线于，作 交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，，点为线段的中点， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点为线段的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴可设直线的解析式为将代入得：， ∴ ， ∴直线的解析式为， 联立直线得： ，解得 ， ∴， 综上，为矩形的边时，点的坐标为或 ； 为矩形的对角线时，如图， 由（）得，直线的解析式为， 设， ∵， ∴，， 由勾股定理得：，， 解得：或， ∴的坐标为或， 综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时， 点的坐标为或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，，为直线上一动点，连接，过作，交直线、直线于点、，连接． (1)点的坐标为____________；直线的解析式为____________． (2)当为中点时，求的长． (3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形（且为菱形的一边），若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据矩形的性质，垂线的定义，两点确定一条直线可得轴，轴，再由，即可得出点的坐标；由点、分别在轴、轴上，且，，可求得点和点的坐标，设直线的解析式为，将、两点的坐标代入，得二元一次方程组，解之，即可求得直线的解析式； （2）设，可证得，进而在中，根据勾股定理列出方程，解之，即可求出的长； （3）分情况讨论：以、为边时，根据（2）可求得点和点的坐标，进而根据菱形的性质和线段中点坐标的计算求得点的横坐标；以、为边时，延长至，使，在的延长线上截取，连接，可推出平分，从而证得，于是可得，，然后可证得，于是可得，设，在中，根据勾股定理列出方程，解之，即可求得点和点的坐标，然后根据菱形的性质和线段中点坐标的计算求得点的横坐标；以、为边时，此时不再是菱形的边，而是菱形的对角线，这与题中要求“为菱形的一边”不符，故不再讨论此种情况． 【解析】（1）解：四边形是矩形， ，，，， ，， 点、在轴上，点、在轴上， 轴，轴， 又，， 点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的坐标为； 矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，， 点，点， 设直线的解析式为， 代入点、坐标， 得， 将代入，得：， 移项，得：， 系数化为，得：， 直线的解析式为； 故答案为：，； （2）解：为的中点， ， 在矩形中，， ， 又， ， ，， ， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， 即， 将方程展开，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ； （3）解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形（且为菱形的一边）， 分情况讨论： 以、为边时， 则， ， 为的中点，为线段的垂直平分线， 由（2）可知：此时， ， ，， 根据菱形的性质可知：此时，为其对角线的中点，同时也是对角线的中点， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标 ； 以、为边时， 则， 如图，延长至，使，在的延长线上截取，连接， 可知，是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 在中， ， ， ， 根据勾股定理，， ， 将方程展开，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， 假设菱形两条对角线、的交点为点， 根据菱形的性质可知：点同时也是两条对角线、的中点， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标 ； 以、为边时， 又可分为两种情况：点在线段上（如图），或点在线段的延长线上（如图）， 但无论哪种情况，此时都不再是菱形的边，而是菱形的对角线，这与题中要求“为菱形的一边”不符，故此处不再讨论； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，垂线的定义，两点确定一条直线，点到坐标轴的距离，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程，菱形的性质，三线合一，线段中点坐标的计算，三角形中位线定理，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，寻找等量关系，利用勾股定理列解方程是解题的关键． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，，且，P为上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．，， 【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解； （2）根据求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可． 【解析】（1）， ， ，． ∵， ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∴点P的坐标为． 设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得． ∴过点P的反比例函数解析式为． （3）存在． 如图1，当为正方形的对角线时， 过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴． ∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得， ∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得； 如图2，当为正方形的边时， 过点N作于点H， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，当为正方形的边时， 由图2可知，， ∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得， ∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得； 综上可知，点N的坐标为：，，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键． 题型2：存在性问题—全等、特殊三角形 4．在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为 （1）求直线的表达式； （2）以线段为边作正方形，点A、B在直线的下方，求点A的坐标； （3）设直线与y轴交于点E，点F在y轴右侧，且与全等，顶点O、A、E分别与顶点O、C、F对应，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）因为直线经过原点，可以设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意画出草图，如图1，因为，且，所以过和分别作轴的垂线，构造“三垂直”全等模型，求出和长度即可解决； （3）根据题意画草图，可以知道点有两种位置，即在上方和下方，当在上方时，如图2，可以直接利用全等三角形的性质，得到在轴上，且，再利用勾股定理得到的长度，当在下方时，如图3，根据全等三角形的性质，得到在直线上，证得为等腰三角形，过作于，利用勾股定理求得的长度． 【解析】解：（1）设直线为， 代入点得，， 直线的表达式为； （2）如图1，过作轴于，过作轴于， 则， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， 的坐标为， ，， 的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入点，坐标可得，， 解得， 直线为， 令，则， 直线与轴交于点， ， ①如图2，当在下方时， ， ， ， ， 点轴正半轴上， ， 的坐标为， ， ②如图3，当在上方时， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，，，四点共线， 又， ， 过作于， ， ， ， ， ，， ， 或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，同时，解决本题的关键是根据题意画出草图，第2题和第3题都涉及到了画图问题，要仔细辨别点的位置，当点的位置不确定时，一定要注意要分类讨论，比如第3问只说明了在轴右侧，所以要根据在上方和下方展开讨论． 5．以菱形的对角线交点O为坐标原点，所在的直线为x轴，已知，，，P为折线上一动点，作轴于点E，设点P的纵坐标为a． (1)求边所在直线的解析式； (2)设，求y关于a的函数关系式； (3)当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为（，）， 【分析】（1）先确定出，再利用菱形的性质得出，最后用待定系数法即可确定出直线解析式； （2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式； （3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标． 【解析】（1）解：∵，∴， ∵四边形是菱形，∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）由（1）知，， ∴直线的解析式为， 由（1）知，直线的解析式为， 当点P在边上时，设， ∵， ∴ 即， 当点P在边上时， ∵点P的纵坐标为a， ∴， ∵， ∴， 即； 综上所述： ； （3）①当点P在边上时，即：，由（2）知，， ∵， ∴，，, ∵是直角三角形，易知，最大， ∴， ∴， ∴（舍）； ②当点P在边上时，即：时，由（2）知，， ∵， ∴，，， ∵是直角三角形，分两种情况讨论： Ⅰ、当时， ∴， ∴， ∴， ∴； Ⅱ、当时，， ∴（舍）或，∴P（，）， 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为（，），． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理逆定理，两点间的距离公式，待定系数法，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是分类讨论的思想，解（3）的关键是分两种情况，利用勾股定理逆定理建立方程求解，是一道中等难度的题目． 题型3：角度问题 6．直线l：分别交x轴，y轴于A，B两点， (1)求线段的长； (2)如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线上存在两点C，D，使四边形为正方形，求此时E点坐标和直线的解析式； (3)在（2）的条件下，将绕E点旋转，交直线l于P点，若，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或 【分析】（1）由直线解析式可得A，B点坐标，可求出的长； （2）过点C作于G，证得，可得，，则，过点D作于H，求出直线的解析式，则可求出点E的坐标； （3）①当P在x轴上方时，设，过点E作交于Q，过点P作轴于G，过点Q作轴于H，证得，②当P在x轴下方时，由点P关于x轴的对称点，可求出直线的解析式，可求出P点坐标． 【解析】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴． （2）过点C作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过点D作于H， 同理可得，， 设：， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为y． 令，则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线AD的解析式为； （3））①当P在x轴上方时，设， 过点E作交于Q， ∴， ∴， 过点P作轴于G，过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将，代入中， 得， 解得， ∴． ②当P在x轴下方时，可得当旋转后，过①中点P关于x轴的对称点时， ， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：． ∴． 综合以上可得点P的坐标为或． 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型4：（类）旋转中的某点恰好在某边上问题 7．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图1，当时，求点D的坐标； (2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【解析】（1）解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； （3）连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点，点在轴正半轴上且坐标为，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形． (1)连接，求的面积； (2)如图①，连接交于点，连接，若，求的值： (3)如图②，连接，取的中点，连接，以为邻边作，若点恰好在边上，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）由四边形为矩形，，，得，，由旋转得，，，则轴，，所以； （2）①连接，由，，根据勾股定理得，由矩形的性质得，而，则，所以； （3）由平行四边形的性质得，，所以，由是的中点，得，则，根据三角形的中位线定理得，则，所以． 【解析】（1） 解：如图，连接、， 四边形为矩形，，， ，，， 将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ，，， 轴，， ， 的面积是8． （2） 解：如图①，连接， ，， ， 四边形是矩形，、交于点， ， ， ， ， ， ∴， 的值是． （3） 解：如图②， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 解得， 的值是． 【点睛】 此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、旋转的性质、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 题型5：已知数量关系求点的坐标 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在x轴、y轴上，点C的坐标为，在平面内移动一个以点G为直角顶点的三角板(两直角边足够长)，设三角板两直角边，分别与轴、y轴交于点P，Q．    (1)观察猜想 如图1，当点G与点C重合时，与的数量关系是_ ，与的关系是_ ； (2)思考探究 如图2，当点G在对角线上移动时，(1)中的与的数量关系是否仍然成立？若成立，请结合图2给予证明；若不成立，请写出正确结论； (3)拓展应用 如图3，若三角板的直角顶点G在直线上移动，且直角边始终经过点A，当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明，得，，即可得出结论； （2）过点G作于点M，于点N，证明，即可得出结论． （3）分两种情况：①当点Q在y轴的负半轴上时，当点Q在y轴的正半轴上时，分别求解即可． 【解析】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵，点G与点C重合， ∴， ∴， ∴ ∴， 即； ∵， ∴， 即． （2）解：成立．过点G作于点M，于点N，如图，    ∵是正方形的对角线， ∴平分， ∵于点M，于点N， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ； （3）解：∵正方形，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况：①当点Q在y轴的负半轴上时，过点G作于点M，于点N，如图，    ∴， 由（2）同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得， ∴， ∴， ∵点Q在y轴的负半轴 ∴； ②当点Q在y轴的正半轴上时，过点G作于点M，于点N，如图，    ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∵点Q在y轴的正半轴上， ∴， 综上，当时，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，点的坐标，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型6：最值问题 10．正方形的边长为2，点是线段上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接．    (1)如图（1），建立平面直角坐标系中，为原点，若长度为，求点的坐标； (2)如图（2），探究与的数量、位置关系； (3)连接，直接写出的最小值为__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作延长线于点，由正方形的性质证明可得即可求出点的坐标； （2）延长交于点，由正方形的性质可证明，得到，再由平行线可得即可根据得到； （3）过点作轴垂线，易得，故点在直线上，作关于直线的对称点，可得，当三点共线时最小，最小值即为线段得长度． 【解析】（1）过点作延长线于点，   四边形是边长为2的正方形， ， ， ∵长度为， ∴ 又四边形为正方形， ， ， 又， ∴， ． （2）．证明如下：   四边形和四边形是正方形， ， ， ， 延长交于点， 则有 ∵， ， 又， ， ， ， （3）过点作轴垂线，则    ∴， ∴点在直线上， 作关于直线的对称点， 由（2）得， 当三点共线时最小，最小值即为线段得长度． ∵ ∴最小值为． 【点睛】本题是正方形综合题，其中涉及到正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．利用数形结合是解题的关键． 11．如图，已知菱形的边在x轴的正半轴上，对角线相交于点P，直线交y轴于点D，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)点Q是线段上一点（不与点O、D重合），连接，在第一象限内将沿翻折得到，点O的对应点为点E．若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，若有一动点． ①若点T在内部（不包括边），求a的取值范围； ②在平面直角坐标系内是否存在点T，使最大？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)①，② 【分析】（1）如图1：过点B作轴于点F，由菱形的性质得到，设，在中，根据勾股定理求出，得到，设直线的解析式的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）由翻折得：，，根据菱形的性质得到，如图2：过点P作，垂足分别为M，N，证明，四边形是矩形得到，即可求出线段的长； （3）①由点T坐标得到点T是直线上的一点，当时，，求出直线的解析式，得到直线与直线的交点坐标为，由此得到若点T在内部（不包括边），则a的取值范围是；②做Q或者E关于直线的对称点，再根据三点共线列出方程组求解即可． 【解析】（1）解：如图1：过点B作轴于点F， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设，在中，， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式的解析式为， ∴，解得∶， ∴直线的解析式的解析式为． （2）解：由翻折得，， ∵菱形的对角线相交于点P，点B的坐标为． ∴， 如图2：过点P作，垂足分别为M，N， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：①如图3： ∵点， ∴点T是直线上的一点， ∵， ∴当时，， 设直线的解析式为， ∴，解得∶， ∴， 解方程组，得∶ ∴直线与直线的交点坐标为， ∴若点T在内部（不包括边），则a的取值范围是． ②存在，如图4∶ 由点T是直线上的一点，则， 如图：作直线交y轴于N，交于M，连接 设直线∶，由（1）可知，点， 则：，解得：， ∴， 与联立可得： ，解得：， ∴， ∵， ∴M为的中点， ∵， ∴，即轴， ∴， 由（2）可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵轴， ∴即， ∴， ∴当三点共线时，在中，由三角形的两边之和大于第三边可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴当点Q，T，E共线时， 如图：延长交直线于点，此时：，即有最大值， ∴当T取位置时，取最大值． 设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵为直线与直线的交点， ∴，解得：，即， ∴， ∴存在点T，坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合、待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理、两条直线的交点坐标、菱形的性质、三角形三边关系的应用等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 题型7：定值问题 12．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t（s）． (1)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标； (2)若直线与直线相交于点M，且时，． ①求点C的坐标； ②当时，的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不会改变，见解析 【分析】（1）过点作于点Q，设，则，由勾股定理解求出，再利用面积法求出，利用待定系数法求出的函数表达式，即可求解； （2）①连接，根据和对称，可得，结合，得出，再证，推出，即可求解； ②分和两种情况，利用折叠的性质及全等三角形的性质分别证明即可． 【解析】（1）解：如图，过点作于点Q， ∵矩形OABC中，，， ∴，， ∴， 由对称得，，则， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴点的横坐标为， 设的函数表达式为， 将代入得：， ∴的函数表达式为， 将代入得：， ∴； （2）解：①连接， ∵，， ∴，， ∵和对称， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②（Ⅰ）当时， ∵，， ∴， （Ⅱ）当时，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵，，， ∴，即． 综上：不会改变． 【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正比例函数、矩形的性质等知识点，利用折叠的性质找出全等三角形是解题的关键． 题型8：新定义题 13．我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转，得到的对应点设为N，则称点N为点M的“点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点，设点P的“点”为Q．若点，则点P的坐标为_____ （2）问题探究： 如图1，已知点，点D在直线上，若点D的“点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为和，边长为6的正方形以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段上，点N在正方形上，若存在点，使得点M的“点”为点N，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）；（2）点D的坐标为或；（3）t的取值范围是或 【解析】本题主要考查了一次函数综合题，合理运用旋转的性质，旋转的坐标变换以及全等三角形的判定与性质是本题解题的关键. （1）连接， 过作 轴于，过作 轴于，根据全等三角形的判定与性质求解； （2）根据坐标轴的不同分类讨论，根据（1）的方法求解即可； （3）根据与轴的位置关系分类讨论，求出点的坐标，然后根据在不同边上时，点坐标的取值来分类讨论求解即可. 解：（1）连接， 过作轴于，过作 轴于， 如图： 由旋转的性质可知， ， ， 又 ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①若点的“点”在轴上， 如图： 则 ， 代入直线方程得，， ； ②若点的“点”在轴上， 如图： 由（1）知，， ， ∴； 综上所述，或； （3）设直线的表达式为： 直线EF所在直线的表达式为．     设点，其中． 当点T在x轴上方时，如图． 分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为，， 易证，， ∴点． ①若点N落在CD上， 则且， 而，则． ②若点N落在AD上， 则且， 而，则， ∴．     当点T在x轴下方时，如图． 同理可得点． ①若点N落在AB上， 则且， 而，则． ②若点N落在BC上， 则且． 而，则． 综上所述，t的取值范围是或． 题型9：动点问题 14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动．，同时出发，设运动时间为秒． (1)在时，点坐标　　　，点坐标　　　； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)运动过程中，四边形能否为平行四边形？若能，求出的值；若不能，说明理由． (4)运动过程中，线段上有一点，且，求四边形的周长最小值直接写出答案)． 【答案】(1)， (2) (3)能， (4) 【分析】（1）根据已知得出，，，根据当时，，，即可求解； （2）当四边形是矩形时，，则根据题意列出方程即可求解； （3）当四边形是平行四边形时，，则根据题意列出方程即可求解； （4）作点关于直线的对称点，将点向左平移个单位得到点，连接，交于点，点向右个单位得到点，则四边形是平行四边形，此时，四边形的周长最小，根据四边形的周长为最小，勾股定理求得，即可求解． 【解析】（1）解：，， ，，， 当时，， ， ， 点，； 故答案为：；； （2）当四边形是矩形时，， ， 解得秒， 故秒时，四边形是矩形； （3）存在秒时，四边形能为平行四边形． 理由如下：四边形是平行四边形时，， ， 解得：秒， （4）如图所示，作点关于直线的对称点，将点向左平移个单位得到点， 连接，交于点，点向右个单位得到点， 则四边形是平行四边形，此时，四边形的周长最小， 理由：四边形的周长 为最小， 由点得，， 则四边形的周长最小为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，轴对称求线段和的最值问题，综合运用以上知识是解题的关键． 题型10：平移问题 15．平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线都经过x轴上点A (1)如图1，若直线过点C，求直线的解析式和点A的坐标 (2)如图2，将线段沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线和直线上，当时，请你判断四边形的形状，并说明理由 (3)如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形，且．直线经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由 【答案】(1)， (2)四边形是菱形，见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据与x轴、y轴分别交于点B、C，，得到，，设直线的解析式为，把代入求解即可． （2）当时，，根据点M在直线上，不妨设，结合，可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到，结合，得到，根据点N在直线上，得到，后利用两点间距离公式，计算邻边长度，判定形状即可． （3）先证明，是等边三角形，再证明，根据全等的性质得到，设直线与y轴的交点为H，确定，，利用直角三角形的性质，一次函数过点的意义解答即可． 【解析】（1）解：∵不论k为何值，直线：都经过x轴上点A， ∴有无数解， ∴， 解得， ∴ ∵与x轴、y轴分别交于点B、C，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入得， 解得； ∴直线的解析式为． （2）解：四边形是菱形．理由如下： 当时，直线， ∵点M在直线上， 不妨设， ∵， ∴可看做向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∵， ∴， ∵点N在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 根据平移的性质，得四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． （3）解：k的值不变，且．理由如下： ∵，点P由点C向下平移个单位得到， ∴， 连接， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 连接， ∵四边形是菱形，且． ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线与y轴的交点为H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故k的值不变，且． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平移，直线过点的意义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直线过点的意义是解题的关键． 题型11：旋转问题 16．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连结，点，过点D作直线轴．    (1)点A的坐标是______，线段______； (2)证明：四边形是矩形； (3)以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，，，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α． ①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标； ②在四边形旋转过程中，当时，若，直接写出关于m的方程为______． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)①，②或 【分析】（1）联立两个一次函数解析式构建方程组，解方程组即可得到点A的坐标，再求出点B的坐标，利用两点间距离公式即可求出线段的长； （2）先根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （3）①先证明得到，，设，则，然后在中，利用勾股定理求解即可；②分两种情况：如图3，当点在线段上时，过点作，证明，然后在中，利用勾股定理得出方程；如图4，当点在直线上时，此时点与点重合，点在线段的延长线上，在中，利用勾股定理即可得出方程． 【解析】（1）解方程组，得， ∴点A的坐标是． 把代入，得， ∴点B的坐标是． ∴． 故答案是，； （2）如图1，∵线段沿着方向平移得到线段， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． （3）①如图2，∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∴． ∴点P的坐标是． ②如图3，当点在线段上时，过点作，    又∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． 整理得：． 如图4，当点在直线上时，此时点与点重合，点在线段的延长线上，    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴此时． 在中， ∵， ∴，即． 故答案是或． 【点睛】本题是函数与几何动点问题的综合题，主要考查了一次函数的交点问题，两点间距离公式，矩形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握相关知识，根据题意画出正确的图形，并作出辅助线． 题型12：翻折问题 17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C． (1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______； (2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标； (3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______． 【答案】(1)， (2)（，6） (3)（，0）或（，0） 【分析】（1）求出，两点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，设直线的解析式，把点，的坐标代入，可得出结论． （2）判断出点与点重合，可得出结论． （3）分两种情形：平分，平分的邻补角，分别求解即可． 【解析】（1）∵直线交轴于点，交轴于点， ∴，， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得到  ， ∴ ， ∴直线的解析式为，        故答案为：，． （2）∵四边形是菱形， ∴ ， ∴ 点 与重合， ∴点M的横坐标为 ∵M在直线DC上 ∴； （3）如图（3）中， ∵当时，点落在直线上， 此时平分， 过点作于点，则，设， 则， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当平分的邻补角时，也满足条件， 同理可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，三角形的面积，角平分线的性质定理，熟练掌握这些性质和学会分类讨论的思想思考问题是解决本题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$