专题8.1 与三角形有关的线段（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（华东师大版2024）

专题8.1 与三角形有关的线段 · 典例分析 【典例1】【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． （1）【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． （2）【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【思路点拨】 本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【解题过程】 （1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． · 学霸必刷 1．如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 2．如图，是的中线，O是上一点，，连接并延长交于点E．若的面积为12，则的面积是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 7．如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，已知、分别为的边、的中点，连接，为的中线，连接，若，四边形的面积为，则的边上高长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 10．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为 ． 12．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为3，则的面积为 ． 13．如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为7时，线段长度的最小值为 ． 14．如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接交于点O，记的面积为，的面积为，若，，则 ． 15．如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 16．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于，则阴影部分的面积是 ． 17．如图，在中，点、、、分别是边、、、的中点，若，则 ． 18．如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 19．如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为 ． 20．在中， ，， ，点是中点，点在上，且，，相交于点，则四边形的面积为 ． 21．如图，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．若的面积等于面积的一半，则 s． 22．如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 23．已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 24．如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 25．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 26．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 27．【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． （1）图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； （3）图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 28．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 与三角形有关的线段 · 典例分析 【典例1】【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． （1）【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． （2）【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【思路点拨】 本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【解题过程】 （1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． · 学霸必刷 1．如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【思路点拨】 本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【解题过程】 解：作于点，如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 2．如图，是的中线，O是上一点，，连接并延长交于点E．若的面积为12，则的面积是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．连接，利用三角形的中线平分三角形的面积得，，再根据等高的三角形面积关系得到，，设，则，由列方程求得x值即可． 【解题过程】 解：如图，连接， 是的中线，的面积为12， ，， ， ，， ∴， 设，则，， 由得， 解得， 的面积为． 故选：C． 3．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【解题过程】 解：∵是的中线， ∴，故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，是的高， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴，即：；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 4．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系和不等式的性质解答． 【解题过程】 解：由三角形两边的和大于第三边， ；， A、B选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， ， ． C选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， D项无法推出，符合题意． 故选D． 5．如图，在中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】 本题考查了与三角形中线有关的面积问题，由为中点得，设，，则，．由得，由得，可得，进而可求出的值． 【解题过程】 解：如图，连接． ∵为中点， ∴， ∴， 设， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 6．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即为， 故选：C． 7．如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】 本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系． 由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案． 【解题过程】 解：连接． ∵， ∴， ∵两个三角形有公共底，且面积相等， ∴高相等， ∴， 从而可得：， ∴， 又， ， 即， 故选：C． 8．如图，已知、分别为的边、的中点，连接，为的中线，连接，若，四边形的面积为，则的边上高长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，连接，设，边上高长为，由三角形中线的性质得，，即得，，进而得，，即得到，再根据四边形的面积为得，解得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【解题过程】 解：连接，设，边上高长为， ∵为的中线， ∴点为的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 故选：． 9．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【思路点拨】 连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【解题过程】 解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A． 10．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了中线与面积，平行线间的距离．熟练掌握中线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 由，可得，设，则，，如图1，连接，，由点是线段的中点，可得，，可判断①的正误；，由点是线段的中点，可得，，则，可判断②的正误；，设到的距离为，到的距离为，则，即，由，，可得，则，由，可得，可判断③的正误；由，，可判断④的正误． 【解题过程】 解：∵， ∴， 设，则，， 如图1，连接，， ∵点是线段的中点， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， 设到的距离为，到的距离为， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：C． 11．如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形中线的性质，根据题意得出的面积为，进而得出则，根据平行线之间的距离相等得出的面积为，进而求得，即可求解． 【解题过程】 解：∵点为的中点． 、的面积分别为， ∴的面积为 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴的面积 的面积 ∴ ∴ ∴的面积为 故答案为：． 12．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为3，则的面积为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了三角形中线的性质，连接，由三角形中线平分三角形面积得到，，进而得到，再求出，据此可得答案． 【解题过程】 解：如图所示，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 13．如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为7时，线段长度的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【解题过程】 解：如图：连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接交于点O，记的面积为，的面积为，若，，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质、三角形中线的性质、三角形面积等知识点，掌握平行线间的距离相等成为解题的关键． 连接，根据平行线的性质可得、边上的高相等，即；再根据三角形中线的性质可得，根据图形可得、，最后代入作差即可解答． 【解题过程】 解：如图：连接， ∵， ∴，边上的高相等， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 故答案为：3． 15．如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形的中线，三角形的中线是连接三角形的一个顶点和这个点对边中点的线段，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，解决本题的关键是根据高相等的两个三角形的面积比等于它们的底边的比．根据是的中线可得，根据可得，根据点、分别是、的中点可得，从而可得． 【解题过程】 解：是的中线， ， ， ，， 又、是的中线， 点、分别是、的中点， ，， ． 故答案为： ． 16．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于，则阴影部分的面积是 ． 【思路点拨】 本题考查了中线平分面积，理解并掌握中线的性质，是等高三角形，是等高三角形是解题的关键． 根据是边的中线，的面积等于，可得， 设点到的高为，点到的高为，可得，根据分别是的中点，，，由，代入计算即可求解． 【解题过程】 解：∵是边的中线，的面积等于， ∴， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9 ． 17．如图，在中，点、、、分别是边、、、的中点，若，则 ． 【思路点拨】 本题考查三角形中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此解答即可． 【解题过程】 解：设， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， ∴， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 18．如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 【思路点拨】 本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积． 【解题过程】 解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 19．如图，在中 ，是的中线，E 是上的一点，连接交于点F，若，记的面积为，四边形的面积为，则 的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了中线与三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据是的中线，得，，，再结合，得，设，，，即，运用面积的关系得，则 ，即可作答． 【解题过程】 解：连接，如图所示： ∵是的中线， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 则设， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， ∵ ∴ ∴四边形的面积为 ∵记的面积为，四边形的面积为， 即 ， ∴， 故答案为：． 20．在中， ，， ，点是中点，点在上，且，，相交于点，则四边形的面积为 ． 【思路点拨】 先求出，根据点F是的中点得，，设，则，，根据得，，设，则，，，进而得，由此得，然后求出，进而得y，从而求出四边形的面积． 此题主要考查了三角形的面积，理解等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 【解题过程】 解：连接， 在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴设， ∴，， ∵， ∴，， 设，则，如图所示： ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 21．如图，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．若的面积等于面积的一半，则 s． 【思路点拨】 本题考查了三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答． 【解题过程】 解：如图，当P在上， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴； 当P在上时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t为5.5或9.5时，的面积等于面积的一半． 故答案为：5.5或9.5． 22．如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 【思路点拨】 考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明． 【解题过程】 解：，理由如下： 延长交于点F、延长交于G， 在中：①， 在中：②， 在中：③， ∵， ∴①②③得： ， 即：， ， ∴． 23．已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 【思路点拨】 本题考查平行线间的距离，与三角形的高有关的计算，根据同高三角形的面积比等于底边比求出，根据，四边形的面积，得到与四边形的面积之差为，进行求解即可． 【解题过程】 解：∵梯形的面积是36，，是上一点， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， 四边形的面积， ∴与四边形的面积之差为， ∵， ∴， ∴与四边形的面积之差为． 24．如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 【思路点拨】 本题主要考查了求三角形面积，弄清楚三角形间的面积关系成为解题的关键． 如图：连接，易得，根据可得，，再证明、，进而得到，最后根据三角形面积的和差即可解答． 【解题过程】 解：如图：连接，， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【思路点拨】 本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【解题过程】 解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【思路点拨】 （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 【解题过程】 解：（1）如图，过点A作， 则， ∵， ∴．                （2）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴．                   （3）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 27．【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． （1）图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； （3）图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【思路点拨】 本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【解题过程】 （1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 28．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【思路点拨】 本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【解题过程】 解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$