精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期5月份高考模拟预测数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期5月份高考模拟预测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简,利用二次函数的性质化简，即可利用交集的定义求解. 【详解】由可得， 当时，则，故， 因此， 故， 故选：C 2. 已知复数，且，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数相等得，进而再求复数模即可. 【详解】解；因为复数， 为实数， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：C 3. 在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形可得，再根据平面向量的线性运算与数量积的运算性质即可得结论. 【详解】 在等边中，， 由于点M为AB的中点，点N满足， 所以. 故选：D. 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 18 C. 23 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当时，，当时，，从而确定当时，取得最大值，求出答案. 【详解】设公差为，则，， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：D 5. 已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】由可得对应的正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得结果. 【详解】由，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 6. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】先求无限制条件的方法数，再减去不符合题意的方法数即可求解. 【详解】从6人中任选3人，有种选法， 其中，若全选男生或全选学生，有种选法， 所以符合题意的选法为种. 故选：C 7. 已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性、不等式的性质及基本不等式比较大小. 【详解】由，得，即，则， 由，得，即，则， ，则， 因此，所以，即. 故选：D 8. 如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为4，得， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，． 由余弦定理可得，． 此时，所以截面面积最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数进行求导，得出函数的单调性，通过讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】， 令,即，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，或,函数单调递减； 因为函数在区间上是单调函数，所以有以下两种情况： 当时, 则 ，解得；故A正确，B错误； 当时, 则，解得.故C、D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，故A错误； 对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点， 当时，，则，此时函数单调递增， 当时，，此时函数有极小值点，无极大值点， 综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误. 故选：BC. 11. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意， ，， 为钝角，A选项错误. ， ，B选项正确. ，由正弦定理得， ，， 由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确. ， ， 整理得， 由于为钝角，，所以， 当且仅当时等号成立. 所以，D选项错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，，则直线的方程为______，的面积为______. 【答案】 ①. 或 ②. 12 【解析】 【分析】根据条件，得到，设直线的方程为，，，利用抛物线的定义得到，进而求出，即可求出直线的方程，再联立抛物线方程，求出，再利用，即可求出结果. 【详解】由焦点为，得，解得，则， 设直线的方程为，，， 若，， 则，由，得，解得， 因为点在抛物线上，所以，解得，则， 将点的坐标代入直线方程，得，解得， 故直线的方程为，即； 若，，则，由，得，解得， 因为点在抛物线上，所以，解得，则， 将点的坐标代入直线方程，得，解得， 故直线的方程为，即； 由对称性，求解面积时不妨设，， 将代入中，得，则，所以. 故， 故答案为：或，. 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 14. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【小问1详解】 因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 16. 某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？ （2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望. 【答案】（1）分 （2） . 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图，可得答案； （2）写出变量的可能取值，分别求得概率，写出分布列，利用期望公式，可得答案. 【小问1详解】 成绩在区间的比例为：； 成绩在区间的比例为：， 因此分位数位于区间； 因此入围分数为：，因此入围分数应设为分. 【小问2详解】 在这六个人中，有两人的分数在分及以上，因此， ，，， 变量的分布列为： 所以的数学期望为. 17. 如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，. （1）求证：平面. （2）点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD， 则平面.又平面，则； 又在等腰梯形，如下图，作， 由题可知，，又， 则，结合，得. 因为， 所以.又平面，平面，， 则平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质可得，利用题目条件结合图形，勾股定理可得，即可证明结论； （2）如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用点在直线上，引入参数，可表示出M坐标，后由平面MCD，可得M坐标，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为原点建立空间直角坐标系. 则，又由（1）可得 . 因在直线，则， 则，即. 则. 又，平面MCD，则. 得.则，. 又由（1）得，可取为平面的一个法向量，， 设与平面所成角为，则. 即与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性. 【小问1详解】 当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 19. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定、，即可求解 （2）①根据直线与椭圆相切于第一象限内的点，求出，再根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，由此可求；②根据已知条件与平行关系确定，由平行四边形确定，再结合，得，分两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意，从而，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：， 解得：（由条件可知：k，m异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因为A，C两点关于原点对称，所以，所以，， 所以． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 于是， 由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形， 则还需，即， 由①可知：，所以． 又，， 所以， 由可得：， 又，所以，即， 当时，； 当时，． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期5月份高考模拟预测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，且，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 4 3. 在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 18 C. 23 D. 25 5. 已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.1 6. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 20种 7. 已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（ ） A. B. C. 3 D. 4 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 11. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，，则直线的方程为______，的面积为______. 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 16. 某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？ （2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望. 17. 如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，. （1）求证：平面. （2）点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 19. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $