专题06 解析几何小题考前冲刺训练-2025年上海高考数学考前重点专题分题型冲刺训练

专题06 解析几何小题专题 上海高考中的解析几何的考查注重基础知识与综合能力的结合，在填空、选择题中，直接考查圆锥曲线的标准方程、离心率、焦点、准线、渐近线等几何性质，也常常与解三角形、向量等内容交汇，题目设计强调数形结合。 类型一：考查直线的方程、两直线的位置及点到直线的距离公式 👉知识点梳理： 1. 与平面直角坐标中直线有关的重要的量 (1)倾斜角：当直线与轴相交于一点时，将轴绕点A沿逆时针方向旋转到与重合时所转过的最小正角称为直线的倾斜角；当平行于轴或与轴重合时，规定倾斜角.于是，倾斜角的取值范围为。 (2)斜率：当直线不与轴垂直时，定义它的斜率为，其中为的倾斜角；当直线与轴垂直时，斜率不存在。过两点与 ()的直线的斜率是； (3)截距：直线与轴交点的纵坐标称为直线在轴上的截距；直线与轴交点的横坐标称为直线在轴上的截距。 2. 直线的各种形式的方程 (1)直线的点斜式方程：过点且斜率为的直线的方程是 (2)直线的斜截式方程：斜率为且在轴上的截距为的直线的方程是. (3)直线的两点式方程：经过两点、 (且)的直线的方程是 (4)直线的点法式方程：过点且一个法向量为的直线的方程是 . (5)直线的一般式方程：直线一般形式的方程是，其中不同时为 零，这个方程的一次项系数给出了它的一个法向量。 3. 两条直线的位置关系 给定两条直线与(不同时为零，不同时为零). (1)直线相交、平行与重合：与相交、平行或重合取决于方程组 解的情况： 1 与重合方程组有无数组解存在，使得，且； 2 方程组无解存在，使得，但； ③与相交 方程组有唯一的解。 (2)两条直线垂直的充要条件：；如果两条直线的斜率与 都存在,那么. (3)两条直线的夹角：与的夹角的余弦公式为 4. 点到直线的距离：点到直线 (不同时为零)的距离为 1．直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】由直线方程求斜率，根据斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为， 所以， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故答案为：. 2．已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为 【答案】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【详解】直线1的一个法向量，则该直线的斜率为，直线过， 由点斜式得到直线方程为,化简得到一般方程：. 故答案为：. 3．若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 【答案】 【分析】求出圆心坐标，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为， 因为直线与直线平行，且经过圆的圆心， 所以，直线的方程为. 故答案为：. 4．若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 5．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当与直线垂直时，点与动点P之间距离|AP|有最小值，通过计算点A到直线的距离即可求解. 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 6．直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 类型二：考查圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系 👉知识点梳理： 1. 定义：平面上到一定点的距离等于定长(大于零)的点的轨迹，叫做圆。 2．圆的方程： (1)圆的标准方程是，其中是圆心坐标，为圆的半径。 (2)圆的一般方程是. 3. 直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离，判断直线与圆的位置关系除了比较圆心到直线的距离和半径的大小外，还可以通过求解联立方程组 并讨论其解的个数来解决。 4. 两个圆的位置关系，可以通过比较圆心距与两圆半径的大小来判断两圆内含、内 切、相交、外切与外离；也可以通过联立方程组并讨论其解的个数来判断两圆相离、相切与相交。 7．设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 8．已知圆的周长为，则实数的值为 . 【答案】-3 【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值. 【详解】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 9．已知圆的方程为，其面积为，则 . 【答案】 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果. 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 10．直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 11．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 类型三：考查椭圆、双曲线、抛物线的基本性质 👉知识点梳理： 1. 椭圆 (1)平面上到两个定点、的距离之和等于常数 ()的点的轨迹叫做椭圆, (2)椭圆的焦点在轴上时，其标准方程是；椭圆的焦点在轴上时,其标准方程是. (3)椭圆有两条对称轴，椭圆的扁平程度取决于其离心率，其中. 2. 双曲线 (1)平面上到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数 ()的点的轨迹叫做双曲线， (2)双曲线的焦点在轴上时，其标准方程是双曲线的焦 点在轴上时，其标准方程是, (3)双曲线有两条对称轴，其离心率，其中，并有两条渐近线. 3. 抛物线 (1)平面上到一个定点和到一条定直线 (不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (2)顶点在坐标原点的抛物线，焦点在轴的正、负半轴时，其标准方程分别为（焦点为），（焦点为）；焦点在轴的正、负半轴时，其标准方程分别为（焦点为），（焦点为）. (3)抛物线有且只有一条对称轴，离心率. 12．抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 【答案】/0.25 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 13．已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为，进而得到，化简即可求解. 【详解】由题意知：抛物线的准线为，设点 ， 则P到y轴的距离为， 由抛物线的定义得，P到抛物线C的焦点的距离为， 即，化简得. 故答案为：. 14．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可. 【详解】设抛物线为， 因为准线为，则，所以， 所以. 故答案为：. 15．设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 16．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 17．双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先根据双曲线的定义求，再根据的关系求，再利用求双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义可得：，所以. 又，所以. 所以双曲线的离心率为：. 故答案为： 18．以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程、离心率及右焦点坐标，再利用圆的切线性质列式计算得解. 【详解】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点， 依题意，，所以. 故答案为： 类型四：考查圆锥曲线中线段的最值问题 👉知识点梳理： 1. 可以转化为两点之间，线段最短解决； 2. 可以转化为点到直线的距离来解决； 3. 如果是涉及焦点弦的问题，可以结合圆锥曲线的定义进行转化； 4. 可以借助两点间的距离公式，用代数式表示线段的长度，转化为函数的最值问题来解决. 19．已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】 【分析】求出圆心和直线l经过的定点，计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线l过定点，则圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 20．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 21．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：. 22．已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 23．设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得． 【详解】由题可设，， 则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为， 因为曲线的导函数为，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 24．已知实数满足：，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义转化为直线与圆上点的距离最小值求解. 【详解】设，则，由，， 得点在单位圆上，且， 即，则为等边三角形，， 可视为点到直线：的距离与之和， 当点在直线同侧时， 设，或， 当时，，则， ，， ， ， 于是 ， 由，得，，； 当时，，则， ，， ， ，，； 当点在直线异侧时（包括点之一在直线上）， 过分别作，垂足为，令直线与直线的夹角为， ，    所以的最小值为. 故答案为： 类型五：考查圆锥曲线与解三角形的综合 👉知识点梳理： 1. 结合圆锥曲线的定义、性质考查勾股定理、正弦定理、余弦定理； 2. 主要涉及以下两类问题： （1）已知圆锥曲线的方程，结合圆锥曲线的定义及性质，通过解三角形求线段的长度，角或三角函数值，三角形的面积等问题。 （2）已知三角形的线段长、角度或面积等，求圆锥曲线方程的参数或其性质，如离心率、渐近线等. 25．已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示：    在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 26．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 【答案】/ 【分析】设，由椭圆的定义得，利用余弦定理求得，再由正弦定理即可求得，继而得到. 【详解】如图，设，则，因，故，    由余弦定理，， 即， 将代入，整理得：， 解得，则有，， 由正弦定理：，即， 解得， 因，故. 故答案为：. 27．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为，根据勾股定理计算，然后利用及解方程求解即可. 【详解】如图， 取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以， 因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线， 可得.又， 所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：5 28．设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设及图知，且，， 所以，则， 所以，即，可得（负值舍）. 故答案为： 29．已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 30．已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，    则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 31．已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，，，再由余弦定理计算得出，利用椭圆的定义即可求出离心率. 【详解】椭圆，左焦点， 设右焦点为，连接，, 如下图所示： 由圆可知圆心，半径， 显然，， 过左焦点作直线与圆的相切于点， 可知， 因此可得，可得， 所以，， 即可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 又，即， 因此离心率. 故答案为：. 类型六：考查圆锥曲线与向量的综合 👉知识点梳理： 1. 考查圆锥曲线上点的向量垂直或夹角问题，通过向量数量积来表示几何条件； 2. 结合圆锥曲线的定义及性质，考查向量的模长. 32．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ． 【答案】 【分析】首先求出、，设，根据数量积的坐标表示及，求出点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】椭圆，则、， 设，因为，即， 即，又，解得，不妨取， 则的方程为，由，解得或， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 33．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系，结合向量的加法法则，即可求解. 【详解】由可知， 因为， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 34．已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 35．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 类型七：考查圆锥曲线与数学建模的综合 👉知识点梳理：在上海高考数学中，圆锥曲线与数学建模的综合考察通常以实际问题为背景，需要根据条件建系，写出圆锥曲线的方程，结合其几何性质及代数运算，求路程最短、或成本最小化等问题. 36．中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 【答案】 【分析】根据椭圆上点到焦点距离最小值为，到焦点距离最大值为，列式运算得解. 【详解】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 由题意可得，化简得， 即，解得（负值舍去）. 故答案为：. 37．已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【答案】 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 38．正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    【答案】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 39．如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 【答案】21 【分析】根据给定条件，确定椭圆的长短半轴长，再利用椭圆离心率求法列式计算得解. 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为21厘米. 故答案为：21 40．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站在公路上（为直线），且，相距28，地震局以的中点为原点，直线为轴，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据两站收到的信息，并通过计算发现震中在双曲线的右支上，且，则到公路的距离为 . 【答案】 【分析】先利用双曲线的性质计算焦距与，然后计算该焦点三角形的面积，利用等面积法计算到公路的距离即可. 【详解】设双曲线的焦距为， 由题意得，，则，解得， 由双曲线的定义得， 又， 即， 三角形的面积， 设到公路的距离为，则，得， 即到公路的距离为. 故答案为： 41．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 【答案】125 【分析】依题意可知曲线PQ的方程为，根据双曲线的第二定义可得当与双曲线的准线垂直时，总费用最小. 【详解】根据题意以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，易知点在以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支上； 易知，可得，所以， 所以曲线PQ的方程为， 显然曲线PQ对应的准线方程为，双曲线的离心率为； 设点到准线的距离为，由双曲线的第二定义可得，即； 总费用表达式为， 又易知，因此到准线距离为， 因此， 当且仅当与双曲线的准线垂直时，总费用最小为125万元. 故答案为：125 综合测试 1．已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点，则，由于点到准线的距离为，可得， 因为点到轴的距离为，则，所以，，解得， 故抛物线的方程为，其焦点坐标为. 故答案为：. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 依题意，直线的方程为， 由，解得，则点的坐标为， 所以的面积为. 故答案为： 3．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2a，则C的焦距为 ． 【答案】6 【分析】先写出双曲线的渐近线，再根据圆心到直线距离及弦长间关系列方程计算求解即可得，即可得出焦距. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为圆的圆心，半径为3， 双曲线的一条渐近线被圆所截弦长为2a， 所以圆的圆心到直线的距离为， 整理可得，∴，则C的焦距为6． 故答案为：6. 4．已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      5．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 6．已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用抛物线的性质，求得抛物线方程，先判断直线与抛物线的位置关系，然后设与抛物线相切且与平行的直线并求出来，根据两平行线之间的距离公式即可求得结果. 【详解】由题知，设， 则，， 又， 所以，抛物线方程为， 联立，得，无解， 则直线与抛物线没有公共点， 设与抛物线相切且与平行的直线为， 则联立，得， 则，解得， 则的最小值为. 故答案为： 7．已知圆，，，若圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在以为直径的圆上，求解圆心和半径，即可根据两圆有公共点，利用圆心距与半径的关系求解，排除恰好经过时的情况即可. 【详解】由于，故在以为直径的圆上， ，故半径为5，圆心为， 由题意，两圆有公共点，可得，解得， 当恰好经过时，不符合题意，此时，则， 综上，的取值范围为， 故答案为： 8．设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 二、选择题 9．下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各选项中抛物线的焦点坐标，即可得出答案. 【详解】对于抛物线，，可得，故， 所以，抛物线的焦点坐标为， 同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，， 抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 10．设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 11．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.      判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.    故选：A. 12．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 13．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 试卷第40页，共40页 试卷第39页，共40页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解析几何小题专题 上海高考中的解析几何的考查注重基础知识与综合能力的结合，在填空、选择题中，直接考查圆锥曲线的标准方程、离心率、焦点、准线、渐近线等几何性质，也常常与解三角形、向量等内容交汇，题目设计强调数形结合。 类型一：考查直线的方程、两直线的位置及点到直线的距离公式 👉知识点梳理： 1. 与平面直角坐标中直线有关的重要的量 (1)倾斜角：当直线与轴相交于一点时，将轴绕点A沿逆时针方向旋转到与重合时所转过的最小正角称为直线的倾斜角；当平行于轴或与轴重合时，规定倾斜角.于是，倾斜角的取值范围为。 (2)斜率：当直线不与轴垂直时，定义它的斜率为，其中为的倾斜角；当直线与轴垂直时，斜率不存在。过两点与 ()的直线的斜率是； (3)截距：直线与轴交点的纵坐标称为直线在轴上的截距；直线与轴交点的横坐标称为直线在轴上的截距。 2. 直线的各种形式的方程 (1)直线的点斜式方程：过点且斜率为的直线的方程是 (2)直线的斜截式方程：斜率为且在轴上的截距为的直线的方程是. (3)直线的两点式方程：经过两点、 (且)的直线的方程是 (4)直线的点法式方程：过点且一个法向量为的直线的方程是 . (5)直线的一般式方程：直线一般形式的方程是，其中不同时为 零，这个方程的一次项系数给出了它的一个法向量。 3. 两条直线的位置关系 给定两条直线与(不同时为零，不同时为零). (1)直线相交、平行与重合：与相交、平行或重合取决于方程组 解的情况： 1 与重合方程组有无数组解存在，使得，且； 2 方程组无解存在，使得，但； ③与相交 方程组有唯一的解。 (2)两条直线垂直的充要条件：；如果两条直线的斜率与 都存在,那么. (3)两条直线的夹角：与的夹角的余弦公式为 4. 点到直线的距离：点到直线 (不同时为零)的距离为 1．直线的倾斜角为 ． 2．已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为 3．若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 4．若直线：与直线：互相垂直，则 ． 5．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 6．直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 类型二：考查圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系 👉知识点梳理： 1. 定义：平面上到一定点的距离等于定长(大于零)的点的轨迹，叫做圆。 2．圆的方程： (1)圆的标准方程是，其中是圆心坐标，为圆的半径。 (2)圆的一般方程是. 3. 直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离，判断直线与圆的位置关系除了比较圆心到直线的距离和半径的大小外，还可以通过求解联立方程组 并讨论其解的个数来解决。 4. 两个圆的位置关系，可以通过比较圆心距与两圆半径的大小来判断两圆内含、内 切、相交、外切与外离；也可以通过联立方程组并讨论其解的个数来判断两圆相离、相切与相交。 7．设圆方程为，则圆的半径为 ． 8．已知圆的周长为，则实数的值为 . 9．已知圆的方程为，其面积为，则 . 10．直线与圆相交所得的弦长为 ． 11．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 类型三：考查椭圆、双曲线、抛物线的基本性质 👉知识点梳理： 1. 椭圆 (1)平面上到两个定点、的距离之和等于常数 ()的点的轨迹叫做椭圆, (2)椭圆的焦点在轴上时，其标准方程是；椭圆的焦点在轴上时,其标准方程是. (3)椭圆有两条对称轴，椭圆的扁平程度取决于其离心率，其中. 2. 双曲线 (1)平面上到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数 ()的点的轨迹叫做双曲线， (2)双曲线的焦点在轴上时，其标准方程是双曲线的焦 点在轴上时，其标准方程是, (3)双曲线有两条对称轴，其离心率，其中，并有两条渐近线. 3. 抛物线 (1)平面上到一个定点和到一条定直线 (不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (2)顶点在坐标原点的抛物线，焦点在轴的正、负半轴时，其标准方程分别为（焦点为），（焦点为）；焦点在轴的正、负半轴时，其标准方程分别为（焦点为），（焦点为）. (3)抛物线有且只有一条对称轴，离心率. 12．抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 13．已知抛物线上有一点P到焦点的距离为3，则P到y轴的距离为 ． 14．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 . 15．设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为 . 16．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 17．双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 . 18．以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 . 类型四：考查圆锥曲线中线段的最值问题 👉知识点梳理： 1. 可以转化为两点之间，线段最短解决； 2. 可以转化为点到直线的距离来解决； 3. 如果是涉及焦点弦的问题，可以结合圆锥曲线的定义进行转化； 4. 可以借助两点间的距离公式，用代数式表示线段的长度，转化为函数的最值问题来解决. 19．已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 20．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 21．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 22．已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 23．设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 24．已知实数满足：，则的最小值为 . 类型五：考查圆锥曲线与解三角形的综合 👉知识点梳理： 1. 结合圆锥曲线的定义、性质考查勾股定理、正弦定理、余弦定理； 2. 主要涉及以下两类问题： （1）已知圆锥曲线的方程，结合圆锥曲线的定义及性质，通过解三角形求线段的长度，角或三角函数值，三角形的面积等问题。 （2）已知三角形的线段长、角度或面积等，求圆锥曲线方程的参数或其性质，如离心率、渐近线等. 25．已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为 . 26．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 27．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 28．设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为 . 29．已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为 ． 30．已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 31．已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆的相切于点，与椭圆在第一象限的交点为．且，则椭圆的离心率为 ． 类型六：考查圆锥曲线与向量的综合 👉知识点梳理： 1. 考查圆锥曲线上点的向量垂直或夹角问题，通过向量数量积来表示几何条件； 2. 结合圆锥曲线的定义及性质，考查向量的模长. 32．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则 ． 33．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 ． 34．已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 35．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 类型七：考查圆锥曲线与数学建模的综合 👉知识点梳理：在上海高考数学中，圆锥曲线与数学建模的综合考察通常以实际问题为背景，需要根据条件建系，写出圆锥曲线的方程，结合其几何性质及代数运算，求路程最短、或成本最小化等问题. 36．中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 37．已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 38．正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    39．如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 40．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站在公路上（为直线），且，相距28，地震局以的中点为原点，直线为轴，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据两站收到的信息，并通过计算发现震中在双曲线的右支上，且，则到公路的距离为 . 41．如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 综合测试 1．已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    3．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2a，则C的焦距为 ． 4．已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 5．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 6．已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为 ． 7．已知圆，，，若圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 8．设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 二、选择题 9．下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 10．设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 11．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 12．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 13．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 试卷第10页，共11页 试卷第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$