专题05 二项式定理与概率统计考前冲刺训练-2025年上海高考数学考前重点专题分题型冲刺训练

· 专题 05 二项式定理与概率统计 在上海高考数学中，二项式定理和概率统计是重要的考查内容，其命题特点与考查方式紧密结合基础知识和实际应用，注重对学生逻辑推理、数据分析能力的考查。二项式定理主要考查其展开式与通项公式、赋值法求系数等，概率主要包括古典概率、条件概率、全概率公式以及独立事件、互斥事件等，统计主要包括散点图、茎叶图、频率分布直方图等统计图表、随机变量的分布与特征及常用分布，另外，成对数据的统计分析，包括一元线性回顾分析、2×2列联表，也是考查热点。 类型一：考查二项式定理 👉知识点梳理： 1. 二项式定理：等式称为二项式定理. 等式右边的第项为 2. 对任意正整数，.(令即可证明) 方法总结：在二项展开式中代入适当的特殊值，会得到一些与组合数有关的特殊的恒等式. 1．的二项展开式中，项的系数为 . 2．的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是 . 3．的二项展开式中的常数项为 . 4．在的二项展开式中，常数项的值为 ． 5．在（）的二项式展开式中的系数为2880，则 . 6．在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 7．若的展开式中含有常数项，则正整数的最小值为 ． 类型二：考查计数原理 👉知识点梳理： 1. 乘法原理（分步计数原理）：做一件事，需要依次完成个步骤，其中完成第一步有种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 2. 加法原理（分类计数原理）：做一件事，完成它有类办法，其中第一类办法有种不同的方法，第二类办法有种不同的方法，，第类办法有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 3. 乘法原理和加法原理是关于计数的两个基本原理，它们是推导排列数、组合数公式的基础，在解题中应正确区分和灵活使用. 8．3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有________种. 9．从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 10．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 11．已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有 种不同的摸取方法. 12．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 类型三：考查古典概率 👉知识点梳理： 1.古典概率模型定义：满足下面两个条件的随机试验：(1)有限多结果；(2)等可能性。 2.古典概率计算公式： 13．若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ． 14．某班有学生45人，则至少有两人生日相同的概率为 .（假定一年365天，答案精确到0.001）. 15．一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 16．将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为 . 17．一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球.已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为 . 类型四：考查事件的独立性 👉知识点梳理： 1. 事件的独立性：两独立事件同时发生的概率是各自发生的概率的乘积；即若事件独立，则； 2. 若事件独立，则. 18．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 19．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 20．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 21．已知事件与事件相互独立，若，则 . 22．甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为 . 类型五：考查条件概率、全概率公式 👉知识点梳理： 1.条件概率公式 2.全概率公式. 23．已知是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 24．设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为 ． 25．在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 26．已知两个随机事件，若，，，则 . 27．袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 . 28．某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是________ 29．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 30．某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动， 运送的卡车共装有 10 个纸箱， 其中 6 箱数学书， 4 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱. 现从剩下 9 箱中任意打开 2 桶，则刚好都是数学书的概率为 . 31．某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 32．盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 33．某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 类型六：考查随机变量的分布与特征及常用分布 👉知识点梳理： 1. 设随机变量的分布如下 那么其期望定义为； 其方差定义为. 2. 期望的线性性质 (1)如果是-个随机变量，是一个实数，那么； (2)如果是两个随机变量，那么. 3. 方差的性质 (1)如果是一个随机变量，是一个实数，那么. (2)如果分别是两个独立的随机变量，那么. 4. 二项分布：独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二顶分布(binomial distribution)，亦称成功次数服从二项分布，成功次数为的概率为 且二项分布的期望公式为，方差公式为； 5. 超几何分布：从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋子中随机且不放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布(hyper-geometric distribution)。用表示其中的白球数，那么的分布可有下式给出： 且超几何分布的期望公式为； 6. 正态分布：由钟形曲线所刻画的分布称为正态分布。其中正态分布的期望为，方差为； 特别地，当时，相应地正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数为； 如果，那么将平移后再伸缩后将服从标准正态分布，即成立； 34．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 35．已知随机变量，若，则 . 36．已知随机变量，若，则 . 37．已知随机变量，若，则 . 38．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 39．某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为 40．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 41．已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为 . 类型七：考查统计图表、估计总体的数字特征 👉知识点梳理： 1. 除了初中学习的扇形图、折线图、频数分布直方图外，还有以下几种统计图表： (1) 频率分布表和频率分布直方图：可用于表示数据在不同区间上的分布情况； (2)茎叶图：通常在数据量不大的情况下使用，其特点是保留了数据的原始信息； (3)散点图：可以考察两组数据的变化趋势。 2. 统计估计是指利用样本数据来对总体的信息进行估计，包括估计总体的分布和数字 特征(平均数、标准差、百分位数等)。 （1）平均数公式：（其中样本数据为）或（其中样本数据为，对应的频数分别为） （2）方差和标准差公式: ，方差的算数平方根就是标准差 （3）第百分位数的求法： <1>将一组数据从小到大排列； <2>计算（其中为数据的个数）； <3>若是整数，则第百分位数是第项与第项的数据平均值；若不是整数，则将向上取整，得到的数即第百分位数的位置. 42．某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 43．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 44．如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为 . 45．一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是 . 46．某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 47．从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为 ． 48．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 49．李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 50．某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为 . 51．容量为的一组数据，若所有第百分位数（取遍）中至少两个相同，则正整数的最大值为 ． 类型八：考查一元线性回归方程 👉知识点梳理： 1. 相关系数可以度量两个随机变量之间的线性关系。相关系数的值满足，且越接近1，两个随机变量的线性关系越密切。当时，当的值由小变大，的值具有由小变大的变化趋势，称这种相关为正相关；当时，当的值由小变大，的值具有由大变小的变化趋势，称这种相关为负相关； 2. 回归直线经过样本点的中心，其中与分别是数据与（）的算数平均数； 3. 回归方程可以通过最小二乘法得到。回归直线能较好地反映一个变量对另一个变量的依赖情况，具有解释因果关系和预测的功能。利用回归方程可以由解释变量的值来预测反应变量的值，从而给出反应变量真实值的一个估计。 52．在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 53．为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 54．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（   ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A．当胸径时，树高y的预测值为14 B． C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径时，树高y的离差为0.32 55．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 56．根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 57．某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 58．已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为 ． 59．植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 60．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 类型九：考查2×2列联表 👉知识点梳理： 1. 2×2列联表描述两个分类变量所有值的组合数据是如何分布的。 2. 判断2×2列联表中出现的两个分类变量是否独立可采用检验。 检验的一般步骤是：(1)提出原假设；(2)确定显著性水平;(3)计算统计量的值；(4)统计决断：当时，拒绝原假设，推断两个变量相关，否则，接受原假设，推断两个变量不相关(即两个变量是独立的)。在实际情况下，是否完全拒绝原假设，还需要考虑样本量的大小. 61．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 62．如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 综合测试 1．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 2．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 3．下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（    ） A．（，是正整数，且） B．（，是正整数，且） C．（，是正整数，且） D．（，是正整数，且） 4．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 5．下列结论正确的是（   ） A．已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B．已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D．已知随机变量，若，则 6．设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 7．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题 05 二项式定理与概率统计 在上海高考数学中，二项式定理和概率统计是重要的考查内容，其命题特点与考查方式紧密结合基础知识和实际应用，注重对学生逻辑推理、数据分析能力的考查。二项式定理主要考查其展开式与通项公式、赋值法求系数等，概率主要包括古典概率、条件概率、全概率公式以及独立事件、互斥事件等，统计主要包括散点图、茎叶图、频率分布直方图等统计图表、随机变量的分布与特征及常用分布，另外，成对数据的统计分析，包括一元线性回顾分析、2×2列联表，也是考查热点。 类型一：考查二项式定理 👉知识点梳理： 1. 二项式定理：等式称为二项式定理. 等式右边的第项为 2. 对任意正整数，.(令即可证明) 方法总结：在二项展开式中代入适当的特殊值，会得到一些与组合数有关的特殊的恒等式. 1．的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为． 故答案为：． 2．的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是 . 【答案】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】根据二项式展开式的通项公式 则展开式中项为 又，则该项为， 已知项的系数是20，则，即， 解得. 故答案为： 3．的二项展开式中的常数项为 . 【答案】135 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由题，二项展开式的通项为. 令，得. 所以常数项为. 故答案为：135. 4．在的二项展开式中，常数项的值为 ． 【答案】60 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以二项式的展开式中的常数项为. 故答案为：60. 5．在（）的二项式展开式中的系数为2880，则 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项为 令，则， 故 ， 故答案为： 6．在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 【答案】4 【分析】利用赋值法求出，再求出项的系数. 【详解】依题意，的二项展开式的各项系数和为，则，解得， 所以展开式中项为，其系数为4. 故答案为：4 7．若的展开式中含有常数项，则正整数的最小值为 ． 【答案】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，可得出的表达式，即可得出正整数的最小值. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，故当时，正整数取最小值. 故答案为：. 类型二：考查计数原理 👉知识点梳理： 1. 乘法原理（分步计数原理）：做一件事，需要依次完成个步骤，其中完成第一步有种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 2. 加法原理（分类计数原理）：做一件事，完成它有类办法，其中第一类办法有种不同的方法，第二类办法有种不同的方法，，第类办法有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 3. 乘法原理和加法原理是关于计数的两个基本原理，它们是推导排列数、组合数公式的基础，在解题中应正确区分和灵活使用. 8．3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有________种. 【答案】64 【分析】由分步乘法原理计算可得. 【详解】由题意可得每位同学有4种选择，根据乘法原理，共有种. 9．从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【答案】144 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 10．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 【答案】12 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放. 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故答案为：12. 11．已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有 种不同的摸取方法. 【答案】 【分析】设这三个编号分别为、、，对三个编号是否相同进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种， 若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则， 则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定， 奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个， 若、同为奇数，则、的选择方法种数为种； 若、同为偶数，则、的选择方法种数为种. 当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种. 综上所述，不同的摸法种数为种. 故答案为：. 12．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 【答案】72 【分析】根据使用颜色种数，结合分类加法计数原理、排列组合求解即可. 【详解】若使用了四种颜色，则同色或同色，共有种， 若使用了三种颜色，则同色且同色，共有种，所以一共有种. 故答案为：72. 类型三：考查古典概率 👉知识点梳理： 1.古典概率模型定义：满足下面两个条件的随机试验：(1)有限多结果；(2)等可能性。 2.古典概率计算公式： 13．若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率. 【详解】因为，所以的正约数为共15个数， 其中完全平方数有共6个数， 所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为. 故答案为：. 14．某班有学生45人，则至少有两人生日相同的概率为 .（假定一年365天，答案精确到0.001）. 【答案】0.891 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数为，至少有两人生日相同的对立事件是没有人生日在同一天，共有种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果 【详解】由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数， 至少至少有两人生日相同的对立事件是没有人生日在同一天，共有种结果， . 故答案为:0.891 15．一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式可求过第一、二关的概率，从而可得连过两关的概率. 【详解】由题设，在第一关投1次骰子，点数大于3，即掷得点数为， 则过第一关的概率为， 第二关投2次骰子，点数之和大于6，则两次掷得点数分别为： ， 故过第二关系的概率为， 故一个人连过第一、二关的概率为， 故答案为：. 16．将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为 . 【答案】 【分析】利用古典概型概率的计算公式求解即可. 【详解】甲分得2张电影券连号的情况有4种，甲分得2张电影券的情况有种， 在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为. 故答案为：. 17．一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球.已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为 . 【答案】 【分析】先求出取出的3球中有红球的基本事件的个数，再求出取出的3个球都是红球的基本事件个数，最后根据古典概型及条件概率的概率公式解之即可． 【详解】从袋中任取3球， 取出的3球中有红球，共有种基本事件， 3个球都是红球共有种基本事件， 已知取出的3球中有红球，则取出的两个球都是黑球的概率为， 故答案为： 类型四：考查事件的独立性 👉知识点梳理： 1. 事件的独立性：两独立事件同时发生的概率是各自发生的概率的乘积；即若事件独立，则； 2. 若事件独立，则. 18．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 19．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】记甲熔断为事件，乙熔断为事件， 则、，又与相互独立， 所以，即两根保险丝都熔断的概率为. 故选：C 20．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先分别求出事件、事件以及事件发生的概率，再根据事件与事件独立的性质来求解的值. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以. 根据对立事件概率之和为，可得. 事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”. “次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况. 所以事件包含的情况共有种，则. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以. 因为事件与事件是独立的，所以，即. 可得：.展开得：.即. 当时，，，等式不成立； 当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立. 所以. 故选：C. 21．已知事件与事件相互独立，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式来求解即可. 【详解】由独立事件性质， ， , 故答案为： 22．甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.. 【详解】已知甲投中的概率为，乙投中的概率是. 所以两人中恰有一人投中的概率为. 故答案为：. 类型五：考查条件概率、全概率公式 👉知识点梳理： 1.条件概率公式 2.全概率公式. 23．已知是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 24．设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】第一次没有摸到黑球，则还剩下一个黑球，一个不是黑球，共两个球， 所以. 故答案为：. 25．在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 26．已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据全概率公式有，由乘法公式有求出，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故答案为：. 27．袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 . 【答案】 【分析】根据条件概率的公式计算可得结果. 【详解】由题意得，事件为：甲和乙只有一人摸到红球， ∴. ∵事件的对立事件为：甲和乙都没有摸到红球， ∴， ∴. 故答案为：. 28．某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是________ 【答案】32% 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】由题意选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 所以等待超过15分钟的概率为， 29．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ． 【答案】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 30．某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动， 运送的卡车共装有 10 个纸箱， 其中 6 箱数学书， 4 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱. 现从剩下 9 箱中任意打开 2 桶，则刚好都是数学书的概率为 . 【答案】 【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是数学书的情况整体分为两种情况：丢失的是数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可. 【详解】设事件表示丢失一箱后任取两箱都是数学书，事件表示丢失的一箱为分别表示数学书、语文书． 由全概率公式得. 故答案为：. 31．某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ． 【答案】/ 【分析】由已知结合全概率公式求解即可. 【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件， 选到新鲜苹果为事件， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是. 故答案为：. 32．盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 33．某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【答案】/0.6875 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 类型六：考查随机变量的分布与特征及常用分布 👉知识点梳理： 1. 设随机变量的分布如下 那么其期望定义为； 其方差定义为. 2. 期望的线性性质 (1)如果是-个随机变量，是一个实数，那么； (2)如果是两个随机变量，那么. 3. 方差的性质 (1)如果是一个随机变量，是一个实数，那么. (2)如果分别是两个独立的随机变量，那么. 4. 二项分布：独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二顶分布(binomial distribution)，亦称成功次数服从二项分布，成功次数为的概率为 且二项分布的期望公式为，方差公式为； 5. 超几何分布：从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋子中随机且不放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布(hyper-geometric distribution)。用表示其中的白球数，那么的分布可有下式给出： 且超几何分布的期望公式为； 6. 正态分布：由钟形曲线所刻画的分布称为正态分布。其中正态分布的期望为，方差为； 特别地，当时，相应地正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数为； 如果，那么将平移后再伸缩后将服从标准正态分布，即成立； 34．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】/ 【分析】利用方差公式可求方差. 【详解】的期望为， 故， 故答案为： 35．已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】由二项分布的期望公式求出的值，再利用二项分布的方差公式可求得的值. 【详解】因为随机变量，则，故， 由二项分布的方差公式可得. 故答案为：. 36．已知随机变量，若，则 . 【答案】0.4 【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称. ，则， 根据正态曲线的对称性. 故答案为：0.4. 37．已知随机变量，若，则 . 【答案】0.1/ 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由随机变量，得， 则. 故答案为：0.1 38．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 39．某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为 【答案】 【分析】利用正态分布对称性计算可得任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为，再由二项分布公式计算可得结果. 【详解】根据可得， 即，又由对称性可知， 所以，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为； 因此4个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为； 故答案为： 40．已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了 %的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【分析】根据正态分布的范围求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 41．已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】利用正态分布的对称性求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且，则由对称性得， 又， 所以，故， 又因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 类型七：考查统计图表、估计总体的数字特征 👉知识点梳理： 1. 除了初中学习的扇形图、折线图、频数分布直方图外，还有以下几种统计图表： (1) 频率分布表和频率分布直方图：可用于表示数据在不同区间上的分布情况； (2)茎叶图：通常在数据量不大的情况下使用，其特点是保留了数据的原始信息； (3)散点图：可以考察两组数据的变化趋势。 2. 统计估计是指利用样本数据来对总体的信息进行估计，包括估计总体的分布和数字 特征(平均数、标准差、百分位数等)。 （1）平均数公式：（其中样本数据为）或（其中样本数据为，对应的频数分别为） （2）方差和标准差公式: ，方差的算数平方根就是标准差 （3）第百分位数的求法： <1>将一组数据从小到大排列； <2>计算（其中为数据的个数）； <3>若是整数，则第百分位数是第项与第项的数据平均值；若不是整数，则将向上取整，得到的数即第百分位数的位置. 42．某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的概念进行判断即可. 【详解】因为19位同学的积分，中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10. 故选：C 43．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【分析】利用极差、百分位数和平均数的计算公式可以判断A、B、C三个选项，对于D选项，利用数据的分散程度判断方差的大小即可. 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因为，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 44．如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为 . 【答案】21.5 【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大排列后，根据中位数的定义即可求得. 【详解】将这6个数从小到大排列为16，18，21，22，22，31， 因数据有偶数个，则中位数是中间两个数的平均数，故中位数为. 故答案为：21.5. 45．一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是 . 【答案】50 【分析】根据给定条件，利用第75百分位数的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以所求的第75百分位数是. 故答案为：50 46．某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】/ 【分析】将数据从小到大排序，再根据百分位数的概念求解即可. 【详解】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，， 共个数，则， 所以这组数据的第百分位数为. 故答案为：. 47．从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为 ． 【答案】11 【分析】根据组距即可求解. 【详解】第一组下限为151.5，组距为3，所以， 故第11组的下限为181.5，因此组数为11， 故答案为：11 48．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解. 【详解】，则该组数据从小到大排列后的第四位数是87，即， 故答案为：7. 49．李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 【答案】 【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算. 【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个， 故该生的成绩为， 则这10名学生的成绩的平均数为， 方差为 故答案为： 50．某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为 . 【答案】6 【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可. 【详解】同全区同学中答对的人数为人，答错或不答的人数为人， 所以全区同学该题得分的平均数为分， 则全区同学该题得分的方差为. 故答案为：6. 51．容量为的一组数据，若所有第百分位数（取遍）中至少两个相同，则正整数的最大值为 ． 【答案】97 【分析】根据百分位数的定义，分析计算即可得解. 【详解】设，， 如，，所以各个百分位数均不相同， ，，各个百分位数均不相同， ，， ，各个百分位数均不相同， ，令，得，和对应的百分位数都是第33个数， 所以 ，为所求. 故答案为：97 类型八：考查一元线性回归方程 👉知识点梳理： 1. 相关系数可以度量两个随机变量之间的线性关系。相关系数的值满足，且越接近1，两个随机变量的线性关系越密切。当时，当的值由小变大，的值具有由小变大的变化趋势，称这种相关为正相关；当时，当的值由小变大，的值具有由大变小的变化趋势，称这种相关为负相关； 2. 回归直线经过样本点的中心，其中与分别是数据与（）的算数平均数； 3. 回归方程可以通过最小二乘法得到。回归直线能较好地反映一个变量对另一个变量的依赖情况，具有解释因果关系和预测的功能。利用回归方程可以由解释变量的值来预测反应变量的值，从而给出反应变量真实值的一个估计。 52．在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 53．为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．不具有线性相关性 B．相关系数变大 C．相关系数变小 D．相关系数不变 【答案】C 【分析】根据散点图，可判断A选项，加入点后，回归效果变差，从而可判断B，C，D选项. 【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，但不能说不具有线性相关性，故A错误； 对于B，C，D，由于点远离其他点，故加上点后，回归效果会变差， 所以相应的样本相关系数的绝对值会变小， 根据题中散点图，显然，所以会变小，故C正确，B，D错误. 故选：C. 54．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（   ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A．当胸径时，树高y的预测值为14 B． C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径时，树高y的离差为0.32 【答案】B 【分析】利用样本中心点求得，然后根据预测值、百分位数、离差的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意可知，，， 经验回归方程过点，，解，故B正确； 对于A，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为，A错误； 对于C，，表中的树高观测数据y的40%分位数为，C错误； 对于D，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为， 树高y离差为，D错误. 故选：B. 55．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【分析】根据线性回归方程即可判断；将代入线性回归方程即可判断；由在线性回归方程上，即可求解；根据拟合误差计算公式求解即可. 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 故选：A. 56．根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 【答案】/ 【分析】根据线性回归方程过样本中心点进行求解即可. 【详解】首先计算. 因为回归直线过样本中心点，把代入， 可得，解得. 故答案为：. 57．某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数 【答案】 【分析】求出样本中心点的坐标，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可得出实数的值. 【详解】由表格中的数据可知，，， 所以，样本中心点的坐标为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：. 58．已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为 ． 【答案】9 【分析】由方差和平均数的计算公式结合已知计算即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 又， 即，即， 所以的平均数为9. 故答案为：9. 59．植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 60．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 类型九：考查2×2列联表 👉知识点梳理： 1. 2×2列联表描述两个分类变量所有值的组合数据是如何分布的。 2. 判断2×2列联表中出现的两个分类变量是否独立可采用检验。 检验的一般步骤是：(1)提出原假设；(2)确定显著性水平;(3)计算统计量的值；(4)统计决断：当时，拒绝原假设，推断两个变量相关，否则，接受原假设，推断两个变量不相关(即两个变量是独立的)。在实际情况下，是否完全拒绝原假设，还需要考虑样本量的大小. 61．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【分析】在独立性检验中，当计算得到的统计量大于临界值时，就拒绝原假设，即可求解. 【详解】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 故答案为：拒绝. 62．如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 【答案】90 【分析】完善列联表即可求解. 【详解】由表格有， 故答案为：. 综合测试 1．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题中假命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态密度曲线的对称性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为， 所以，，A对； 对于B选项，由正态密度曲线的对称性可得，B对； 对于C选项，由正态密度曲线的对称性可得，C对； 对于D选项，因为正态分布密度曲线呈现“中间高，两边低”的特点， ，D错. 故选：D. 2．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行: 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05  65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 57  16  03  11  63  14  90  84  45  21  75  73  88  05  90  52  23  59  43  10 若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （    ）. A．09 B．05 C．65 D．71 【答案】A 【分析】根据随机数表的读法，注意除去重复的，得到第5组符合要求的编码. 【详解】第一行第7列为3，依次往右读，37，14，05，11，09. 09为第5个样本编号， 故选：A 3．下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（    ） A．（，是正整数，且） B．（，是正整数，且） C．（，是正整数，且） D．（，是正整数，且） 【答案】A 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：根据排列数、组合数公式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：A. 4．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 5．下列结论正确的是（   ） A．已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B．已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为30人 D．已知随机变量，若，则 【答案】D 【分析】计算可得平均数不变，可得新数据极差变小，可判断A；利用贺归直线过样本中心点，可求m，可判断B；可求得，进而可判断C；由已知得，计算可判断D. 【详解】对于A，新数据的总和为，与原样本数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变， ，而， 即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原样本数据更集中于平均数，因此方差变小，A错误； 对于B，经验回归直线必经过样本点的中心， ，解得，B错误； 对于C，一模考试中的数学成绩，， 则，， 那么的人数为人，C错误； 对于D，，，， 解得，D正确， 故选：D. 6．设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 7．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出第一步掷骰子弟弟能吃到花生的概率为，再通过分类讨论求出第一次掷出非6，后续阶段弟弟能吃到花生的概率，二者相加即为任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率. 【详解】第一步：第一次掷骰子的概率 （1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生； （2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段. 第二步：后续阶段的概率分析 设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为， 若小明掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为， 故有①； 若弟弟掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为， 故有②； 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为， 故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为. 故选：D 试卷第22页，共36页 试卷第21页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $$