甘肃省兰州市新区甘南实验中学2024-2025学年高三下学期诊断考试数学试题

参考答案 一、单项选择题（共8题，共40分） 1. 【答案】D 2. 【答案】D 【解析】 ， 故 在复平面内对应的点位于第四象限． 3. 【答案】C 【解析】由频率分布直方图得：，解得 ，故A错误； 样本数据低于 分的频率为：，故B错误； 的频率为：， 的频率为：， 所以总体的中位数（保留 位小数）估计为： 分，故C正确； 样本分布在 的频数一定与样本分布在 的频数相等， 总体分布在 的频数不一定与总体分布在 的频数相等，故D错误． 4. 【答案】D 【解析】因为 ，且 ， 所以 ， 又 ， 所以 ． 5. 【答案】C 【解析】由 的周长为 ，可知 ， 解得 ，则 ，， 设点 ， 由直线 与 的斜率之积为 ，可得 ， 即 又 ， 所以 由①②解得 ， 所以 的方程为 ． 6. 【答案】A 7. 【答案】B 【解析】因为 是等比数列，所以 ，又 ， 所以 和 是方程， 的两根，解得 或 ， 若 递增数列，则 ，，因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，解得 ； 若 是递减数列，则 ，， 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ，解得 ， 综上，数列的项数 等于 ． 8. 【答案】D 【解析】作出函数 的图象，如图所示， 若关于 的方程 有两个不等实根，则函数 的图象与直线 有两个交点，由图知，． 二、多项选择题（共3题，共18分） 9. 【答案】B；D 【解析】易见 ，， 是两两互斥的事件， ． 10. 【答案】B；C 【解析】设点 ，则 ， 化简整理得 ，即 ，故A错误； 当 ，， 时，，故B正确； 对于C选项，，． 若 为 的平分线，只需 ， 又 ， 所以 成立，故C正确． 对于D选项，设 ， 由 可得 ， 整理得 ，而点 在圆上，故满足 ． 联立解得 ， 无实数解，于是D错误． 11. 【答案】B；C 【解析】A选项错误，例如 ，推不出 ； B选项，设 的中点为 ， 的中点为 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 是 的三等分点，可知 到 的距离等于 到 距离的 ， 而 到 的距离等于 到 距离的 倍， 故可知 到 的距离等于 到 距离的 ， 根据三角形面积公式可知B选项正确； C选项两边平方可得 ， 所以 ，即夹角为 ，结论正确； D选项错误，例如 ． 三、填空题（共3题，共15分） 12. 【答案】 【解析】因为 ，故 的驻点为 ，当 时，， 严格单调递增，当 时，， 严格单调递减，所以当 时， 取得最大值为 ，所以 ，，所以 ． 13. 【答案】 14. 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，，，，，， 所以 ，． 设平面 的法向量为 ， 则 令 则 ，， 所以 ． 所以点 到平面 的距离 ． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 【答案】 (1) ． (2) ， ， ， 猜想：． 用数学归纳法证明（略）． 16. 【答案】 (1) 取 中点 ，连接 ，则 ． 因为 ，，所以 为正方形，所以由 ，，得即 ． 又因为 ，，所以 ，所以 ．又 ，，所以 ． (2) 以 为原点，分别以射线 ， 为 ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 如图所示， 由题意可知，各点的坐标如下：设 的法向量是 ， 的法向量是 ，则 即 所以 ，同理 即 所以 ． 设二面角 的平面角为 ，由图知 为锐角，则即二面角 的大小是 ． 17. 【答案】 (1) 记 ，． 由题设知且事件 与 ， 与 ， 与 ， 与 都相互独立． 记 ，则 ，于是故所求的概率为 (2) 设企业可获利润为 （万元），则 的可能取值为 ．又 故所求的分布列为 数学期望为 18. 【答案】 (1) 双曲线 的渐近线为即所以直线 的方程所以直线 与 的距离 (2) 证法一： 设过原点且平行于 的直线则直线 与 的距离当 时，又双曲线 的渐近线为所以双曲线 的右支在直线 的右下方， 所以双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 ． 故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 ． 证法二： 假设双曲线 的右支上存在点 到直线 的距离为 ，则 由①得设 ，当 时，将 代入②得因为 ，所以所以方程③不存在正根，即假设不成立． 故在双曲线 的右支上不存在 ，使之到直线 的距离为 ． 19. 【答案】 (1) ， ，， 当 时，， 所以 为等比数列． ，． (2) 由（）可得 ． ，，， 所以 因为 ， 所以 ，又 ， 所以 的最小值为 ． (3) 由（）当 时，， 当 时，，， 所以对正整数 都有 ． 由 ，， 只能是不小于 的奇数． ①当 为偶数时，， 因为 和 都是大于 的正整数， 所以存在正整数 ，， 使得 ，，，， 所以 且 ，， 相应的 ，即有 ， 为“指数型和”； ②当 为奇数时，， 由于 是 个奇数之和， 仍为奇数，又 为正偶数， 所以 不成立，此时没有“指数型和”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年兰州新区甘南实验中学诊断考试 高三 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 设全集 ，，，则 A． B． C． D． 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 名学生中随机抽取了 名学生的数学成绩，发现都在 内现将这 名学生的成绩按照 ，，，，，， 分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是 A．频率分布直方图中 的值为 B．样本数据低于 分的频率为 C．总体的中位数（保留 位小数）估计为 分 D．总体分布在 的频数一定与总体分布在 的频数相等 若 ，且 ，则 等于 A． B． C． D． 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，左、右顶点分别为 ，，过 的直线 交 于 ， 两点（异于 ，）， 的周长为 ，且直线 与 的斜率之积为 ，则 的方程为 A． B． C． D． 如图，在三棱锥 中，，，，，则点 到平面 的距离为 A． B． C． D． 在等比数列 中，，，且数列 的前 项和 ，则此数列的项数 等于 A． B． C． D． 已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 A． B． C．事件 与事件 相互独立 D． ，， 是两两互斥的事件 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系 中，，，点 满足 ，设点 的轨迹为 ，下列结论正确的是 A． 的方程为 B．在 轴上存在异于 ， 的两定点 ，，使得 C．当 ，， 三点不共线时，射线 是 的平分线 D．在 上存在点 ，使得 有下列说法，其中正确的说法为 A．若 ，，则 B．若 ，， 分别表示 ， 的面积，则 C．两个非零向量 ，，若 ，则 与 共线且反向 D．若 ，则存在唯一实数 使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 函数 在 处取得最小值 ，则 ． 如图，已知半径为 的扇形 ，， 为弧 上的一个动点，则 的取值范围是 ． 如图所示，在直平行六面体 中，，，点 在 上，且 ，则点 到平面 的距离为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （13分）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，， 成等比数列． (1) 求数列 的通项公式； (2) 令 ，求数列 的前 项和 ． （15分）如图，在四棱锥 中，，，，，． (1) 证明：； (2) 求二面角 的大小． （15分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B．设甲、乙两组的研发相互独立． (1) 求至少有一种新产品研发成功的概率； (2) 若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． （17分）已知双曲线 ，设过点 的直线 的方向向量 ． (1) 当直线 与双曲线 的一条渐近线 平行时，求直线 的方程及 与 的距离； (2) 证明：当 > 时，在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 ． （17分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，，设 ，． (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 若 ，，求实数 的最小值； (3) 当 时，给出一个新数列 ，其中 设这个新数列的前 项和为 ，若 可以写成 的形式，则称 为“指数型和”．问 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$