精品解析：江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高三下学期4月调研数学试卷

2024/2025学年第二学期04月调研试卷 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算化简即可求解. 【详解】， 故选：B 2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式和圆的面积公式列出关系式，得到与的关系即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 由圆锥的侧面积公式可得，解得， 因为，所以. 故选：C. 3. 记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（ ） A. 2021 B. 4039 C. 2020 D. 4040 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得数列前项全为负，从开始为正，可得结论. 【详解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故. 故选：C. 4. 已知圆上的点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故到直线的距离为的点共有4个， 故选：D 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数求导可证明，即可求解，进而根据指数以及对数的性质求解. 【详解】记则， 故当时，，故在单调递增， 当时，，故在单调递减， 故，因此对任意的，都有， 当且仅当时取到等号， 故，故，故， 由于，因此， 故选：A 6. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】先求出第一排有2名男生，1名女生，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有1名男生，2名女生，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案. 【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间， 不同的排法种数为； 同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为. 根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为. 故选：B. 7. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，进而可求解，根据可得，即可代入求解. 【详解】根据可得，故,故， 令，故或, 结合图象可知, 因此故， 因此故， 故选：B 8. 直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意利用正四面体的性质得出棱长与高之间的关系，再由10个球在正四面体盒子内部摆放规则以及内切关系，利用三角形相似即可求得的最大值. 如图所示， 因为正四面体的高等于其棱长的倍，所以其高为. 10个半径为的小球放进棱长为的正四面体中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为个， 当取最大值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 则该正四面体的棱长为， 可得正四面体的高. 连接并延长交于点，连接，过点作于点， 易知，所以， 所以， 所以正四面体的高， 解得，所以的最大值为2. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正四面体性质以及球体的“三角垛”摆放位置，再由相似比例即可得出结论. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上关于原点对称的两点，且，则（ ） A. B. 四边形的周长为 C. 四边形的面积为 D. 椭圆的离心率的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性确定四边形的形状，再逐项判断即可. 【详解】依题意，互相平分，且，则四边形是矩形，令其半焦距为c, 对于A，，A正确； 对于B，四边形的周长为，B正确； 对于C，四边形的面积为，C错误； 对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得，即， 解得，即离心率，D正确. 故选：ABD 10. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对，，三种情况讨论判断即可. 【详解】当是，，故A符合； 当时，在上单调递减，且，故B符合； 当时，由为上的单调递增函数， 令，则，即， 因为，可得，所以在上的单调递增函数， 所以，所以有唯一解， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 【详解】由，可得， 故, 也符合， 故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ， 故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式的常数项是______. 【答案】 【解析】 【分析】的展开式的通项为，令，求出，再代入通项公式计算即可. 【详解】的展开式的通项为 令，解得， 所以展开式的常数项. 故答案为：. 13. 已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分与两种情况讨论方程根的情况可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解， 当时，方程为，即，即， 因为，所以，所以方程有两个根，又， 所以有一个正根与一个负根， 又，所以有一正的零点， 当时，方程为，即 因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根， 所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个焦点为，连接，设，然后结合双曲线的定义表示出，再由双曲线的对称性结合题意可得，在中利用勾股定理得，再在中利用勾股定理列方程化简可求得离心率. 【详解】设另一个焦点为，连接，设，则， 由双曲线的定义可得， 由双曲线的对称性可得是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 所以在中，， 所以，化简得， 在中，，则， 所以，得， 所以， 所以离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． （1）若，求证：； （2）若面与面的夹角余弦值为，求的长． 【答案】（1） 由，知 ， 由，结合余弦定理得， 则，所以， 又因为，即，又由平面， 所以平面，又因为平面，所以， （2） 【解析】 【分析】（1）利用梯形去证明底面上的垂直关系，从而可得线面垂直，再证明线线垂直即可； （2）利用恰当建系，设两个未知点的坐标，通过模长和垂直建立相等关系，再通过二面角夹角的大小再建立一个相等关系，从而通过方程组思想来求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以B为原点，以平面为平面，建立如图所示得空间直角坐标系， 有，设，， 可得， 由，两式消元可得， 再由， 再由， 设面PBC法向量为， 则， 令，则，，则， 而平面BCD法向量为， 由, 整理得：， 代入可得， 再与联立解得：或， 当时，代入 当时，代入，所以此时不成立，则舍去， 综上可得. 16. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且． （1）若，求角C的正切值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入原式化简即可得出答案； （2）分和，由三角恒等变换化简已知式可得，再由正弦定理、二倍角的正弦、余弦公式以及同角三角函数基本关系可得，令，则，由二次函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 代入，所以，，即， 因，则， 所以，故，则. 【小问2详解】 由题可得：， 即， 即， 因为，所以，则， 因为， 则， 因为 ， 则，即， 故， 若，则；若，则，矛盾， 故， 则 ， 因为， 所以， ， 令，， 因为，因为，， 所以，所以，， . 故的取值范围为. 17. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. （1）试估计这批零件直径在的概率； （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； （3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】（1）0.47725 （2） Z 0 1 2 3 4 P . （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. 【小问2详解】 由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. 【小问3详解】 设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 18. 如图1，曲线是与组合的． （1）过点，求的渐近线方程； （2），设，，曲线上找一个点，使得达到最小； （3）若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在非零实数使得成立，理由如下： 设，， 设 由，得，则 ， 由 ，得，则 ， 由，得，则 ， 由，得，则 ， 则 ， 同理可得，， 若存在非零实数使得成立，则，即， 即，则或， 若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意， 故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求出，再计算渐近线即可； （2）分和两种情况，设点坐标，利用消元法将问题转化为求一元二次函数在区间上的最小值问题； （3）设直线和直线的方程，联立方程组求四个点的坐标，再化简即可. 【小问1详解】 将点代入，得，得， 所以，渐近线方程：. 【小问2详解】 因，则，， ①当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则， 当时，则或时，取最小值，此时或， 当时，当时，取最小值，此时； ②当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则 ， 因，则， 故当时， 取最小值，此时. 综上可知，曲线上存在点，使得达到最小. 【小问3详解】 略 19. 函数，其中，定义域是一切实数． （1）计算的值并指出其几何意义； （2）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； （3）设，，，，，．求证：． 【答案】（1），几何意义是函数在点处切线的斜率是； （2）； （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. 【小问2详解】 变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年第二学期04月调研试卷 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（ ） A. 2021 B. 4039 C. 2020 D. 4040 4. 已知圆上的点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 7. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上关于原点对称的两点，且，则（ ） A. B. 四边形的周长为 C. 四边形的面积为 D. 椭圆的离心率的取值范围为 10. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式的常数项是______. 13. 已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 14. 已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P． （1）若，求证：； （2）若面与面的夹角余弦值为，求的长． 16. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且． （1）若，求角C的正切值； （2）求的取值范围． 17. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. （1）试估计这批零件直径在的概率； （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； （3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 18. 如图1，曲线是与组合的． （1）过点，求的渐近线方程； （2），设，，曲线上找一个点，使得达到最小； （3）若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 19. 函数，其中，定义域是一切实数． （1）计算的值并指出其几何意义； （2）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； （3）设，，，，，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $