江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷

保密★启用前 2025届高三第三次模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟； 命题人：高三数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={xy=V2x-x2,B={yly=2+1,则AnB=（) A.(1,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[2,+∞) 2.已知命p:vaeR,sm任-a]=cos[任+a小， 则下列结论正确的是() A.p为真命题，且命题p的否定为：Va∈R,sin π -a≠c0s +a 4 B.p为真命题，且命题p的否定为：3a∈R,si (A-a ≠cos 4 元 π C.p为假命题，且命题p的否定为：Va∈R,sin ≠coS + 4 4 π D.p为假命题，且命题p的否定为：3a∈R,sin 4 3,两个粒子A,B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为S,=L,2), 了。=(4,3).粒子B相对粒子A的位移为了，则5在S上的投影向量为() B.(V5,25 C.1,2) D.(2,1) 4.已知A4纸的长宽比约为√2：1，现将一张A4纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）当该圆 柱的高等于A4纸的长时，设其体积为V1,轴截面的面积为S1:当该圆柱的高等于A4纸的宽 时，设其体积为V2,轴截面的面积为S,则() A.V1=V2,S1=S2 B.V1+V2,S1=S2 C.V1=V2,S1+S2 D.V1+V2,S1*S2 5.设4B是-个随机试验中的两个事件，且P()=P(B)=P(4UB)=2,则 P(BA=(） D. 1 2 高三数学试卷第1页共4页 6.在中美关税大战的大背景下，有些出口型的中小企业受到了很大冲击，为了积极应对，南昌 某玩具企业积极进行技术升级改造.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标， 现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相 关关系，且=0.8r+à，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为( 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A.-0.96 B.0.8 C.0.8 D.0.96 7.若正项数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=a+n,则S0=( ) A.20 B.100 C.200 D.210 8.一笔画是指从图形的某一点出发，在图形绘制过程中，笔不能离开纸面，也不能重复经过任 何一条线段（弧段）·下列图形中不能一笔画完成的图形是( B. D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9.在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+Px+2=0的两根为x,x2,其中x=1+i, 则下列选项正确的是() 2025 A.x2=x B.p=2 C.x+x3=0 =1 X2 10.已知函数f(x)=sin2"x+cos2“x(n∈N),则( 》 A.2(x)的最小正周期为π B。()在（保孕上是单调函数 C.f(x)的图象关于直线x=匹对称 D. 2≤(x)s1 11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线C:+y=1就是其中之一，P为曲 线C上一点，则下列结论正确的有( A,曲线C恰有2条对称轴和】个对称中心 B者P在第一象限内，则点P到点N兮》之的距离和到直线y=X的距高相等 C.曲线C所围成的封闭图形的面积小于4一π D,若P不在坐标轴上，则曲线C在点P处的切线的横纵截距之和为1 高三数学试卷第2页共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.从0,1,2，…，9这10个数字中任选2个不同的数字组成个位数字比十位数字小 的两位数，所有这些两位数组成一组数据，则这组数据的第80百分位数是 I3.已知直线y=ax+b(a∈R,b>O)是曲线f(x)=e与曲线g(x)=nx+2的公切线，则 a+b= 14.设P是椭圆C: ：三+=1@>ǒ>0)上一点，乃是C的两个焦点，P听·P瓦=0， 点在∠FPF2的平分线上，O为原点，OQ∥PF,且OO=b.则椭圆C的离心率 为 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本题满分13分) 如图，圆内接四边形ABCD中，已知AB=2,BC=2V2,∠CDB=2∠ADB (1)求∠ABC: A (2)求四边形ABCD面积的最大值 B 16.(本题满分15分) 在图1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC,∠ABC=元，∠BCD=T,AD=CD=2, 6 3 过点A作AE⊥AB,交BC于E,现沿AE将△ABE折起，使得BC⊥DE,得到如图2所 示的四棱锥B-AECD,在图2中解答下列问题： B 图1 图2 (1)求四棱锥B-AECD的体积： (2)若F在侧棱BC上，BF=子BC,求二面角C-BEF-D的大小 高三数学试卷第3页共4页 17.(本小题满分15分) 设函数f)=41nx-x2+(4-ax+b(a,beR). 2 (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数(x)存在极值，对于任意的0<x<x2，存在正实数x，使得 f(x2)-f(x)=∫'(x,)(x2-x),试判断x+x2与2x。的大小关系，并给出证明. 18.(本小题满分17分) 已知O为坐标原点，动直线I与直线y=√3x,y=-√3x分别交于点A,B(A,B的横坐 标同号)，且△AOB的面积为√3，记线段AB的中点的轨迹为曲线厂， (1)求曲线Γ的方程： (2)设点D(-1,0),过点F(2,O)作与x轴不重合的直线与曲线T交于M,N两点. (i)记直线DM,DN的斜率分别为k,k2,求kk2的值： ()若直线x=】与直线MN交于点H,过点N与x轴平行的直线与DH,DM分别交 于点P,Q,求证：点P是线段QW的中点. 19.(本小题满分17分) 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进 一就是十进制：满十六进一，就是十六进制等.一般地，若k是大于1的整数，那么以k为基数 的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式a,a-…a,ak),其中 anan-,apa∈0，l,2,,k-1,且an≠0， a,a-…a,aok)=ak+an-k"1+…+a,k+a,如22=2×32+1×3+1，所以22在三进制 下可写为211a (1)将五进制数2115转化为三进制数： (2)对于任意两个不同的n+1位的二进制数aaaao2’b,b…bb2’a。=b,=1, 记X=∑a,- (①)若n=3,求随机变量X的分布列与数学期望： (i)证明：E(X)>” 2 高三数学试卷第4页共4页 2025届高三第三次模拟考试 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 题号 1 9u 3 6 8 答案 B B C D 8.【解析】由图论知识可知，一笔画能完成的图形G要求满足两点：(1)G是连通图：(2)G中奇点的个 数是0或2由于选项ABC中的图均满足要求，但D中图有8个奇点，不能一笔画完成，故选D, 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ACD BCD BC 10.【解析】因为(x)=sin2“x+cos2”x。 对于B,因为x)=sin‘x+cos°x=sin‘x+1-sin2x=3sinx-3sim2x+l, 令1=sin2xe 可得80=32-3+1，其图象开口向上，对称轴为1=2 可知y-8间在（钊内单调造增，且1=x在[管引 内单调递增， 所以万)在（引}上是单词函数，故B正确： 对F,国为传+[[传+作o护（血产产4s=, 所以函数(d)为周期函数，且是函数()的一个周期， 只需求出函数广()在[上的值域，即为函数人)在R上的值域， 由/.(x)=sin2”x+cos2”x,则/(x)=2nsin2 xcosx--2ncos2 xsinx=2 nsinx cosx6ina-x-cos2a-2x)）, 当xe到时，0<cosr <simsinx>cos 此时厂>0，函数（在[引 单调递增， 当xe0月到时，0c咖r<9eosx<l,smx<cos, 此时()<0，函数()在0上单调递减。 所以当xe[引时，=目-2-周”，又因为ro-时}1，则l, 则通数问的直装为目小， 故D正确.故选：BCD, 1.【解析】对于A,曲线C:师+师=1即瓜+风=1，如图， 曲线C关于x,y轴和直线y=x,y=一x对称，有4条对称轴： 又曲线C关于原点对称：故A错误： 设P(x,y)(x>0,y>0)为曲线C上一点，则 对于B,只考查曲线C在第一象限内的部分，此时曲线C:√：+√少=1(x>0,y>0),又由 40--。+-2x-2y-2g+1=-0, 而V+D=1台x+y+2√可=1台4y=1-x-y2÷x2+y2-2x-2y-2y+1=0,故B正确： 对于C,由对称性，考查曲线C在第一象限内的部分，由点P(x,y)到点Q(1,1)的距离 Pg=(x-12+0y-1)2=x2+y2-2x-2y+2=2y+1≥1， 则曲线C位于圆(x-1)+(0y-1)=1的左下部分四分之一圆弧的下方，则曲线C和两坐标轴所围成的封 闭图形的面积小于1一冬，所以曲线C所围成的封闭图形的面积小于4一不，故C正确： 对于D,由对称性，只考查曲线C在第一象限内的部分，此时曲线C:√+√少=1(x>0,y>0),设 P(xo)为曲线C在第一象限部分上一点，则V+V只=1，由V+=1→√)=1-√乐 宁y=-2+1,则y-1左周鱼线C在点KW处的切线为y-%=0-左Xx- √x 即y-%=色(x-,即。+上=1，由V石+历，=1以及对称性可知，曲线C在点P处的 √xg 切线的横纵截距的绝对值之和为1，故D错误： 故选：BC 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.88.5: 13.2: 14.6 3 14.【解析】如图，设PF=m,PF引=n,延长O0交P℉于A, 由题意知OQ/1PF,O为FE的中点，故A为PE中点， 又所丽=0，即P阳1PR,则∠P所=∠0P= 又点Q在∠FPS的平分线上，则∠QPA-牙，故△OMP是等腰直角 三 角形， 因此40=P4=Ps=n,则o4-2Pr=m=log+g=b+n, 可得，m-n=2b,又PF+PF=2a,则m+n=2a,因此可得 m=a+b [n=a-b' 又在R△PE中，PF+PR=FF,则m2+n2=4c2, 日女代入m+=e得a++o-矿-e. 将 即+8=2，由=-所以2=0，所以c-后子故5 3 四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15【解析】(1)设四边形ABCD外接圆的半径为R,∠ADB=0,则∠CDB=20,且0<30<元， 0<0<如图，在△MBD和△BCD中，由正弦定理得4B BC =2R= 3 sinθ sin20 即2=25 ，∴.sin20=√2sim0,2sim0cos0=√2sin0, sin sin20 m0*0,eas0=9又0<0<胥藏0=号又乙4DC-30- 4 4 所以∠ABC=π-∠ADC=T-3r=」 44 6分 2)连接AC,由知∠CDB=受∠BAC=∠CDB-受 又∠4BC-子AMBC为等晨直角三角形，Src=2x2=2。 解法一：取BC的中点O,AC的中点为E,连接OE,则OE∥AB,∴OE⊥AC。 当点D在OE的延长线上时，DE⊥AC,DE=OD-OE=√2-1. 此时△4DC面积最大，最大值为宁2×个5-小=5-1 则四边形ABCD面积最大值为2+(V2-)=√2+1. .13分 解法二：在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD-CDcos∠ADC, 即4=AD2+CD2+V2AD.CD,.4≥2AD-CD+V2AD-CD. 即AD,CD≤4-2N2,当且仅当AD=CD时取等号. 8x400h竖94-2同-5-1 4 则四边形ABCD面积最大值为2+(2-)=2+1. .13分 16【解折1D在图1中，？∠ABC-若4E1AB,AEB-子又∠BCD=号AB∥CD. 又AD∥BC,则四边形AECD为平行四边形，又：AD=CD,则平行四边形AECD为菱形 在图2中，连接AC,则DE⊥AC,又DE⊥BC,AC,BCC平面ABC,ACBC=C,∴.DE⊥平面ABC, ABC平面ABC,.AB⊥DE AE⊥AB,AEDE=E,AE,DEC平面AECD,∴AB⊥平面AECD 4分 则m号Sem×AB=号(4D:A5sn学x(4Bm孕=4. 7分 (2)在图2中，以A为原点，以AD所在的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),D(0,2,0),E(5,10)C(N5,3,0 则际=丽丽-画+c-(5-12+-2-(9系 ）9分 设面CEF的一个法向量为元=(：，，)，EC=(0,2,0),由 原 2y1=0 ++ 3 5 0 令31=1，则x=2,y=0,取片=(20,1)- .12分 设面DF的一个法向量为元，=（化，，2），ED=（√5,10由 -V3x2+y2=0 23-0 令x=1,则y为=5,2=-2，取m=(1,V5,-2) 14分 所以片n2=0,.n⊥n2,从而二面角CEFD为直二面角. 15分 17.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，+o), 又f)=4-ar+4-a=-x+x-④ 2分 若a≤0，则f(x)>0恒成立，所以此时f(x)在(0，+o)上单调递增： 一…4分 若a>0,则由f八)=-c+ar-9知 x 当xe0争时，f>0:当当xe+四)时，了a<0: 所以此时()在(0，马上单调递增，在（任，+∞）上单调递减。 6分 (2)结论：x十为2>2x0· 7分 证明如下：由(1)知，当a>0时，f(x)存在极值. 由f()-fx)=4血-血)-2a(%+%-)+4-a%-), 由)-f)=fx-,则f)=)-f2, 3一6 /地0-+4- 又/飞-4+4-则r到5a+5+4-o)-9分 2 2 所以f(x,)-f古+)=4血￥-nx)_8 2 x2-名x2+ =.40 -n)-2-x2-4 2点-1) h-x 3- 2+」 应+) 12分 2点-1) 设点=1>1，则h点-无=h1-2北- 应+) (+1) 令g0=n1- 0>.划g0-a>0 (t+1) 2(在-1) 所以g0在(1，+∞)上单调递增，则g)>g(=0,故n立-一>0. 又0<<即->0，所以了)-)>0，即)<了) 又由f(x)-4-ar+(4-a),可知∫在0，+o)上单调递藏， 5 则名+五>6，即x+x>2x: .15分 2 18.【解析1(1)依题设4(x,V5x),B(x,-V5x),线段AB的中点(x,y),依题知0A=24b0=2小 又∠408=120，所以50=×2斗x24,in120=B5=5,则x=1.易知线段B的中 点坐标为古十五，B。5西)，则有 2 2 x=+ 2 +x2=2x 3x3x 为= 两武子方相碳得4权一含护=4好气=4，即-号=， 3 3 2 所以曲线Γ的方程是亡_上=1. 3 5分 (2)(1)当直线MN的斜率不存在时，则M(2,3),N(2,-3),则kk2=-1: 当直线MN的斜率存在时，设MN:y=k(x-2)(k≠O), y=k(x-2) 由 x2-=1→-32-4hx+4k2+3=0, 3 则△>0且k2-3≠0，设M(x3,y),N(x4,y4),则有 、4k2 4k2+3 名+x一3=-3 则k=五=出-2-2--2g++4到 3+1x4+1(x+1)(x4+) 3x4+3+x4+1 242+382 +4)k2(-9》=-1. e-323= 4k2+3,4k2 9k2 +1 2-3+2-3 综上，kk2=-1. 10分 (i)由(1)知直线MN的斜率存在，且MN:y=k(x-2)(k≠0) 4k2 4k2+3 为+=-3= k2-3 则直线DM的方程为y=任+)，令y=,得。=店+D-1. 为3+1 又易得H吃-名，则直线D贴的方程为y=-+,令y=,得名=一兰-1 由于+x-2x,=245+D-1+-20-)=s-2+D-1+元-20，-2)+2 为-2 3+44×货-5x然416+业-20+卫0 为-2 x3-2 (k2-3(x3-2) 所以xg十x4=2xp,故点P是线段QN的中点.… .17分 6