精品解析：河南省郑州外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

郑州外国语学校2024-2025学年高一下期期中考试试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，则， 因此，复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，， 则 ． 3. 在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 所以，所以，即AC的取值范围是. 故选：A 4. 用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形的直观图面积为，则以该平面四边形为底面的一个高为6的四棱锥的体积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由得底面面积，然后代入锥体体积公式求解即可. 【详解】由得原平面四边形面积为， 所以以该平面四边形为底面的一个高为6的四棱锥的体积为， 故选：B 5. 已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案. 【详解】对于A，当l与相交与点时，在平面内，过点的直线与l都是共面的，故A错误； 对于B，如图1，可能是，故B错误； 对于C，设m、n共面于平面，由，可得, 由，则根据线面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，则m平行于经过n的任何平面或m在经过n的平面内，故D错误． 故选：C. 6. 一个内径为6cm，高为15cm的圆柱形口杯中，盛有高度为6cm的水，现将一个半径为3cm的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 10cm D. 15cm 【答案】C 【解析】 【分析】由球的体积公式代入计算，即可得到水面的上升高度，从而得到结果. 【详解】小球的体积， 圆柱底面面积， 则水面上升高度， 则此时水面高度为. 故选：C 7. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示及辅助角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正三角形ABC中，由于O为三角形ABC的中心，且三角形ABC的边长为， 则为中点，且，，， 以为原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 由于，设，， 则，， 所以， 由于，则. 故选：A. 8. 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，作出图形，根据外接球的表面积求出外接球半径为，，根据线面角的定义得，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，即可得解. 【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为， 取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则，因为，， 所以，在中，， 所以，解得或，即. 故选：D. 二、多选题（每题6分，共18分，部分答对得部分分，错选不得分） 9. 点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线AO必过BC边的中点 C. D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的线性运算判断即可；对于B，先假设直线过边的中点，设，根据平面向量的线性运算可得，即可判断；对于C，由可得，可得，进而求解判断即可；对于D，平面向量的数量积的运算律求解判断即可 【详解】对于A，由，则， 则，即，故A正确； 对于B，若直线过边的中点，设， 则，故B错误； 对于C，由，则，即 则，故C正确； 对于D，由，，且， 则 ，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解，根据正弦定理边角互化，结合二倍角公式即可求解B,根据正弦定理即可求解C，根据余弦定理以及不等式求解最值，即可根据面积公式求解D. 【详解】对于A, 得，故，A正确， 对于B,由可得,故，, 因此或，故或， 故三角形为等腰三角形或者直角三角形，B错误， 对于C，由于，故，故有两解，故C正确， 对于D,由可得, 故，，故，进而， 所以，当且仅当时取到等号， 故，故面积的最大值为，D正确， 故选：ACD 11. 如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 直线与不可能垂直 C. 当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，举反例即可根据棱锥体积公式分析即可，对C，由最小时，体积最小，得到为异面直线所成角，即可求解；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项B不正确； 对C，由侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以最小时，体积最小，∵，可得在处时最小， 由知此时与所成角为，等腰三角形中，，故选项C正确； 对D，同理可得当在处时，三棱锥的体积最大， 由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，，，， 由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球半径为，由，，可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理及数量积的定义即可求解. 【详解】由余弦定理可得：， ∴， 所以2． 故答案为： 14. 如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四面体的空间几何特征得到点在平面上，再结合几何特征求解出建立空间直角坐标系外接球的半径为，则利用外接球的几何特征求得外接球的半径.从而求出外接球的体积. 【详解】在正四面体中，取的中点为，连接． 易知平面． 设四面体的外接球的球心为，则点在平面上． 设在平面上的射影分别为，显然为的重心， 则． 在中，， 则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，外接球的半径为，则， 即， 即解得即， 则所求外接球的表面积． 四、解答题（写清楚必要的文字说明、计算过程，共77分） 15. 已知复数，（，）. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求m的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义列出不等式即可求解； （2）根据对应关系用含的式子来表示即可. 【小问1详解】 对应的点为， 故且，故， 【小问2详解】 ，，（，）， 故，故，故， ，故当时，的最小值为. 16. 已知平面向量满足，，. （1）若，求实数的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直的坐标运算即可求得未知量的值，再根据向量的数量积求两个向量夹角余弦值即可. 【小问1详解】 由已知得，且， 所以，得. 【小问2详解】 由已知得，且，所以， 则，得. ，，， 则. 所以与夹角的余弦值为. 17. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． （1）证明：； （2）证明：； （3）记，若，求的值． 【答案】（1） 设，则． 由余弦定理得， 所以，所以． （2） 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由（1）知，又，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，在和中，利用余弦定理分别表示，即可得证. （2）在和中，利用正弦定理结合即可证明. （3）若，根据三角形相似得，与已知矛盾；若，则，结合已知得，利用二倍角余弦公式化简得，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，则，得，与已知矛盾． 若，则， 所以化为，即， 整理得，即，解得． 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由题意知平面平面， 又平面平面平面， 所以平面,因为平面， 所以,又因为，，平面平面， 所以平面,因为平面， 所以; （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）过点作于点，证明当取最大时最大，证明，，三点共圆，且是以为直径的圆，求出四棱锥体积的最大值； （3）取中点为，连结，取中点为，连结，证明平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知二面角为直二面角， 过点作于点， 则 ， 所以当取最大时最大， 由于，所以，，三点共圆，且是以为直径的圆， 故（当落在圆心时，为直径时最大）， 即， 故四棱锥体积的最大值为； 【小问3详解】 取中点为，连结，取中点为，连结， 四棱锥体积最大时，， 点是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为点、分别是、的中点， 所以，则， 则，． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，, ，，，． 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 19. 如图，正四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面α与底面ABCD平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台与四棱锥的棱长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）． （1）若E是棱PA的中点，求四棱台的体积； （2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值； （3）已知四棱柱Ω的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若平面α任意上下平移时，总存在正数m，n，使得四棱柱Ω与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四棱锥也是正四棱锥，进而结合四棱锥的体积公式求解即可； （2）设AD，BC的中点分别为M，N，连接PM，PN，MN．设平面PAD与平面PBC的交线为l，易得平面PAD与平面PBC的夹角即（或其补角），进而求解即可； （3）由题意知四棱柱Ω的高为，体积为，当平面α任意上下平移时，设，，易得，结合四棱柱Ω与四棱台的棱长和相等，可得，进而得到,令，进而结合其导数求解即可. 【小问1详解】 由题意知平面， 所以四棱锥也是正四棱锥， 因为四棱台与四棱锥的棱长和相等， 所以， 即，故， 即四棱锥和正四棱锥的侧面都是正三角形， 连接AC，设点P在底面ABCD上的射影为O，则O为AC的中点． 由已知得，， 所以是等腰直角三角形，所以AC上的高， 即四棱锥的高为，所以， 当E是棱PA的中点时，， 所以四棱台的体积为． 【小问2详解】 设AD，BC的中点分别为M，N，连接PM，PN，MN， 因为，平面，平面， 所以平面，设平面PAD与平面PBC的交线为l， 又平面PAD，所以， 因为是等边三角形，所以，所以，同理可得， 所以平面PAD与平面PBC的夹角即（或其补角）， 由已知可得，， 所以， 所以平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由题意知四棱柱Ω的高为，体积为． 当平面α任意上下平移时，设，， 则，四棱台的体积为， 所以．① 又四棱柱Ω与四棱台的棱长和相等，所以， 所以，, 将其代入①，得, 令，则， 当时，，当时，， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 所以，则． 又，且总存在满足题中条件的m和n， 所以， 故，解得， 又，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2024-2025学年高一下期期中考试试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形的直观图面积为，则以该平面四边形为底面的一个高为6的四棱锥的体积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 5. 已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 6. 一个内径为6cm，高为15cm的圆柱形口杯中，盛有高度为6cm的水，现将一个半径为3cm的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 10cm D. 15cm 7. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题（每题6分，共18分，部分答对得部分分，错选不得分） 9. 点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线AO必过BC边的中点 C. D. 若，且，则 10. 在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则面积的最大值为 11. 如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 直线与不可能垂直 C. 当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 13. 在中，角的对边分别为，则___________． 14. 如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为__________． 四、解答题（写清楚必要的文字说明、计算过程，共77分） 15. 已知复数，（，）. （1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求m的取值范围； （2）若，求的最小值. 16. 已知平面向量满足，，. （1）若，求实数的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 17. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． （1）证明：； （2）证明：； （3）记，若，求的值． 18. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，正四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面α与底面ABCD平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台与四棱锥的棱长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）． （1）若E是棱PA的中点，求四棱台的体积； （2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值； （3）已知四棱柱Ω的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若平面α任意上下平移时，总存在正数m，n，使得四棱柱Ω与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $