精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

哈尔滨市第九中学校2024—2025学年度下学期 期中学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 17 D. 16 2. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位偶数有（ ） A. 个 B. 24个 C. 12个 D. 6个 4. 若数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共9小题，每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列不等式成立的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足（），则（ ） A. 可能是常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为0的等差数列 11. 已知函数有唯一的极值点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，请将答案写在答题纸指定位置上） 12. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_______秒，该病毒占据内存． 13. 已知函数在上单调递增，则实数b的取值范围是_______． 14. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________. 四、解答题（共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足：，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 17. 已知函数. （1）当时，求的极大值； （2）若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 对于数列，若存在实数m，使得数列为递减数列，则称数列为“m接近数列”．例如，设一个只有4项的数列的项分别是，那么就是一个“0接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”． （1）若数列满足，其中为的前n项和．求，并判断数列是否为“m接近数列”，若是请写出m的一个可能取值； （2）若数列满足，试回答下列问题： （ⅰ）求证：时，不是“m接近数列”； （ⅱ）当时，判断是否为“m接近数列”．若是，写出m的一个可能取值（用k表示）；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第九中学校2024—2025学年度下学期 期中学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 17 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列求和公式及性质即可求解； 【详解】， 故选：A 2. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 3. 由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位偶数有（ ） A. 个 B. 24个 C. 12个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理及排列计数问题列式计算得解. 【详解】先排个位有，再排其它三位有，则一共有个. 故选：C 4. 若数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用并项求和法可求得的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 5. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解. 【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法. 故选：A. 6. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7. 已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】令函数，则，， 函数在R上单调递增，不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 8. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设由题可知，利用导函数研究单调性知存在使得，此时得，而，即，则即构造，由的单调性可知，，构造，利用导函数研究的单调性，进而求得的值域，得出的取值范围. 【详解】解法一：不等式，即 ， 设，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增. 故只需， 所以，即. 设，则在上单调递增，又， 所以，设，则， 所以在上单调递增，所以的值域为，即的取值范围为. 解法二：由题意将原不等式变形可得， 即，令，则有，即 因为，所以有对于任意的恒成立， 令，则 因为，且当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取极大值，也是的最大值 所以 又因为，所以 故选：C 【点睛】关键点点睛： 1、构造，原不等式恒成立转化为有成立； 2、由导数知在使得，此时保证即原不等式恒成立； 3、由上得，构造讨论单调性，求得的值域. 二、多选题（共9小题，每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列不等式成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合导数研究最值，逐一判断即可. 【详解】对于A，设，所以， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数有最大值，， 即，即，故A正确； 对于B，设，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，函数有最小值，， 即，则，故B正确； 对于C，设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值，， 即，故C错误； 对于D，设， 因为，所以单调递减， 所以当时，有，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列满足（），则（ ） A. 可能是常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为0的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】设代入数列递推式，可求得，即可判断A；利用等差数列的定义及通项公式、求和公式计算即可逐一判断B，C，D选项. 【详解】对于A，是常数列，等价于，由可得， 解得，即时满足题设条件，故A正确； 对于B，当时，由可得， 则得，此时无意义； 由可知，当时，由可得， 则，故此时数列是公差为的等差数列，即B错误； 对于C，，由选项B已得等差数列的首项为1，公差为，故， 因，则，故C正确； 对于D，若数列可能为公差不为0的等差数列，则由B选项知，， 因，则不是一个非零常数，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数有唯一的极值点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导可得，可得存在唯一的变号正实根，进而对在上的零点情况分类讨论，求得的范围即可判断结论. 【详解】由，可得， 依题意可得存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根， 当时，不存在正实根， 又，当时，，当时，， 所以符合题意，只有一个极大值点，且， 当时，若要只有一个极值点， 则需在上没有零点或只有1这个零点， 当没有零点时，即在上没有零点， 又时，，则恒成立， 所以在上恒成立，令， 则，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，所以，所以， 当在有一个零点时，则， 所以或，由于，， 所以，，可以是的值. 因为， 令，求导可得， 当时，，故函数单调递增， 所以，故，故不符合题意. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，请将答案写在答题纸指定位置上） 12. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_______秒，该病毒占据内存． 【答案】39 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算． 【详解】由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列， 且，，，则，． 即病毒共复制了13次． 所需时间为（秒）． 故答案为：39 13. 已知函数在上单调递增，则实数b的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数，求出导数，由单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递增，得，恒成立， 当时，，，则， 所以实数b的取值范围是. 故答案为： 14. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________. 【答案】240 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案. 【详解】由题意知，， 故数列的前30项和为 ， 故答案为：240 四、解答题（共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足：，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 【答案】（1）或 （2）证明：因为等差数列的公差不为零，由（1）知 则 所以，故 而随n的增大而增大，则，故成立 【解析】 【分析】（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可； （2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可. 【小问1详解】 设数列的公差为d，依题意：成等比数列， 所以，解得：或 当时，，当时， 所以数列的通项公式为或 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. 【小问2详解】 由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 17. 已知函数. （1）当时，求的极大值； （2）若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导得，研究单调性求出极值； （2）求导，分类讨论，求出最小值，解方程得到答案. 【小问1详解】 当时，， ， 令，解得或， 当或，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，的极大值为. 【小问2详解】 ，， 当时，，，单调递增，无最小值，不符题意； 当时，令，则或， 当时，，，所以单调递增，无最小值， 当时，当，，当，， 所以在单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值， 最小值为， 所以，即， 化简得，即， 解得，即. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1） 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 对于数列，若存在实数m，使得数列为递减数列，则称数列为“m接近数列”．例如，设一个只有4项的数列的项分别是，那么就是一个“0接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”． （1）若数列满足，其中为的前n项和．求，并判断数列是否为“m接近数列”，若是请写出m的一个可能取值； （2）若数列满足，试回答下列问题： （ⅰ）求证：时，不是“m接近数列”； （ⅱ）当时，判断是否为“m接近数列”．若是，写出m的一个可能取值（用k表示）；若不是，说明理由． 【答案】（1），数列是“m接近数列”， 的一个可能值为3； （2） （ⅰ）当时，数列中，， 则， 而，即数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，， 当为正奇数时，，数列递增，且随着正奇数的无限增大，趋近于正无穷大， 故存在正整数，对任意，当时，是递增的， 所以不是“m接近数列”. （ⅱ）是，的一个可能值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出，进而求出，再利用给定定义及等比数列单调性判断即可. （2）（ⅰ）把代入，利用构造法求出，再取其奇数项构成的子列，结合给定定义推理得证；（ⅱ）利用构造法求出，再利用给定定义及等比数列单调性判断得解. 【小问1详解】 数列是“m接近数列”，理由如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，整理得， 则，而， 因此数列是首项、公比都为的等比数列，， ，，而数列是递减数列， 所以数列是“m接近数列”，的一个可能值为3. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）是否为“m接近数列”，理由如下： 当时，，则， 又，因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，而， 数列是递减数列， 所以是“m接近数列”， 的一个可能值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $