重庆市第一中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

重庆一中高2026届高二下期半期考试 参考答案 1、B2、B3、A4、C 5、C6、B7、C8、C 9、ACD10、BCD11、BD 12、0.3413、1<a<214、2.45 1,【保标1意C对o1-兰若-若+两动球求号血x-员号升 24161 … 则sin3 11 3 5171 53+1≈0327 31622916016229160 8、【解析】选c.设方程的实根为xo,则n(a,+)=2+与故a+片=e号设动 点P(a,b),则Va2+bn=10P= 质t=后+≥则匠+行=台当 t=1时，(a2+b2)e=e2. 9、【解折】因为函数f()=-3x+1,所以f()=3x-3, 令(y)=3x2-3=0x=±1 当x<1或x>1时，()>0，（在四，-，0，+回）上都单调递增， 当-1<x<1时，()<0，（冈在1）上单调递减， 故x=-1为函数的极大值点，x=1为函数的极小值点， 即（有两个极值点，A正确： 不妨设直线是曲线'=（✉）的切线，则满足∫()=3x-3=9 则x=-2或者+2，即切点坐标为(-2，-18)(2,18) 而f-2)1*-18,f2=3+18 说明假设不成立，即直线y一9x不是曲线y=(:的切线，B错误， 因为()+八)=之-3x+1+0-x对+3x+]=2 故点(0，)是曲线y=(的对称中心，C正确： C③扫描全能王 3亿人意在用的月国Ap 由A可知()有两个极值点x=±1，且f-)=3>0,f0=-1<0, f(-2)=-8+6+1<0,f(2)=8-6+1>0, 结合∫()的单调性可知函数在-2，-)，(~1，)，0,2)各有一个零点， 即函数(x)有3个零点：故D正确， x=y+】 10、【解折】设直线AB:x=my+1,由广=4红得：y2-4my-4=0, 则八+为=4m月y=4； 选项Auo-rh-小-20+为-w=i6m+16x4=2 应是最小值为2，故A错误：选项B:以=-4，故B正确： 16 ,故C正确： 选项D由M=乐，远=名丽，Mh引 得： =-y2+ 4+%=2-2日+1=22+丛=22如 m片为 m4,故D正确故选：BCD 11、【解析】选BD.P1=C号故A不正确.质点在ABCD面移动两次的概率为CC号=号 质点向A181C,D,面移动一次再向ABCD面移动一次的概率为CC号=号 P2=号+将=得B正确， 对于CD选项由全概率公式得P=一 P+号因为月=可求G不正确，D正确 2 CS扫描全能王 3亿人意在用的月量ApP 14、【解析】设这25个数据的平均数x=6,方差s2=4. 设去掉的5个数据的平均数为奶，方差为s 设余下的20个数据的平均数为元，方差为s号， y=1y=8,z=22="=5.5 20 20 由s2=14-2=01-2得：号=12-y2=碧-82=52. 由分层抽样的方差公式得：s2=号+-习]+[s经+（亿-习]，即 4=号[5.2+(8-6)]++(5.5-6)门]，解得s好=2.45. 故余下的20个数据的方差为2.45. 15、【解析】(1)由题意，根据表格中的数据， 可得： x-0+2+3+44列=3.=0+12+17+21+20=1n 则24-30%-刀-0-0-1m*46-%26-10=9 2-20-列=10x186=433 所以r 24-04-7 4322075, 43 ②4-2- 所以变量y与x的线性相关程度很强 2)由1)可得-3，=17,24-0，-刃=3 反由2-=0-+2-+B-3+4-3护+5-30 2%-0-列 6 443 10 所以 4-网 ,则=了-6=17-4.3×3=41， 可得y关于x的线性回归方程为立=4.3x+4.1, 令x=6,可得9=4.3×6+4.1=29.9，即2025年交易额29.9百亿元 CS扫描全能王 3亿人意在用的月量Ap明 16、【解析】(1)由0.002×20+0.004×20+0.009×20+a-20+0.012×20+0.003×20=1,解得 a=0.020. 2)由频率分布直方图可知，【40,60)与[80,10)的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，X取0,1,2， 所以X的分布列为 X 1-7 4 7 所以 (3)用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 0.02×20+0.012×20+0.003×20=0.7所以5-B(10,0.7) P(5=k)=C0.7*(1-0.7)- [P(5=k)≥P(传=k+) P(5=k)2P(传=k-),解得：67≤ks7.7,又ke2,故k=7时概率最大 17、【详解】(1)零假设为，：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得子=200×(650二3504.604k6.633 100×100×115×85 依据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H不成立， 因此可以认为H。成立，即认为DeepSeck的使用情况与学历无关： (2)()当甲，乙同时回答第=山，2,3刊道题时，甲得分为X, 品Px=o-,Px0-=. P(x-10)=亏×20， 21.1 设A=“甲的总分为10分”， -c+c-器 C③扫描全能王 3亿人重在用的月厘AP明 ()设B=“比赛结束后乙答对一道题”，由(1)可知 小-器 u-G时得照 2 52100C 162 P(BIA)= P(AB_1000_18 P(4)279 1 则 1000 18 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为3引， 1,【解折】)两新近线040B的方程分别为y=士 x,即x士V2y=0. 2 p4号·P叫 2 设01的领到角为0，则m0-2款血乙AP9=如-2020-2返 2 从而8m=P4 si如∠APB=x4x25_45 2339 (2)①若直线CD的斜率存在时，设CD:y=女+m,联立x2-2y2=4,消y得： x+x22可 一4km （0-2k2)x2-46x-2(m2+2)=0,设C(%,月)D(x2,y2),则 5 2(m2+2) 2k2-1 由PC⊥PD台PCP而=0台(%-2X%-2)+yy=0 台x为2-2(%+x)+4+(+m)2+m)=0 台(K2+1)x2+(m-2x+x2)+m2+4=0 台(k2+1)2(m2+2)+(m-2(-4om)+(m2+402k2-1)=0 中12k2+8mk+m2=0 白(2k+m)(6k+m)=0 白m=-2k或m=-6k 5 CS扫描全能王 3亿人重在用的月得Ap明 直线CD的方程为：y=k(x-2)(不符，舍)或y=k(x-6). .直线CD过定点Q(6,0). ②若直线CD的斜率不存在时，设CD:x=m,联立x2-2y2=4,得 C(m,Vm- √2 ,Dm,-m24 ,由P元.P历=0台 m-22+(Nm2-4 Vm2-4 =0分m2-8m+12=0台m=6或m=2(不符， 舍). 直线CD的方程为x=6,此时也过定点Q(6,0): 在POH中，取P2中点6,0.则H=PQ-x4=2, 故点动点H在以点R为圆心，2为半径的定圆上，且此定圆的方程为(x-4)2+y2=4. 19、【解析】(1)定义域为(0，+)，其导数为'()=a-匹 若a≤0时，f(x)单调递减，不符题意： 若a>0时，令f'(x)=0→x=日，则 当x∈(0，马时，∫'()>0，f)递增：当xe(侣，+o)时，了()<0，fx)递减. 故f(y)=f(=a(ma-2). 欲证f(x)≤a2-3a,即证lna≤a-1. 令ga)=lha-a+1,g(@)=-1,则g(@)在(0，)递增，在0，+o)递减，故 g(a)≤g()=0.从而f(x)≤a2-3a, (2)e[cos(f(x))-2ex]sx-2ae"+nx 台cos(/x)-2exs-2alnx 台cosU/sS-2alnx+2e 6 CS扫描全能王 3亿人重在用的月厘AP明 cos(f(x))sehx-0-2(alnx-ex) 台cos(x)se/-2fx). 令1=f(x)=alnx-ex,则等价于cos1≤e-21恒成立. 令ht)=e'-21-cos1,则(t)=e-2+sin1. 当1≤0时，e≤l,sin1s1,则h()≤0，h()在(-o,0]递减： 当1≥0时，h”()=e+cos1≥1+cos1≥0，则h'()在[0，+oo)递增. 又h(0)=-1<0,(①)=e-2+sin1>0,所以存在唯-。∈(0,1)，使得h(,)=0. 且当t∈[0，o)时，h()<0,h()递减：当1∈(o,+∞)时，h()>0,h)递增. 综上，h()在(-o0,]递减，在(o,+oo)递增 注意到h(0)=0,h(2)=e2-4-cos2>0,故存在唯-4e(,2),使得h)=0. 从而cost≤e-21白h()20台t∈(-o,0]U[t,+o). 由(1)知：①当a=0时，f(x)=-ex单调递减，故t=f(x)的值域为(-o,0),此时h(t)>0 恒成立，符合题意： ②当a<0时，f(x)=anx-e以单调递减，故1=f(x)的值域为(-o,+o),此时存在 h()<0,不符合题意： @当a>0时，f闭m=/(白=a血a-2),又当x→0时，f)→0.故1=f 的值域为(-oo,a(na-2)】. <1>若a(na-2)≤0即0<a≤e2时，t=f(x)e(-oo,a(na-2]c(o,0],此时 h()>0恒成立，符合题意： <2>若a(na-2)>0即a>e2时，取42=min(a(na-2),l,},此时存在h2)<0,不 符合题意。 综上：实数a的取值范围时[0，e] 1 CS扫描全能王 3亿人重在用的月厘AP明 秘密★启用前【考试时间：5月15日8:00-10:00】 重庆一中高2026届高二下期半期考试 数学试题卷 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1.若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 2.一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（ ） A.84 B.85 C.86 D.88 3.若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ） A.或 B. C. D. 4.某人有2个孩子：在已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 5.在的展开式中，常数项为（ ） A. B.31 C. D. 6.2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（ ）种. A.32 B.28 C.24 D.20 7.英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（ ） A.0.323 B.0.325 C.0.327 D.0.329 8.若关于x的方程（其中、）有实根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数，则下列说法正确的有（ ） A.有两个极值点 B.直线是函数的切线 C.的对称中心是 D.有且仅有三个零点 10.已知直线l：，抛物线C：的焦点为F.一条过点F的直线交抛物线C于、两点，又与l交于点M.若，，则（ ） A.的面积的最大值为2 B. C. D. 11.在正方体中，若A点处有一个质点，随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角线移动到其它顶点为一次移动，且每个顶点移动到其它任意一个顶点的概率都相同，设质点移动n次后还在底面ABCD的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.为等比数列 D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.若随机变量且，则______. 13.直线l与双曲线交于A、B两点，且l过该双曲线的右焦点.若满足条件的直线l有且仅有4条，则a的取值范围是______. 14.已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为______ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题13分）随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y 9 12 17 21 26 （1）统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度. （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额. 参考数据：； 参考公式：；回归方程，，. 16.（本题15分）2025年1月，某视频APP发布，该模型在全球范围内引发广泛关注，现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了若干名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求a的值： （2）采用分层抽样的方法，已经从样本中每日使用时长在，的用户中抽取出了7人，现从这7人中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中忠实粉丝的人数，求X的分布列和期望. （3）用样本频率估计总体概率，从该产品所有用户中随机抽取10人，记为其中“忠实粉丝”的人数，时对应的概率记为，则k为多少时最大？ 17.（本题15分）AI正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得0分；若一人答对而另一人答错，答对的得10分，答错的得分.比赛结束后，3道题的得分之和为该选手的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为. （ⅰ）求甲的总分为10分的概率； （ⅱ）求在甲的总分为10分的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 参考公式与数据：，其中. 临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.（本题17分）已知双曲线，点. （1）过点P分别作和垂直于双曲线的两条渐近线，A、B为垂足，求的面积： （2）若C、D两点都在双曲线上运动，且，作于点H，求证：动点H在定圆上，并求出此定圆的方程. 19.（本题17分）已知函数（其中e为自然对数的底数，）. （1）若函数在其定义域上不单调，求证：. （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$