精品解析：四川省绵阳外国语学校2024-2025学年高二上学期第一学月质量检测数学试题

【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2024～2025学年上期第一学月质量检测 高二年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．完卷时间：120分钟．满分：150分． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从绵阳市参加数学会考测试的48000名学生的成绩中抽取2000名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生的成绩是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 一个样本 D. 样本容量 2. 如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是（ ） A. 甲的数学成绩最后3次逐渐升高 B. 甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数 C. 甲有5次考试成绩比乙高 D. 甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差 3. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）： 高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 4. 已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，，则正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 6. 如图三棱柱中，是棱的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 棱长为2的正方体，点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品长度的众数是75 B. C. 不合格的产品数为100件 D. 产品长度的平均值约为73.2 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔答在答题卷中， 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 三．填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案直接填在答卷中相应的横线上． 12. 已知向量，，则_____ 13. 若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数a的值是______． 14. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的番号是____ ①甲球员连续5场得分都不低于24分 ②乙球员连续5场得分都不低于24分 ③丙球员连续5场得分都不低于24分 ④丙球员连续5场得分的第60百分位数大于24 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、过程或演算步骤． 15. 某果农试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和． A(单位kg) 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 B(单位kg) 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 （1）求品种A产量的极差和中位数； （2）求，，，；依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由． 16. 如图所示，平行六面体中，． （1）求； （2）求． 17. 如图所示，在几何体EFG-ABCD中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． （1）求证：EF平面BDM． （2）当直线BM与平面BEF所成的角为时，求DM的长 18. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）由于男生、女生身高差异，采用分层抽样的方法再抽取一个容量为100的样本，并观测样本的指标值 （单位：cm），已知该样本男、女生比例是16：9，计算得男生样本的均值为173，方差为17，女生样本的均值为164，方差为30．该样本的均值和方差各为多少？（结果保留整数） 19. 如图，三棱锥，，，． （1）求证：； （2）若点Q满足，且点Q到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2024～2025学年上期第一学月质量检测 高二年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．完卷时间：120分钟．满分：150分． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从绵阳市参加数学会考测试的48000名学生的成绩中抽取2000名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生的成绩是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 一个样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体，个体，样本，总体容量的概念判断即可解决. 【详解】由题知，总体是48000名学生的成绩， 个体是每一名学生的成绩， 2000名学生的成绩是从总体中所取的一个样本. 故选：C 2. 如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是（ ） A. 甲的数学成绩最后3次逐渐升高 B. 甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数 C. 甲有5次考试成绩比乙高 D. 甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图看甲最后三次的成绩变化可判断A;看甲的数学成绩在130分以上的次数以及乙的数学成绩在130分以上的次数，判断B;看甲成绩比乙高的次数可判断C;观察甲乙两人的最高成绩和最低成绩即可判断D. 【详解】对于A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法正确； 对于B，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B说法正确； 对于C, 甲有7次考试成绩比乙高,故C的说法错误； 对于D，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分， 乙的最低成绩为110分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D说法正确， 故选：C 3. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）： 高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合百分位数的概念分析运算. 【详解】由，可得第25百分位数分别为和，则； 由，可得第90百分位数分别为和， 则，解得； 故. 故选：C. 4. 已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 5. 已知向量，，，则正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量计算公式计算可判断A；根据向量数量积与向量夹角关系可判断B；根据向量数量积坐标运算计算可判断C；根据向量共线的条件可判断D； 【详解】对于A， 在上的投影向量为，故A正确； 对于B，，且所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以与不平行，故D错误. 故选：A 6. 如图三棱柱中，是棱的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 即. 故选：A. 7. 棱长为2的正方体，点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意对平面与平面展开成平面图像，由距离之和小于等于第三边即可求解. 【详解】如图，在棱长为2的正方体中， ，，， 所以和为全等的直角三角形，展开平面如下： ∵，∴， ， ， 故选：D. 8. 已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的计算公式可得到数据的平均数，再根据平均数的计算公式即可得到数据的平均数． 【详解】由方差的计算公式可得， 可得平均数， 对于数据有． 故选：C． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 10. 某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品长度的众数是75 B. C. 不合格的产品数为100件 D. 产品长度的平均值约为73.2 【答案】AB 【解析】 【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、众数、频数及平均数公式计算即可. 【详解】对于A项，因为频率分布直方图中的矩形的高度最高，所以长度在的产品数最多，即产品长度的众数是75，故A项正确； 对于B项，由得，故B项正确； 对于C项，因为，所以不合格产品数为1000件，故C项错误； 对于D项，，故D项错误. 故选：AB. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔答在答题卷中， 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 三．填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案直接填在答卷中相应的横线上． 12. 已知向量，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的减法运算，坐标表示、向量模的坐标表示运算即可得解. 【详解】，， ， . 故答案为：. 13. 若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方向向量与斜率的关系，以及斜率定义可解. 【详解】∵直线l的方向向量是， ∴直线l的斜率， 又直线的倾斜角， ∴斜率，解得． 故答案为： 14. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的番号是____ ①甲球员连续5场得分都不低于24分 ②乙球员连续5场得分都不低于24分 ③丙球员连续5场得分都不低于24分 ④丙球员连续5场得分的第60百分位数大于24 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题需要根据甲乙丙三位球员得分数据所满足的不同条件，分别对每个选项进行分析判断.对于甲球员，依据中位数和众数的定义来判断得分情况；对于乙球员，通过结合中位数和平均数的定义，尝试构造反例来判断；对于丙球员，利用平均数和方差的定义，以及百分位数的定义来进行分析. 【详解】对于①： 设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，且至少出现次，故，①正确； 对于②： 设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，取， 可得其满足条件，但有2场得分低于24，②错误； 对于③： 设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 已知方差， 所以. 若，则，所以， 这与上式矛盾，所以， 那么. 又因为的平均数为，所以， 取，满足要求，但有一场得分低于24分，③错误； 对于④： 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为， 若，则，此时，矛盾， 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，④ 正确. 故答案为：①④. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、过程或演算步骤． 15. 某果农试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和． A(单位kg) 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 B(单位kg) 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 （1）求品种A产量的极差和中位数； （2）求，，，；依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由． 【答案】（1）极差为50，中位数为75 （2）A品种产量稳定，故选择A,理由如下: ， ， ，- ，- 由可得A，B两个品种平均产量相等， 又，则A品种产量稳定，故选择A. 【解析】 【分析】（1）A品种10棵产量由小到大排列，可求极差和中位数； （2）计算数据，从平均产量和产量的稳定程度综合考虑选择A品种. 【小问1详解】 A品种10棵产量由小到大排列为， 则A品种产量的极差为50，中位数为75； 【小问2详解】 选择A,理由略. 16. 如图所示，平行六面体中，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两边平方后可得. （2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 ，又 则 ， 所以． 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得，- 因为且， 所以 ， - ，- 则． 17. 如图所示，在几何体EFG-ABCD中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． （1）求证：EF平面BDM． （2）当直线BM与平面BEF所成的角为时，求DM的长 【答案】（1） 四边形、四边形、四边形均为正方形， 两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，设， ，， ， ，同理可证，且，平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，可求得，同理可证，由此可证得结论； （2）设，根据线面角的向量求法可构造方程求得，结合可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量，又，， ， 令，解得，，. 假设存在点，使得直线与平面所成的角为，则， ，解得：， 在棱上，，， 当点在棱上，且时，直线与平面所成的角为． 18. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）由于男生、女生身高差异，采用分层抽样的方法再抽取一个容量为100的样本，并观测样本的指标值 （单位：cm），已知该样本男、女生比例是16：9，计算得男生样本的均值为173，方差为17，女生样本的均值为164，方差为30．该样本的均值和方差各为多少？（结果保留整数） 【答案】（1）60 （2） （3）该样本的均值为，方差为 【解析】 【分析】（1）先算，然后即可求解； （2）由百分位数的定义计算即可； （3）由加权平均和方差公式直接计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）. 【小问2详解】 的人数占比为， 的人数占比为， 所以该校100名生学身高的75％分位数落在， 设该校100名生学身高的75％分位数为，则％，解得， 故该校100名生学身高的75％分位数为． 【小问3详解】 由题得：该样本的均值为 该样本的方差为 19. 如图，三棱锥，，，． （1）求证：； （2）若点Q满足，且点Q到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图，取中点，连接， AI ，，， 则，， ，，， 平面，平面，则平面， 平面，． （2） 【解析】 【分析】（1）通过等腰三角形三线合一性质得到两条垂直于的直线，再利用直线与平面垂直的判定定理证明垂直于平面，最后根据直线与平面垂直的性质证明． （2）首先根据已知条件建立空间直角坐标系，确定各点坐标，然后求出相关平面的法向量，最后通过法向量的夹角公式求出平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，， ，， ，即，则两两垂直， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 设，，平面的一个法向量为， ， 又，，解得，， 设平面的一个法向量为， ， ，令，，， 当Q点坐标为时，设平面的一个法向量为， ， ，令，则 ， ， ， 当Q点坐标为时，同理求得平面的一个法向量为， ， 综上所述：平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $