精品解析：四川省泸州市古蔺县中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

古蔺中学高二2025年春第一次月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可. 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 4. 已知数列的首项为，递推公式为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推公式逐项计算可得出的值. 【详解】由题意. 故选：D. 5. 已知数列是等差数列，是它的前项和，，则（ ） A. 100 B. 101 C. 110 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件，求出等差数列的公差，再结合前项和公式求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，则，即有， 由，得，解得，因此， 所以. 故选：B 6. 如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数在区间上是减函数 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数在区间上是减函数 D. 函数在区间上是增函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数的正负决定了原函数的单调性，，原函数单调递增，，原函数单调递减，逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：当时，，则在上单调递减，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 则在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于选项C：当时，，则在上单调递增，故C错误； 对于选项D：当时，，则在上单调递减，故D错误； 故选：A. （物理类） 7. 定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对各个选项的函数求导，根据“坚定点”的定义判断方程是否有解即可. 【详解】对选项A：，令，则，解得，，存在“坚定点”； 对选项B：，在上单调递减， 时，，时，； 在上单调递增，时，，时，， 所以关于的方程在上有一解，存在“坚定点”； 对选项C：，令， 则，即，显然是“坚定点”； 对选项D：，令，则，因为且，所以不存在“坚定点”． 故选：D. （历史类） 8. 若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，结合“巧值点”的定义逐个求解判断. 【详解】对于A，由，得，所以， 所以有无数个“巧值点”，所以A错误； 对于B，由，则， 令，则，显然，则，显然不成立， 所以无解，故不存在“巧值点”，故B正确； 对于C，由，得，由，得， 即为函数的“巧值点”，所以C错误； 对于D，由，得，令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，所以存在，使， 即，所以为函数的“巧值点”，所以D错误. 故选：B 9. 设函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出利用奇偶性，再利用导数求得的单调性，从而利用奇偶性、单调性解不等式即可得解. 【详解】因为，其定义域为， 所以，故为奇函数， 又， 当且仅当，即时等号成立，所以在上单调递增， 故由得，即， 所以，解得. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10. 下列数列是等比数列的是（ ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 【答案】AC 【解析】 【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确； B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误； C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确； D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处的切线方程为 C. 在上单调递增 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】求导即可判断AC，根据导数的几何意义即可判断B，将方程的解转化为函数图像的交点，即可判断D. 【详解】 ，故A错误； 因为，则，且， 则在处的切线方程为， 即，故B正确； 因为，则， 令可得，其中，则， 所以在上单调递增，故C正确； 方程的解的个数，即为的解的个数， 即函数与函数图像交点个数， 作出函数与的图像，如图所示， 由图像可知，方程只有一个解，故D错误； 故选：BC （物理类） 12. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】， 若在上不单调，令， 对称轴方程为，则函数与轴在上有交点． 当时，显然不成立； 当时，有，即，解得或． 四个选项中的范围，为的真子集， ∴在上不单调的一个充分不必要条件是和. 故选：BC． （历史类） 13. 已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，所以，故，即， 故选：AB. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 14. 已知等差数列的前n项和为，若则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质即可得解. 【详解】由题意， 所以. 故答案为：. 15. 设等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】156 【解析】 【分析】方法一：设等比数列的公比为，然后由列方程可求出，再利用等比数列的求和公式对化简计算即可，方法二：利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为，显然. 因为，所以， 所以. 法二：设，则.因为为等比数列， 所以仍成等比数列. 因为，所以， 所以，即. 故答案为：156 （物理类） 16. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故答案为： （历史类） 17. 若函数与在公共点处存在公共的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设公共点坐标为，由题意可得，进而可得. 【详解】函数与的导数分别为与， 设公共点坐标为，则， 所以，又因为，故，，所以． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 18. 已知等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设出等差数列的公差，化简题目中的等式，可得答案； （2）利用裂项相消，可得答案. 【小问1详解】 由题意设等差数列的公差为， ，. 【小问2详解】 由（1）得，则， 则. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 20. 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法可求. 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 21. 已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． （1）求，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)利用累乘法可求的通项公式，再利用等差数列的定义求的通项公式；(2)利用错位相减法求和. 【小问1详解】 证明：∵，∴，∴， ∴， 当时，上式成立，∴ 又因为，， 所以， 所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1），， 所以，① ，② 所以①②得， 所以． （物理类） 22. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 【答案】（1）； （2）0； （3） 由（2）知，当时，，令，则， 则， 因此， 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用累加法计算即得. （2）利用导数说明函数的单调性，进而求出最小值. （3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 依题意，，则有， 当时， ， 又也满足，所以. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 所以函数的最小值为0. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到. （历史类） 23. 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. 【小问2详解】 因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，. 【小问3详解】 因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 古蔺中学高二2025年春第一次月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的首项为，递推公式为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是等差数列，是它的前项和，，则（ ） A. 100 B. 101 C. 110 D. 120 6. 如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数在区间上是减函数 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数在区间上是减函数 D. 函数在区间上是增函数 （物理类） 7. 定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（ ） A. B. C. D. （历史类） 8. 若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10. 下列数列是等比数列的是（ ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处的切线方程为 C. 在上单调递增 D. 方程有两个不同的解 （物理类） 12. 已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. （历史类） 13. 已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 14. 已知等差数列的前n项和为，若则______． 15. 设等比数列的前项和为，若，则__________. （物理类） 16. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为__________. （历史类） 17. 若函数与在公共点处存在公共的切线，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 18. 已知等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 20. 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 21. 已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． （1）求，的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求． （物理类） 22. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. （历史类） 23. 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $