精品解析：河南省信阳市信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二下学期5月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是 A. -1 B. 1 C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 20种 5. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 设X，Y为随机变量，且，则（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 在回归直线方程中，y与x具有负线性相关关系 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大 C. 随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，，则 8. 已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法 B. 被7除后的余数为5 C. 若，则 D. 抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆内的次数的均值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的有理项共有__________项． 13. 已知圆和圆相切，则_________ 14. 数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的准线方程为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 16. 如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且 （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 14 20 37 74 108 203 （1）根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）； （2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差. 参考数据：，其中； 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性; （2）若函数 有两个零点， 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式和一元二次不等式确定集合，然后由并集定义计算． 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是 A. -1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由y=x3知y'=3x2，故切线斜率k=y'|x=1=3. 又切线与直线ax+y+1=0垂直，故－3a=－1，得a=.选C. 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法、数乘及向量数量积的坐标表示运算即可. 【详解】因为向量，， 所以， 即，解得， 所以， 所以. 故选：B 4. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】先求无限制条件的方法数，再减去不符合题意的方法数即可求解. 【详解】从6人中任选3人，有种选法， 其中，若全选男生或全选学生，有种选法， 所以符合题意的选法为种. 故选：C 5. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由轴截面是面积为2的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 由题可知， ∴， 侧面积为， 故选：C. 6. 设X，Y为随机变量，且，则（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的公式求得，再根据方差的性质求解即可 【详解】由题意，，故 故选：B 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 在回归直线方程中，y与x具有负线性相关关系 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大 C. 随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计学的相关原理逐项分析. 【详解】对于A， ， x，y负线性相关，正确； 对于B，根据相关系数的性质，正确； 对于C，因为 服从 ，所以 ，正确； 对于D， ，解得 ，错误； 故选：D. 8. 已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解. 【详解】 我们首先来证明一个引理：若，则， 证明如下：设，则由余弦定理有 ，即， 所以， 所以，从而引理得证； 根据题意可得， ，解得， 因为，所以，解得， 由，，可得三角形为等边三角形， 所以，所以， 所以，所以是的中点， 所以，所以，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形为等边三角形，进一步得出的齐次式关系即可求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意求出公比，求出和代入选项验证即可. 【详解】由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对； ，， 代入C，D选项验证，C正确； D选项右边，D错误. 故选：BC 10. 某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】事件，事件不能同时发生，求出，，，，，根据条件概率、全概率公式计算逐项判断可得答案. 【详解】对于A，依题意，事件，事件不能同时发生，，故A正确； 对于B，，，，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC． 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法 B. 被7除后的余数为5 C. 若，则 D. 抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆内的次数的均值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：采用隔板法共有； 对于B：，展开式中只有最后一项1不是7的倍数； 对于C：分别令得：，令，得，，两式相加除以2，计算可判断； 对于D：点P共有36种情况，其中在圆内的有，，，，，，，，共8种，可得点P在圆内的概率为.继而有，由二项分布的期望公式可判断. 【详解】解：对于A：6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，即每个盒子至少1个，采用隔板法共（种），故A正确； 对于B：，展开式中只有最后一项1不是7的倍数，所以被7除后的余数为2，故B错误； 对于C：在中， 令得：，令，得，， 两式相加除以2，得，故C正确； 对于D：点P共有36种情况，其中在圆内的有，，，，，，，，共8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为.因为，所以的均值为，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的有理项共有__________项． 【答案】3 【解析】 【详解】，，因为有理项，所以，共三项．填 3. 13. 已知圆和圆相切，则_________ 【答案】或或 【解析】 【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 14. 数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合得到，倒序相加求出答案. 【详解】令， 则有， 结合可有， 倒序相加法得， ，， 即. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的准线方程为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 16. 如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且 （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求出三棱锥 的高和底面积，即可求得答案； （2）建立空间直角坐标，求出相关各点的坐标，再求出相关向量的坐标，从而求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式，可求得答案. 【小问1详解】 过作交于点E，因为，， 所以为正三角形，所以E为中点，即, 又因为平面平面，面面，，面，所以面，即面， 因为D为的中点，所以，又， 即，即，则的面积为1， 【小问2详解】 因为在圆柱中，轴截面是正方形，取弧的中点C， 所以两两垂直，以，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意知，，，， ，， 设平面的法向量， 则，即 , 取，则，，则， 平面的法向量可取 所以， 设二面角为，则为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，且， 所以，即， 又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意构造出形式即可得； （2）借助裂项相消法求和即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以 ， 故. 18. 众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 14 20 37 74 108 203 （1）根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）； （2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差. 参考数据：，其中； 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）平均数为167.5，方差为42.6 【解析】 【分析】（1）利用对数变换将非线性回归模型转化为线性回归模型，再根据给定的参考公式求出线性回归方程的系数，进而得到与的回归方程； （2）根据分层抽样的性质，利用平均数和方差的计算公式来求解全体学生身高的平均数和方差. 【小问1详解】 已知，两边取常用对数可得， 设，，，则回归方程变为. 先计算，，，. 根据参考公式，，将，，，代入可得： . . 则， 因为，，所以，则；，则. 所以与的回归方程为. 即 【小问2详解】 全体学生身高的平均数. 根据方差公式（其中为各层人数，为各层方差，为各层平均数，为总平均数）. 将，，，，，，代入可得： 则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性; （2）若函数 有两个零点， 求证：． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2） 由（1）知，若函数 有两个零点， 则，且，即时，有两个零点， 不妨设是函数的两个零点， 则，两式相除得， 不妨设， 设 ， 所以 ， 所以，要证，只需证， 即证：， 设， 则， 令，则， 所以，当时，，单调递增， 所以，在恒成立，即， 令, 则， 所以，在上单调递增， 所以，， 所以在上成立，即在上单调递增， 所以，即. 所以，. 【解析】 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论求解即可； （2）结合（1）得时，有两个零点，不妨设是函数的两个零点，进而得，再设，，进而得，再等价转化后，构造函数，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 解：函数定义域为， ， 当时，恒成立， 函数在上单调递增； 当时，时，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设， 设，进而将得到，再结合要证结论，将问题转化为证明，再利用导数证明不等式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $