精品解析：重庆市2025年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 高三第三次联合诊断检测 数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合即可. 【详解】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求出，再求模即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直判定定理及线面垂直的性质即可判断得出结论. 【详解】由，，则可能有，或者与相交，不能推出， 若，，则有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 4. 过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 5. 已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再对其求导，结合极小值点的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，根据绝对值的性质， 当时，，此时； 当时，，此时. 所以. 对分段函数求导， 当时，，对其求导，可得； 当时，，对其求导可得. 因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近. 当时，，令，即，解得； 当时，，令，即，解得. 要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得. 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出的范围，进一步可得周期的最小值，由此即可得解. 【详解】当，则，有两个零点，则， 所以，由知，最小正周期的最小值为. 故选：D. 7. 设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，求导得，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 对其求导，则有，所以关于直线对称. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断： （1）对于，若，则函数周期为； （2）对于，若，则函数关于直线对称； （3）对于，若，则函数关于点对称 8. 已知长方体中，，，E为的中点.若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（ ） A. 24 B. 18 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由，知点P的轨迹是平面ACE与长方体表面相交线围成的图形，利用面面平行的知识作出点P的轨迹，再根据长方体的结构特征与梯形的知识计算即得答案. 【详解】由知，点P的轨迹是平面ACE与长方体表面相交线围成的图形， 取的中点F，连接EF，则有， 又，所以EFCA为等腰梯形， ，由此可算出其高， 所以等腰梯形EFCA的面积. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（ ） A. 2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B. 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C. 2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D. 2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 【答案】AB 【解析】 【分析】结合图象对选项逐一分析即可判断. 【详解】2000年—2005年高中阶段毛入学率增量为， 1995年—2000年高中阶段毛入学率增量为，故A正确； 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了，故B正确， 由图中只能知道入学率，没有人数基数，故CD错误. 故选：. 10. 已知，则（ ） A. ，使得是增函数 B. ，函数均存在极值点 C. ，函数只有一个零点 D. ，且，有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，对函数求导后，根据导数与函数的单调性及极值举例分析判断，对于C，对函数求导后，求出函数的单调区间，结合函数的图象可得结论，对于D，分和两种情况讨论函数的单调性的最值即可得结论. 【详解】对于AB，，当时，，所以为增函数，此时无极值，所以A正确，B错误； 对于C，当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 又，当时，， 所以观察图象可知，函数只有一个零点，所以C正确； 对于D，当时，由选项C可知在上递增，上递减，上递增， 所以的极大值为，极小值为， 因为，所以， 当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 因为，，所以，综上，所以D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点，根据点到直线的距离公式得到，，，利用圆锥曲线的统一定义得到，结合双曲线的离心率及双曲线的范围求解可判断各选项. 【详解】设点，则有，所以，，. 对于A，由双曲线性质有，所以，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确； 对于D，，所以当PF垂直于时，有最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个非零向量，，若，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先对进行平方，再结合向量数量积的运算性质以及已知条件求出. 【详解】对进行平方，可得. 已知，， ，. 将上述值代入可得：.即. 已知，所以. 又因为，所以.可得. 因为为非零向量，所以，可得. 故答案为：2. 13. 某同学在无人防守时的三分球命中率为0.6，每次投篮是否投中相互独立，若他在三分线外连续投篮10次，每投中一次得三分，记其最后得分为，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】运用二项分布的期望公式性质计算即可. 【详解】设投篮投中的次数为Y，，由题意，. 故答案为：18. 14. 设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，对的大小分三种情况讨论即可. 【详解】由题意：即可，； 若，则且，故，则必有； 若，则，该数列为常数列，即，此时； 若，则显然有； 综上所述：的最小值为. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）无差异 【解析】 【分析】（1）根据条件概率及古典概型计算即可； （2）代入公式计算的值，结合临界值判断即可. 【小问1详解】 用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”， B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明， 求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为， ，，所以； 【小问2详解】 零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立， 即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. 16. 在中，内角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过对已知等式进行变形，然后利用余弦定理求出角. （2）先根据已知角求出角，再利用三角形面积公式求出的值. 【小问1详解】 由，得， 根据余弦定理，则有， 所以，因为，则； 【小问2详解】 因为，所以. 所以， 由正弦定理及， 有， 即有， 解得. 17. 如图，三棱台中，，，，，，在底面内的射影为中点. （1）求三棱台的体积； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）168 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，，即可得到为三棱台的高，利用勾股定理求出，再由棱台的体积公式计算可得； （2）以，分别为，轴，过点作轴平面，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取中点为，连接，，由题意，为三棱台的高， 因为，，，所以，则， 又因为，所以， 因为，且，，所以， 所以的面积为，则的面积为， 所以三棱台的体积为； 【小问2详解】 以，分别为，轴，过点作轴平面，建立空间直角坐标系， 则，，，， 又，，所以，， 所以，，， 设为平面的法向量，，取； 设为平面的法向量，， 取， 设平面与平面夹角为， 所以， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点. （1）求C的方程； （2）作曲线在处的切线l. （ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积的最大值； （ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，C经过点，再结合椭圆几何性质求解； （2）（ⅰ）先求出切线l：，联立方程组，得，设，则点P到l的距离，求出的最大值得解； （ⅱ）切线l：，带入中有，由题意只需证明，即证：，令，利用导数证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意，C经过点，则，又，， 可得，， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）由求导得，当时，切线l：，联立消去y， 得，则有或，所以， 设，则点P到l的距离， 因为，令，则， 从而， 令，得，故，. 所以面积的最大值为，当且仅当，即，时取最大. （ⅱ）切线l：即， 带入中有， 由题意只需证明，即， 即证：，令，， ， 令，， ，所以在上单调递减，因为， 所以当时，，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，得证. 19. 现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项． （1）若是与的等比中项，求； （2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为． （i）求证：是和的减比中项； （ii）当时，求证：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用给定定义可得，求出，再列式求解. （2）（i）利用给定定义，借助累乘法得，由（1）得，再利用不等式性质推理得证；（ii）由（i）借助累乘法证得及，再利用不等式性质，结合等比数列前项和推理得证. 【小问1详解】 由是和的加比中项，得；由是和的减比中项，得， 则，即有，，，而， 因此，由是与的等比中项，得，即，而， 所以. 【小问2详解】 （i）由是和的减比中项，得， 而，则，于是，令，则， 因此，即， 由（1）知，，，数列是首项为，公比为的等比数列， 则，于是得， 所以是和减比中项. （ii）由（i）知，，，， 由，得，， 而，当时，，，因此， 由，得，即，变形得， 因此， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 高三第三次联合诊断检测 数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 8. 已知长方体中，，，E为的中点.若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（ ） A. 24 B. 18 C. D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（ ） A. 2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量 B. 2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4% C. 2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数 D. 2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍 10 已知，则（ ） A. ，使得是增函数 B. ，函数均存在极值点 C. ，函数只有一个零点 D. ，且，有 11. 已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个非零向量，，若，，，则______. 13. 某同学在无人防守时的三分球命中率为0.6，每次投篮是否投中相互独立，若他在三分线外连续投篮10次，每投中一次得三分，记其最后得分为，则______. 14. 设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 16. 在中，内角所对的边分别为，. （1）求角； （2）若，的面积为，求. 17. 如图，三棱台中，，，，，，在底面内的射影为中点. （1）求三棱台的体积； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点. （1）求C的方程； （2）作曲线在处的切线l. （ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积最大值； （ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点. 19. 现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项． （1）若是与的等比中项，求； （2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为． （i）求证：是和的减比中项； （ii）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$