精品解析：2025年河北省唐山市古冶区中考二模数学试题

2024-2025学年度九年级学业水平评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，只将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则表示数（ ） A. B. C. 2 D. －2 2. 关于代数式，下列表述正确的是（ ） A. 表示与的和 B. 表示与的乘积 C. 表示与x的和 D. 表示与x的乘积 3. 将（，n为正整数）的指数增加，计算结果变为，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图为一个弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在处进行第二次弯折，最终保证弯折后的部分与保持平行，那么弯折后形成的（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（ ） A. 1.8 B. 2 C. 2.3 D. 5.5 6. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某地年月份的旅游收入可以写成元，把这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，现将小正方体①移到②的正上方后，这个几何体的三视图中不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？若设人数为人，下列说法错误的是（ ） A. 每人出8钱，则物价为钱 B. 每人出7钱，则物价为钱 C. 列出关于的方程： D. 物价是53钱 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2，下列关于图2的结论中，不一定成立的是（ ） A. DE∥BC B. △DBA是等腰三角形 C. 点A落在BC边的中点 D. ∠B+∠C+∠1＝180° 12. 已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A. 嘉嘉，淇淇都对 B. 嘉嘉对，淇淇不对 C. 嘉嘉不对，淇淇对 D. 嘉嘉，淇淇都不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则__________． 14. 化简：________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，如果点A的坐标为，则线段与的长度比为_________． 16. 如图，正六边形中，P、Q两点分别为、的内心，，则的长度为_________． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减2后报给丙同学； 丙同学把这个数的一半减1，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： （1）若甲报的数为0，则丙报的数是多少； （2）若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的数最小是多少． 18. 观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中 解：原式……， ……， ……． （1）解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的的值． 19. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程/ 430 440 450 460 470 数量 2 3 6 5 4 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（m） A 400 400 410 B 432 m 440 C p 450 n （1）小明共调查了_________辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； （3）由上表填空：_________，_________，并计算C型纯电动汽车的平均里程p； （4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 20. 滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 （1）求滑梯的长度； （2）调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． （1）在图中画出直线，并求直线的解析式； （2）若直线与线段有交点，求的取值范围； （3）若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 22. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，表示筒车的外轮廓，筒车的涉水宽度为，涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离）为． （1）①在图中，请用无刻度的直尺和圆规作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； ②求出该筒车的半径长； （2）筒车工作时，筒车上的每一个盛水筒都按顺时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．若上处的某盛水筒到水面的距离为，经过35秒后，该盛水筒旋转到点处，则旋转后该盛水筒的竖直高度下降了多少?（结果保留根号） 23. 如图，小山坡可近似的看成抛物线的一部分，建立恰当的平面直角坐标系，A的坐标为，一小球从离A点3米的点C处以一定的方向弹出，小球的飞行路线为抛物线的一部分，落在山坡的点D处（点D在小山坡的坡顶的右侧）． （1）求n的值； （2）若点D到的距离为12米． ①求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）； ②嘉淇认为“当小球运动到小山坡的坡顶正上方时，小球到小山坡的竖直距离最大”，你同意嘉淇的观点吗，说明理由． 24. 如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． （1）当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______； （2）①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）； （3）当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级学业水平评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，只将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则表示数（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式性质2求解即可． 【详解】由等式性质2可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查等式的基本性质，熟记基本性质是解题关键． 2. 关于代数式，下列表述正确的是（ ） A. 表示与的和 B. 表示与的乘积 C. 表示与x的和 D. 表示与x的乘积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式，分别列出各选项中的代数式，进行判断即可． 【详解】解：A、可列代数式为：，不符合题意； B、可列代数式为：，不符合题意； C、可列代数式为：，不符合题意； D、可列代数式为：，符合题意； 故选D． 3. 将（，n为正整数）的指数增加，计算结果变为，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用，根据同底数幂的乘法的运算法则即可求解，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵将（，n为正整数）的指数增加， ∴， 故选：． 4. 如图为一个弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在处进行第二次弯折，最终保证弯折后的部分与保持平行，那么弯折后形成的（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质进行推理即可． 【详解】解：根据平行线的性质，当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，， 故选：D． 5. 如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（ ） A. 1.8 B. 2 C. 2.3 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第四象限的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，第四象限的点坐标的特征，熟练掌握列举法求概率，第四象限的点坐标的特征是解题的关键． 先从，，，，，得到第四象限的点为，，然后由概率公式即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴第四象限的点为，， ∴从中任选一个点恰好在第四象限的概率是， 故选：． 7. 某地年月份的旅游收入可以写成元，把这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 8. 图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，现将小正方体①移到②的正上方后，这个几何体的三视图中不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，利用结合体的形状，结合小正方体移动前后三视图可得出没有发生变化的视图；根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题的关键． 【详解】解：A．原主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是2、1、2，下对齐；新主视图为三列，小正方形个数从左往右依次是3、1、1，下对齐；主视图发生改变，故此选项不符合题意； B．原俯视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；新主视图为一行三列，小正方形个数从左往右依次是1、1、1；俯视图没有发生改变，故此选项符合题意； C．原左视图为两行一列，上下对齐；新左视图为三行一列，上下对齐；左视图发生改变，故此选项不符合题意； D．因主视图发生改变，故此选项不符合题意． 故选：B． 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？若设人数为人，下列说法错误的是（ ） A. 每人出8钱，则物价为钱 B. 每人出7钱，则物价为钱 C. 列出关于的方程： D. 物价是53钱 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设人数为人，根据每人出8钱，多出3钱可得物价为钱，根据每人出7钱，还差4钱可得物价为钱，据此列出方程求出x的值，进而求出物价即可得到答案． 【详解】解：设人数为人， ∵每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱， ∴物价为钱或钱， ∴， 解得， ∴， ∴物价是53钱， ∴四个选项中只有A选项说法错误，符合题意； 故选：A． 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2，下列关于图2的结论中，不一定成立的是（ ） A. DE∥BC B. △DBA是等腰三角形 C. 点A落在BC边的中点 D. ∠B+∠C+∠1＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线定理，可以判断A选项正确；根据折叠的性质，且D为AB中点，可知BD＝AD，故B选项正确；根据折叠的性质，可判断AD=DB，AE=EC，而不能判断BA=AC，故C选项错误；因为∠B+∠C+∠A=180°，根据折叠的性质知∠A=∠1，故∠B+∠C+∠1＝180°，故D选项正确． 【详解】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC； 故A选项正确； ∵由折叠的性质可得：BD＝AD， ∴△DBA是等腰三角形； 故B选项正确； 由折叠的性质可得：AD＝BD，AE＝EC， 但不能确定AB＝AC， 故C选项错误； ∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， 由折叠的性质可得：∠A＝∠1， ∴∠B+∠C+∠1＝180°． 故D选项正确． 故选C． 【点睛】本题目考查三角形中的折叠问题，难度不大，熟练掌握折叠的性质以及三角形内角和为180°即可顺利解题． 12. 已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A. 嘉嘉，淇淇都对 B. 嘉嘉对，淇淇不对 C. 嘉嘉不对，淇淇对 D. 嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，先解方程，然后代入化简后的代数式即可判断嘉嘉做法；利用根与系数的关系即可判断淇淇做法，解题的关键是主要是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：嘉嘉：， ∴，或，， ∴当，时， 原式 ； 当，时， 原式 ，故嘉嘉解法正确； 淇淇：∵， ∴，， ∴ ，故淇淇解法正确； 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算，然后将4化为二次根式的形式，运用对应相等即可求得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴n=2． 故填：2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算法则，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 14. 化简：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式，原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，如果点A的坐标为，则线段与的长度比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，根据点A的纵坐标是2，可以确定点B和点C的纵坐标，再进一步根据反比例函数的解析式求得点B和点C的横坐标，再进一步求得它们的长度之比即可． 【详解】解：∵，轴， ∴，， ∴， ∴线段与线段的长度之比为． 故答案为：． 16. 如图，正六边形中，P、Q两点分别为、的内心，，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是主要考查了正多边形和圆，三角形的内心的特点，三角形的全等，先判断出是等边三角形，分别求出，然后计算出即可． 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴； 又，， ∴ ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵P、Q两点分别为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， 同理，， 又， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴于点， ∴ 过点P作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减2后报给丙同学； 丙同学把这个数的一半减1，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： （1）若甲报的数为0，则丙报的数是多少； （2）若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的数最小是多少． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）按照游戏中的说法，将甲报的数为0代入，然后依次进行计算即可解答； （2）设甲报出的数为x，根据运算顺序，列出不等式，解之取最小整数即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴丙报的数是； 【小问2详解】 设甲报出的数为x， 则， 解得：， ∵甲报了一个整数， ∴x的最小值为5． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据题意列出关于x的不等式是解题的关键． 18. 观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中 解：原式……， ……， ……． （1）解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】（1）， 正确的化简过程如下： 原式， ， ， ； （2）2． 【解析】 【分析】题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）令，然后解分式方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原式的计算结果为， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 题目中被墨水遮住的的值为． 19. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程/ 430 440 450 460 470 数量 2 3 6 5 4 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（m） A 400 400 410 B 432 m 440 C p 450 n （1）小明共调查了_________辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； （3）由上表填空：_________，_________，并计算C型纯电动汽车的平均里程p； （4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如下： （2）72 （3）430，450，453 （4） 小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 【解析】 【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用360°乘续航里程为的占比即可； （3）分别根据中位数、众数、加权平均数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【小问1详解】 （辆）， 的数量为：（辆）， 故答案为：20； 【小问2详解】 在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：72； 【小问3详解】 ∵B型号电动车续航里程从小到大排列后排在第10和第11位的数分别是430，430， ∴． ∵C型号电动车续航里程出现次数最多的数是450，出现了6次， ∴． ． 故答案为：430，450，453； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 20. 滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 （1）求滑梯的长度； （2）调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 【答案】（1）滑梯的长度为； （2）调整后的滑梯会多占的地面． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用坡比得出， 然后代入求值即可； （）过点作直线的垂线，垂足为， 证明四边形为平行四边形，则有，，通过勾股定理得出，所以，求出，最后由线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：∵滑梯的坡度为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴滑梯的长度为； 【小问2详解】 解：过点作直线的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， 在中，，即， 解得， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的地面． 21. 如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． （1）在图中画出直线，并求直线的解析式； （2）若直线与线段有交点，求的取值范围； （3）若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图1， ； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，点的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据点的平移得出，然后画出函数图象，再通过待定系数法即可求出解析式； （2）通过直线与线段有交点，列出不等式即可； （3） 分两种情况讨论由经过定点，再结合图象即可求出的取值范围． 解： 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，轴上有一点，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点， ， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，直线的解析式为， ∵轴， ∴的横坐标为， ∵直线与线段有交点， ∴， 解得：； 【小问3详解】 的取值范围是或．理由如下： 由， 经过定点， 分两种情况讨论： 当时，如图2， 直线围成的封闭图形不包括边界有个整点， 当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 当时，如图3， ∴当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 22. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，表示筒车的外轮廓，筒车的涉水宽度为，涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离）为． （1）①在图中，请用无刻度的直尺和圆规作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； ②求出该筒车的半径长； （2）筒车工作时，筒车上的每一个盛水筒都按顺时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．若上处的某盛水筒到水面的距离为，经过35秒后，该盛水筒旋转到点处，则旋转后该盛水筒的竖直高度下降了多少?（结果保留根号） 【答案】（1）①线段如图所示， ②该筒车的半径长为 （2）旋转后该盛水筒的竖直高度下降了 【解析】 【分析】（1）①先作出线段的垂直平分线，根据垂径定理和圆的性质可得即是所求；②利用垂径定理和勾股定理即可求出圆的半径； （2）过C，D分别作，交于点H，G，先利用三角函数求出，然后再利用三角函数的性质得出，进而即可得解． 【小问1详解】 解：①略 ②由①知，且点在直线上，如上图，连接， ， 设该筒车的半径长为， ， 在中，， ，解得， 即该筒车的半径长为； 【小问2详解】 解：过C，D分别作，交于点H，G， ， 处到水面的距离为，即， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 即旋转后该盛水筒的竖直高度下降了． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，勾股定理，尺规作图等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 23. 如图，小山坡可近似的看成抛物线的一部分，建立恰当的平面直角坐标系，A的坐标为，一小球从离A点3米的点C处以一定的方向弹出，小球的飞行路线为抛物线的一部分，落在山坡的点D处（点D在小山坡的坡顶的右侧）． （1）求n的值； （2）若点D到的距离为12米． ①求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）； ②嘉淇认为“当小球运动到小山坡的坡顶正上方时，小球到小山坡的竖直距离最大”，你同意嘉淇的观点吗，说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②不同意．理由： 设与之间的距离为h， ， ， 当时，， 又当小球运动到小山坡AB的坡顶正上方时，，此时， ∴嘉淇的观点不正确． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用函数的性质解答． （1）运用待定系数法求解即可； （2）①先根据抛物线L1的解析式求出点D和点C坐标，再用待定系数法求出抛物线L2的函数解析式； ②设与之间的距离为h，求出，运用二次函数性质解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：①当时，， ， ， ∴将点代入=， 得， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为； ②略 24. 如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． （1）当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______； （2）①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）； （3）当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长． 【答案】（1）4；； （2）①；②； （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点，解直角三角形可得 ，由旋转得：，而，故当点在上时，，此时；②当时，最小，即最小，解直角三角形即可求解； （2）①当时，，而，则点到的距离为；②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则，由题意得，此时，解直角三角形得到，，则，可证明，则； （3）过点作交延长线于点，显然，那么，而，则，得到，，设，而，求出，最后再由勾股定理求解． 【小问1详解】 解：①过点D作于点， ∴， ∴设， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 由旋转得：， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴当点在上时，， ∴； ②∵， ∴当时，最小，即最小，如图： ∵， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：4，； 解：①当时，，而 ∴点到的距离为； ②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则， 【小问2详解】 由题意得，此时， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， 而， ∴， 由上得：， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴由勾股定理得：； 【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $