重庆市南开中学2025届高三冲刺训练(三)数学试题

重庆南开中学高2025届高考数学冲刺训练（三) 本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考 试时间120分钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求 1.设集合A=1,2B=2,3,C=12,34号，则（) A.A∩B=O B.AUB=C C.AUC=C D.A∩C=B 2.设复数1+i是关于x的方程a2-2ax+b=0(a,b∈R)的一个根，则() A.a+2b=0 B.a-2b=0 C.2a+b=0 D.2a-b=0 3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0，+∞)上单调递增，且对任意，x2, 均有()=f(:)f(:)成立，则下列函数中符合条件的是() A.y=n B.y= C.y=x D.y=2州 4.如图，在正方体ABCD-ABCD中，P,M,N分别为 B AB,BB,DD,的中点，则与平面MWP垂直的直线可以是() A.AB B.AD C.AC D.AC 5.已知a,b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+2b在向量a上的投影向量为2a,则 九=() B.2 2W5 A.-2 D. 25 3 3 6。已知今天是星期四，则6-1天后是（) A.星期一 B.星期二 C.星期三 D,星期五 7,设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为() A.5 B, 4 D.25 5 5 8.已知双曲线B:苦-卡->0b>0的左、右焦点分别为R,5,过点5的直线与双曲线 E的右支交于A,B两点，若AB=AF,且双曲线E的离心率为V互，则cos∠BAR=（) A.-3 8 B身 c日 D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的 方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联 表，则() 数学兴趣 1.0 性别 合计 ■感兴趣 感兴趣 不感兴趣 口不感兴趣 0.5 女生 b a+b 0.4 03 0.1 男生 d c+d 0.0 女生 男生 合计 a+c b+d 100 n(ad-bc)2 参考数据：本题中X= ≈3.94 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.表中a=12,c=30 B。可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多 C.根据小概率值x=0.05的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异 D。根据小概率值α=0.01的x独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异 10.已知椭圆C:兰+二=-1的左右顶点分别为么，B,左焦点为R,M为C上异于么B的一 4 2 点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则() A,存在点M,使∠AMB=120 B.TA.TB=2TM.TN C,丽丽的最小值为-月 D,△FMN周长的最大值为8 11.已知函数f(x)=a+bx2+cx+d存在两个极值点，x(:<),且f()=-x, ∫(x)=名.设f(x)的零点个数为m,方程3a[(x]+2时(x)+c=0的实根个数为n,则 () A.当a>0时，n=3 B.当a<0时，m+2=n C.mn一定能被3整除 D.m+n的取值集合为{4,5,6,7} 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若函数fe)=血(ax+p)@>0M<习的最小正周翔为元，其图象关于点（行，0中 心对称，则p= 13.设等比数列{a,}的前m项和为Sn,若3S2>S6>0,则公比9的取值范围为 14.记四a然{/以，{(}分别表示函数在f)在[a,b上的最大值和最小值，则 器m+m2-2训-— 四、解答题：本大题共5小题，共T7分.解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步 骤 15. 设Sn为数列{an}的前n项和，已知4=4，S,=20,且 为等差数列 n (1)求证：数列{a}为等差数列： ②洁数列么，}满足4=6，且会子，设7为数列}的前”项和，集合 M={杠T.eN},求M(用列举法表示). 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD L平面PAD,点M 在DP上，且DM=2MP,AD=AP,∠PAD=120°. (I)求证：BD⊥平面ACM; (2)若∠ADC=60°，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值. bh=口山·国 17.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的 某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时， 接收为0和1的概率分别为a(0<a<),1-a；发送信号1时，接收为1和0的概率分 别为B(0<B<1),1-B.假设每次信号的传输相互独立. (1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 f(a),求f(a)的最小值： (2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为名，为，为，x4,记 其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（,为，为，×中任意相邻的数字均不 相同时，令X=1。若B-子，求X的分布列和数学期盟。 18. 已知双曲线G:x-长 1经过精圆G苦+y少=1的左、右焦点，5，设C,G的病 心率分别为4，且6= 2 (1)求C,C2的方程； (②)设P为C上一点，且在第一象限内，若直线PR与C,交于A,B两点，直线PE与C,交于 C,D两点，设AB,CD的中点分别为M,N,记直线MN的斜率为k,当k取最小值时，求 点P的坐标 19.已知函数f(x)=anx,g(x)=si血(2x+1)-2h(cosx), 求曲线y=fe)在点？处的切线方程： a当xe0时，求g)的值域。 重庆南开中学高2025届高考数学冲刺训练（三) 参考答案 2 4 6 7 9 10 11 D B D A B C D ACD BCD AB 13.(-1,0U(0,) 14.2 8.【详解】因为双曲线E的离心率为√5，所以c=√2a,因为4=M, 所以BF=AB-A=|A-A-2a,由双曲线的定义可得 BF-BF=BR-2a=2a,所以BR=4a=2BF,在△BF中，由余弦定理得 cos∠BR5-B3±5-B5_4女+8-16d.互 2BFFF 2×2ax2√2a4 在△5中，6os∠R5Ae-asLR5B=要，设u=m,则h=m+2a, 由R=E+M-2E4E引os∠REA得 2a+m=-a+m-22iam马，解得m号a,所到-号。 4a2+4 所以cos∠B5-M+AB-B_9+ --16a2 9 244E 2x Ba 8a 33 11.【详解】由题意可知f'(x)=3m2+2bx+c为二次函数，且x,x(:<:)为f(x)的零 点，由f(U(x》=3a[f(x]+2()+c=0得f(x)=或f()=, 当a>0时，令(x)>0,解得x<x或x>名；令f(x)<0,解得<x<名： 可知：f(x)在(-∞，x),(x2,+∞)内单调递增，在（名，）内单调递减， 则x为极大值点，x2为极小值点，若x20,则-≤0<，，因为f(x)>f(3),即 -x>名，两者相矛盾，故名<0，则f(x)=x有2个根，f(x)=x有1个根，可知 n=3, 若f(x2)=x>0,可知m=1,mn=3,m+n=4；若f(:2)=x3=0,可知m=2, mn=6,m+n=5;若f(32)=x2<0,可知m=3,mn=9,m+n=6: 故A正确： 20 m=1,n=3 =2,n=3 m=3,n=3 当a<0时，令f"(x)>0,解得<x<；令f(x)<0,解得x<名或x>: 可知：f(x)在(：，x)内单调递增，在内(-0，)(x,+∞)单调递减， 则x为极大值点，x为极小值点，若，2≤0，则-x>0之x2, 因为()<f(x),即-x<为，两者相矛盾，故为>0， 若f(3)=-x>0,即为<0，可知m=1,n=3,mn=3,m+n=4 若f(3)=-x=0,即x=0,可知m=2,n=4,mn=8,m+n=6; 若f(3)=-为<0，即x>0,可知m=3,n=5,mm=15,m+n=8: 此时m+2=n,故B正确： 1 XO x2 m=1,n=3 m=2,n=4 m=3,n=5 综上所述：mn的取值集合为{3,6,89,15}，m+n的取值集合为{4,5,6,8}， 14.【详解】根据题意，由m+r2-2m-m+(n-驴-=(m-+(n-1, 所以m+-2小}=鸭自m-1m+3叶 作出ym-1,ym+3引的函数图像可得，当1-m=m+3,即m=-1时， 路m-hm+3到=2 15.【详解】(1)设等差数列 的公差为4则受=于+3阳，即公+d=5,0 因为品=4+4，=8+4，所以由兰=+d,得8+2d=4.② 21 由①、②解得9=2，d=1,所以三=n+l,即3，=n(n+1), 当n22时，an=Sn-S=n(n+1)-(n-1)n=2n,当n=1时，马=S=2,上式也成立， 所以a,=2n(neN),所以数列{a,}是等差数列. @自0可阳学会品 当m22时，6“6 44x2×x6 n+l n 3 园为的·6横是上式，所以品-G-eN) g=[-合引…-日】}-- 因为当片eN时，n=2,所议M=689,101。 16.【详解】(1)不妨设AD=AP=3∠PAD=120°，DM=2MP, :DP=35,DM=2√5，PM=√5，由余弦定理得 AM=√AP2+MP2-2AP,MPcos3:0°=V5, 在△ADM中，AD2+AM=DMP,.MA⊥AD, '平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,MAC平面PAD, :MA⊥平面ABCD.,BDC平面ABCD,∴.MA⊥BD,四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,又AC∩MA=A,且ACc平面ACM,MAc平面ACM,∴BD⊥平面ACM. (2)在平面ABCD内，过点B作AD的垂线，垂足为N, :平面ABCD L平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,:BN⊥平面ADP, 又：四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，∠BDA=30°，△ACD,△ABC均为等边三角 形， 以点A为坐标原点，AD,AM及过点A平行于NB的直线分别为xy,z轴， 立空可直角线标表c你图则4a0(0之盟pBa0-号9 由(I)BD⊥平面ACM, 2 为平面ACM的一个法向量， 设平面ABP的法向量为所=(x,少，2)， 3.35 Bm=0即 z=0 2 厅m=0, 3 3 ·令x=V5,可得 + 2 2少=0 =(3,11,cosBD,m= 335 V5×355' :平面4ACM与平面BP的夹角的余弦值为5 1n.【详解]0由题可知fa)=+0-a=30-3a+1=a-+号 因为0<a<l,所以当a=号时，fa)的最小值为} (2)由题设知，X的可能取值为1,2,3,4. ①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010. -2x1x2x1.1.2.1.2_8 因此，P(区=)-等*兮+与写写*38 ②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或 1001,或0110，或1100，或0011. 因此，P(X=2)= 4 ③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000. 因此P心x-到-周2+写2-9 ④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111. 因此Px--+)-贵 所以X的分布列为 2 8 20 17 81 9 81 81 因此，X的数学期望E(X)-1号+2×+3× 8 17208 +4× 81 18.【详解】(1)依题意可得a2-1=1,得a2=2, 由4的当得行-中号是熊得2 放G的方程为-号=1G的方程为号+少=1。 2 (2)易知(-1,0)，E(1,0),设P(,),直线PR,PE的斜率分别为k,k, 2 可得站=-2为定值，设直线P阴的方程为：y=〔+，联粒号+少=1可得 (（2+1)x+4x+2(?-1)=0,△>0恒成立，设A(名，y),B(名，2)，则有 为+为 2欢+1，可求得M -42 2+1'2+1 设直线PE的方程为：y=k(x-1),C(x,),D(x4,y4), 2k2-k】 则k=-2+12+ k(2k2+1)+k(2k2+1) 同理可得N 2%2+122+ 2k+26 2k(2k2+1+2k22k2+1 2k2+12k2+1 (2k++店)】 (2kk+10+店) 8kk2+2(G2+k8%%2+2[(飞+}-2kk 由kk2=2可得：k= 5k+) 24+26+店了！点P在第-象限内，故名>k>0, 5 5 k=-24+2(k+k） 2- -2器当且仅当=2k+).即 k+九2 2 24x2(k+k4) k+k 片+片=2W5时取等号，而k+片>2k=2V2,故等号可以取到. 即当k取最小值时，名+名=2√5，联立k=2,可解得k=5-1,k=V5+1, 然黎笛而比6而 故P明的方程为：y=(N5-(x+1),P5的方程为：y=(V5+(x-), 联立可解得 ,即骑5小 【由=-(z所)2 所以所求彻线方程为y-1=2x-引即2x-y+1-=0 2)x时2x+le, ge间-2cas2+4+2-2oas2x4+2m,当x0经》时.2a+1引此 COSx 时o2x+>0mx>0,故ge>08(回单调谴增，当（任-习引时，。 2x1e后+，接下来证明：当d(任引时，如2x+1-受 令=mx-2x+1-}c=-2又h7-=0, 放当xe(任引ox>分4<0a(单调递减。 当x年引os2x传，k倒0a(e)单调递增。 故()有最小值（得-0，因此(）20，即mx之2x+1-受 g6)=2os(2x+10+2tmx22cos(2x++22x+1-】 令s6)=2os(2x++22x+1-引)=-4s血(2x+1+420,故✉()单调递增，即 2年 所以g(x)22cos 任引2任引1-引0，故在x任-到引单调递 增，缘上可得g)在xe0,写单调递增，8(O)=s加l, 当x→26in(2x+)→sin(r+)=sinl而n(cosx)→-o,因此g(x)→+o, 所以g(x)的值域为(sinl,+o) 竹安体（而什：闲