重庆市南开中学2025届高三冲刺训练(二)数学试题

重庆南开中学高2025届高考数学冲刺训练（二) 本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分 钟.第1卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上， 一一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知复数2= 1+2方’则z=（) B c 2.函数f(x)=sinx.Inx2的图象大致为（) 3.已知向量a,i,c满足1a9,1Hch1,a+2b+3c=0,则i-c=() A.0 B.克 c. D. 2 4.在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是否造假本福特定律指出，在一组没有人为编造 的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1~9这九个事件不是等可能的具体来说，随机变 量x是一组没有人为编造的首位非零数字，则P(化=)=lg生，k=2,9则根据本·福特定律，首位非 零数字是1与首位非攀数字是8的概率之比约为（）（保留至整数，参考数据lg2=0.301,g3=0.477), A.4 B,6 C.7 D.8 5.己知直线a,m,m,4,且m,n为异面直线，m⊥平面C,n⊥平面B,若1满足1⊥m,1⊥n,则下 列说法中正确的是() A.Illa B.I⊥B C,若a∩B=a,则all D.a⊥B og(0,2) 6.已知函数f(x)= sm好xe210 若存在实数为x满足∫(x)=f(名)=f(名)=∫(x),且 名<名<为<，则点+名的值是《) 4x3 A.3 B.6 C.8 D.12 7.已知正数abc满足ae°=blnb=elnc=1,则a,b,c的大小关系为() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b &.已知函数了-6m+-boer(e>0满足下列条件：①对任意次eR/(e)3/得 恒成立；② 1问在区间[号引上是单调函数：®经过点么5回)的任意一条直线与函数y=儿图像都有交点。则口 的取值范围是() Aa刳] Ba劉 c.(0,1[3,5] .au[2] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知一组样本数据x0=1,2,3,…,20),其中0=1,2,3，…，20)为正实数满足≤名2≤x≤…≤0，下列 说法正确的是( A.样本数据的第50百分位数为x B。去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C。若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D样本数据的方差户=之号-16，则这组样本频据的总和等于80 20 10.已知f(),8()的定义域为R,且f(x)+g1-x)=a（a≠0)，g(1+x)=g(1-x),若f(x+2)为奇 函数，则() A.g(x)关于x=1对称 B.g(x)为奇函数 c.f(2)=0 D.(x)为偶函数 11、如图，已知正三棱台ABC-AB,G的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面BCCB 内运动（包含边界），且AP与平面BCCB所成角的正切值为2√2，点2为CC上一点，且C②=3OC, 则下列结论中正确的有() A.正三楼台ABC-4BG的离为46 B.点P的轨迹长度为√3x )，底面圆的半经为9的圆柱可以放在棱台内 C.高为46， D、过点A,B,2的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°，a=2,b=x,若三角形有两解，则实数x 的取值范围是 13.已知x,y∈(0，+o),且满足2x+4y-y=0,则2x+y的最小值为 14. 已知双曲线手-卡=>06>0的左、右焦点分别为，及，若过点5的直线与双声线的左、右两 支分别交于A,B两点，且MHB=25,又以双曲线的顶点为圆心，半径为2W反的圆恰好经过双曲线 虚轴的端点，则双曲线的离心率为一 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x+x2+x+2在点(2，f(2)处的切线与直线2x+3y=0垂直. ()求a; (2)求f(x)的单调区间和极值， 16,(本小题满分15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC, AB=BC=-PC=2,PA=26 21 (I)求证：AB⊥平面PBC; (2)若M是PA的中点，求CM与平面PAB所成角的余弦值. 7.(本小题满分15分)已知椭圆是+片=1(a>b>0)的右焦点为F,点P是椭圆与x轴正半轴的交 点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且|F2√2，|PF=√5-1.直线I过圆O:x2+y=1的圆心，并 与椭圆相交于，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C,且%= 4 (1)求椭圆的方程： (②)求直线AC的斜率、 18.(本小题满分17分)某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自A,B,C三所学校， 其中来自A校的学生人数为(”>)，该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号 码（欣=1,2,3，…，N),按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. (1)求面试号码为2的学生来自A校的概率. (2)若N=40,n=10,且B,C两所学校参加面试的学生人数比为1：2，求A校参加面试的学生先于其他 两校学生完成面试(A校所有参加面试的学生完成面试后，B,C两校都还有学生未完成面试)的概率. (3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学 生完成面试所用的时间)，E(X)是X的数学期望，证明：E)=5mW+) n+1 19.(本小题满分17分)若无穷数列{a,}满足：3meN,对于Vn之%(%eN),都有-g(其中g 为常数)，则称{an}具有性质“2(m,,q）” (1)若{an}具有性质“2(4,2,3)”，且4=1,4=2，a+4+41=20,求42； (2)诺无穷数列{b}是等差数列，无穷数列{C,}是公比为2的等比数列，b2=G=4,4+G=9, an=b,+cn,判断{an}是否具有性质“2(2，l,3)”,并说明理由； (3)设{a}既具有性质“26，l,)”,又具有性质“，l9)”,其中1，jeN,1<j,求证：{a}具有性质 -q-*a 重庆南开中学高2025届高考数学冲刺训练（二) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A A BCD ACD ACD 13.18 14.2 8.【详解】由函数f()=asin@mtx+bcos@m(@>0)可知函数周期是2红=名 因为0对任意x∈R3目 恒成，所以函数的一条对称轴是x=4 +m×s 又因为在区间[号引是单调函数，所以 4 、4'所以-1<ms2,me乙，所以m为0或1. 7 +(m+*1)x 1 07 当m=0时，0<0≤28 当=1时，0s，已知得=F+， 因为经过点（色，2）的任意一条直线与函数y=f(x)图像都有交点，所以Va+B≥小2d,所以24， 因为0对任意xeRe目)恒成立，所以/目)-mas受-n贸-0. 所以学--15伽学≤1，由0<@s≤0s，得0<警s酸5s晋 4 所以0<0≤1或3≤0≤ 28 11.【详解】延长正三棱台侧棱相交于点O,由题意可知：OA=OB=OC, 在等腰梯形BCC,B中，因为BC=6,BC=2,BB=CC=4,则∠B,BC=∠CCB=60°. 即△OBC为等边三角形，可知三棱锥O-ABC为正四面体，且OB=2, 对于选项A:设H为等边△OBC的中心，由正四面体的性质可知：AH⊥侧面 OBC,且AH= 6-万 =2√6，即0点到底面ABC的距离为2√6， 叉因为OA2,明=4，所以正三被台4BC-4G的高为号x26-5,故A 正确： 对于选项B:因为AP与平面BCC8所成角的正切值为2N,即m∠PH-M货-25=2反，解得 HP HP HP=5,且等边△OBC的内切圆半径r=√5，可知点P的轨迹为等边△OBC的内切圆，所以点P的轨迹 长度为2√3π，故B错误： 对于选项C:因为正三棱台ABC-48G的高5，且△4BC的内切圆半径为5,5 3 6 所以高为45，底面圆的半径为怎的圆柱可以放在棱台内，故C正确： 3 对于选项D:设正四面体O一ABC的内切球半径：，由等体积法可得： 号Sac×26=4x写acr,解得 5.因为2<46，则该棱台内最大的球即为正四面体0-ABC的内切球 3 又因为C0=30C,CG=4,0C=6,则2为0C的中点，过点4，B,2的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为 故D正确。 14.【详解】令1FR=2c,依题意，c2=a2+b2=(2W2)2,解得c=22, AFHAF1+2a=25+2a,IBF HBFI-2a=2V5-2a,IABHAFI-IBF F4a, 而RAB=EBA,于是cosE45=2 @12.2， 1ARI25=5 在△AE中，由余弦定理|FFPA织P+|AEP-2|AF II AF Icos∠A织， 得4=20+25+2a-2x25x25+2a×3,解得d=2,即a=5, 所以双曲线的离心率为二=2， 15【详解】①f闪=2x+a,则/)-+2x2+a- o, 由题意可得假*9引-山，解得a=3, 2》由a3,故/网-nr+-3x+2,则/-2-3=2-.--l.>0 故当0<x<分时，()>0，当<x<1时，()<0，当x>1时，'(>0， 故的单词递增区间为(0》、（么+，/）的单调递减区间为[)， 故例有根大值/份)-h时母-3写+2-}-h2,有极小值/0=b1+P-3x1+2=0, 16.【详解】(I)因为PC⊥平面ABC,ACc平面ABC,所以PC⊥AC, 又PC=4,PA=2N6,所以AC=2√2，在△ABC中，因为AB=BC=2,所以AB2+BC2=AC,所以 AB⊥BC,因为PC⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以PC⊥AB,又因为 PC∩BC=C,PC,BCc平面PBC,所以AB⊥平面PBC: (2)如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A0,2,0),P(2,0,4),C2,0,0),M0,1,2), 所以CM=(-1,12),8=0,20),B丽=(2,0,4)， 设平面PAB的法向量为元=（化，y,2),则 =0即20 方.BP=0’412x+4z=0 令x=2,则z=-1,所以i=(2,0,-1),设CM与平面PAB所成角为8， 则a(风小，血-（感训2 CMi-2-2--2W30 2,cos9=i05 15 15 即CM与平面PMB所成角的余弦值为is 15 17.【详解11)由题意可得a=2,g-0=反-1，c=1,b=1,椭圈的方程为号+y=1. (2)若圆0的切线AC⊥x轴，则14C上V2,S.c=V2,不满足题意. 设直线AC的方程为y=:+m, “重线C与质0指，产山，= 联立y=a+m与乏+y=l,消y得+2)P+4+2m-2=0. △=16k2m2-40+2k2)(2m2-2=16k2-8m2+8>0, 设4小C6》则+%=，%是 1+2k71 :0到直线4C的距离为l,则a0=2Sa0c=2×引4CX1=+Fk-x=+.V名+名}-4x5 =+k. 4am】 -4.2m2-2 1+2k2 #22-+e25.2r-手 1+2k2 3 将m=k2+1代入消m可得+尺.25k-号，化简可得+：-2=0，解得：=1（负值舍去）， 1+2k23 k=1,故直线AC的斜率为1或-1. 18.【详解】(1)记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A, 将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为C%,事件A表示A校有1名学生的 面试号码为2，其他·-1名学生的面试号码在剩余N-1个面试号码中随机安排， (N-1)1 则事件A包含的样本点数为CG,故P(=CS.n-W-_” NI nl(N-n)! ②)设B校参加面试的学生有：名。由题意得0-0-分解得=10。 所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名. 记“最后面试的学生来自B校”为事件B,“最后面试的学生来自C校”为事件C,显然事件B,C互斥. 记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D,则D=BD+CD. 当事件B发生时，只需考虑A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校， 则Po)=P(ara到-8*8-若 当事件C发生时，只需考虑A,B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校， 则Pco)=(C(ac)-88-所以Po=PeD+Pem)-日片音 8)由题知随机变量X的取值为5,5+.…5W,侧随机变量X的分布列为P心X=5)-等 k=,+1…儿所以随机变量X的用湿()-2处号-忌2c， C+CCCCCCC Sn (N+1!_5n(N+l) (m+1)(N-nn+1, 所以E(x)=5nW+ nl(N-n)月 n+1 19.【详解1(D由a,}具有性质24,2，)%，则当m≥2时，-3， 故a6=3a2,a=3a,a1=3a,=9a,又4=1,4=2， 故a+a+a1=3a2+3a+9a=3a2+3×2+9×1=20, 5 即4= (2){a}不具有性质“2(2,1,3)”，理由如下： 设bn=4+(n-1)d,cn=2,由62=93=4,4+9=9， [+d=49=4 即有 a∫么=9=1 4+9=29,解得日=3，故8-3n-2,6,=2, 则a=6+C,=2-+3n-2,有a2=2+2+3(n+2)-2=2+3n+4, 则受-器兰不程特于3，放不有性质Q以1g (3)由{a}既具有性质“2(6，l,)”,又具有性质“(U,1,4)”, 即当n≥1时，有2=，2=9， 则有x2型x…x2型=，x2xx型=6， aa ay ux凸ux…xu 由<j,故4马a==4wg=1, LxLx…xuga19wa…a %4 故=，即4-由号-，之，则经-8， an 9 以 aL_aL=坐=4=9a 当m2+1,即m-i121时，有ana9g 即框表备味，有兰学-，即其有他质re-*金}