重庆市南开中学2025届高三冲刺训练(一)数学试题

重庆南开中学高2025届高考数学冲刺训练（一) 本试卷分为第1卷（选择题）和第‖卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第|卷和第川卷都答在答题卷上， 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请 把正确的选项填涂在答愿卡相应的位置上， 1已知集合M=在e2c,N=号0，则M门N-() A、-2,-1,0,}B.{-2,2} C.-2 D.2 2、复数z在复平面内对应的点为(5，-)，则-=( ) 1z+i A c.3-3 g 3、己知向量m,万，且|m日卡1，|3m-2苏卡√7，则向量成在向量元方向上的投影向量为( A.0 C. D. 4.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,31,37，m,42,49:乙组：24，n,33,44,48,52,若这两组 数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=() A.60 B.65 C.70 D.71 5.已知A,B是平面a上的点，A,B是平面B上的点，且AAI/B8,则“A4=BB”是“cIIB”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知等差数列{a}的公差不为0，a=1且a2,a4,a,成等比数列，则() A.a22=4045 B.8<凸 a3a C.=+ n+12 D.4+a2=2 a4+a6 7.己知Be(0,),且3sina=sin(2B-a),则ana的最大值为( B.2 4 如图，已知月，是双曲线C:二-片=1的左、右焦点，以为圆心的题与双曲线左右两支交于P、两点， 且F2=3FP则双曲线C的离心率为() A. vo B.5 C.5 D. 2 3 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个远项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.关于二项式(：-召的展开式，下列结论正确的是() 1.展开式所有项的系数和为-1 B.展开式二项式系数和为256 C.展开式中第5项为1120x D.展开式中不含常数项 10.己知函数f)=Asim(ox+)-1(A>0,w>0,Ipk,若函数yf1的部分图像如图所示，则下列结论 正确的是() y 36 Af(x)的最大值为3 B.化闭的图像关于点(-受-)对称 C.直线2W3x+y-√3m+2=0是曲线f(x)的一条切线 D.若关于x的方程f(x)=0在区间m,nj(m<)上有2023个零点，则n-m的最小值为1011π 2 11,如图所示，有一个梭长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确 的是() 人直线G与P阳所成的角为号 B.△ABE的周长最小值为4+√34 C,如果在这个容器中放入1个小球（全部进入，则小球半径的最大值为5 D、如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为26-2 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线1过P(3,4).若直线1与圆C相交于A,B两点，且|AB=25,写出满足上面 条件的一条直线1的方程一 13.第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选 取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为一·（结果用数值表示） 14关于函数f(x)=e2“-2xe-e有下列结论： (1)函数∫(x)存在最小值但没有最大值：(2)函数f(x)存在两个签点，且两个零点的和小于1： (3)函数f(x)存在唯一的极小值点x,且∫(s)<e2-3e: (份函数网存在唯-的极大值点，且牛<G)是 其中正确的是一，（填写所有正确结论的编号） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程或旗算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{a}满足(n+1)4,=n2-8n+k，数列他，}是以1为首项，公比为3的等比数列. (1)求a,和b,:(2)令6，=县，求数列{e,}的最大项。 b 16.(本小题满分15分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC1/平面PAD,BC=AD=1, E是棱PD上的动点. (1)当E是棱PD的中点时，求证：CE/I平面PAB: (2)若AB=I,AB⊥AD,求点B到平面ACE距离的范围. B C 17.(本小题满分15分) 某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出， 每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，n次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传 出来的球”发生的概率为P· (1)求： (2)当=3时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望： 8)当心4时，亚明：只=时计号24日· 18.(本小题满分17分) 已知椭图二+片=〔>b>0的腐心率为兰，且四个顶点所蛋成的菱形的面积为4， 2 (1)求椭圆的标准方程： (2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC,BD过原点O,设A(名，)，B(:，片2)，满足x为=4y?· ①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；②求四边形ABCD面积的最大值， 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=xx, (1)若f(x)在区间(a,+o)上单调，求实数a的取值范围， (2)若函数g(x)=f(x)-bx2有两个不同的零点， 0求实板B的取值范图，@活dr-松X心-x+水0恒成立，米证，名c6<石· 重庆南开中学高2025届高考数学冲刺训练（一） 参考答案 一， 选择题 题号 2 4 6 7 8 答案 D 二、 多选题 题号 9 10 11 答案 BCD BCD ACD 7.解：由题意可得3sin[(a-)+]+sin[(a-)+]=0, 整理可得3sim(a-)cosB+3cos(a-B)sinB+sin(a-)cosB-cos(a-B)sinB=0, 4sin(a-B)cosB+2cos(a-B)sin B=0,2tan(a-B)+tan B=0, 可得ma-)=-细B,因为Be0,受，可得a如B>0, tan(a-B)+tan B 1 2 1 tana-tan((t()n ≤ 2 tan tang 2 2 .tan B 251 当且仅当加，B=二。，即mP=V反时取等号.所以ma的最大值为互 tan B 8.解：设OF与双曲线交于点P,因为FP/FP,根据对称性可知FPHEP 设1 FPHEP=t,则|FPHF2F3t,可得1FP-|RP=2t=2a,即t=a. 所以P2F4t=4a,则|2Hl+2a=5a,IFPHEP3a.即IP2P+1FPHO5P,可得∠FPg=90°. 在△PRB中，由勾股定理得利BPP+RPR户，即a2+Ba=4,解得e=S.@ a 2 第1页（共8页） 10.解：由函数f(x)=Asin(awx+p)-1,以及函数yf(x)川的部分图像知， 倒的最大值为1，最小值为3，所以=2，因为T=2×信+孕=，解得@=行=2， 63 又因为了0=2s血p-1=0,解得sin9=之又p水号，所以p-名，所以函数/=2i(2x+冷-1： 所以函数∫(x)的最大值为1，选项A错误： 因为八受-2如(-名+？-1-小，所以侧的图像关于点(-受-)对称，选项B正确 因为/o00+分.令e=-26,得oaax+月-盟 2 解得2x+管=2士名ke2:即红=板+号或x=标-受keZ 6 x=号时，y=停=2sm红+字-1=-2，所以过点气，-习列的切线方程为y+2=-25(:-孕， 即25x+y-√5π+2=0是曲线f(x)的一条切线，选项C正确： 由了)=0，得如2x+?-克则2x+号=2让+管欧2x+号=行，ke2,解得x=c或x=+号ke子， 6 所以因-0的相邻两个零点之间的距离是号或号，要使：一m最小，则m,都是)=0的解， 从m开始的相邻三个根之间的距离为琴+2亚=元，在[m,0m<月上至少共有1011个这样的根的组合， 33 则n-m>1011×π=101lr,即在区间[m,j(m<m)上有2023个零点，则n-m的最小值为1011π，选项D正确. 11.解：A选项，连接AD,由于D为PB的中点， B 8 所以PB⊥CD,PB⊥AD,又CD∩AD=D,AD,CDc平面ACD, 所以直线PB⊥平面ACD,又AEC平面ACD,所以PB⊥AE,故A正确： B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一个平面内，连接AB交CD于点E, 则AE+BE的最小值即为AB的长，由于AD=CD=2√5，AC=4, cOSLADC=CD'+AD-AC_2y+(2y1 2CD·AD 2x2月x25-方os∠AD8=cosr+∠MD9=-m∠ADC=-片 所t以MB=BD2+AD2-2 BD.ADc0s∠ADB=2+(22-2x2x2525)=16+165 3 第2页（共8页） 故-6+-y，△Mas的周长表小为4++ ,B错误 3 C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球， 设球心为O,取AC的中点M,连接BM,PM,过点P作PF垂直于BM于点F, 则F为△4BC的中心，点O在PF上，过点O作OW⊥PM于点N, 因为=2，B4,所以M=B--25,同理PM=25,则-写M=29, 3 故F=PM-MF_45,设OF=ON=R,故OP=Pr-Or46-R, 3 3 因为A20APM,所以兴-光，即 46-R 2525,解得R= 3，C正确： D选项，4个小球分两层1个，3个)放进去，要使小球半径最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切， 设小球半径为r,四个小球球心连线是棱长为2的正四面体Q-你G,由C选项可知，其高为25， -r, 3 由C选项可知，PF是正四面体P-ABC的高，PF过点2且与平面KG交于S,与平面亿交于Z, 则Q5=25,S=,由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的}，如图正四面体P-H中，Q2=, ×4,解得=26-2，D正确 r6 2P=3,正四面体2-你G高为3r+25,+ 3 5 三，填空题 12.x=3(写出x=3或15x-8y-13=0中的-个即可)13.6514.(1)(3)(4) 14.解：因为函数fx)=e2--e(xeR,可得(x)=2e2--3e=e(2e-2x-3), 令g)=2e-2x-3,可得g(x)=2(-),当x<0时，g'(x)<0,g(x)在(-o,0)单调递减 当x>0时，g(x)>0,g(x)在(0，∞)单调递增，所以，当x=0时，函数g(x)取得最小值，最小值为g(0)=-1, 设g()=0的两个根分别为，x,其中x>0>:,则当x∈(0，)时g()>0,可得∫'(x)>0: 当xe(,)时g(x)<0,可得f"(x)<0:当x∈(，∞)时g()>0,可得f'(x)>0, 所以函数f)在（∞，）上单调递增，在(：，)上单调递减，在（名，+）单调递增，又由函数∫)=e(E-2x-), 令()=e-2x-1,其中x<0,可得h'(x)=e-2<0,所以h(x)在(-o,0)上单调递减，可得h(x)>h(0)=0, 所以当x<0时，∫()>0，且x→∞时，f(x)→∞，函数f(x)的图象，如图所示， 第3页（共8页） (x) 所以f(x)有最小值(：)，无最大值，所以(1)正确： 由fx)=e(e-2x-),令fx)=0,即e-2x-1=0, 设p(x)=e2-2x-1,则p(0)=0,即x=0是p(x)的一个零点， 即f(x)的一个零点，设函数(x)的另一个零点为，，其中号>0 由p'(x)=e-2,当0<x<m2时，p'(x)<0:当x>ln2时，p(,>0, 可得p(x)在(0,1n2)上单调递减，在(m2,+oo)上单调递增， 所以x=n2时，p(x)取得极小值，也时最小值，最小值为(n2)=1-2m2<0, 所以当xe(0,n2)时，(x)<0,在区间(0，m2)上p()没有零点， 又因为9(1)=e-3<0,所以区间(m2,)上(x)没有零点，所以与>1， 所以函数(x)存在两个零点，且两个零点的和大于1，所以(2)不正确： 由(1)知，函数f,存在唯-的极小值点x,又由函数f)=e产-2xe-e,可得∫(1)=e-2e-e=e2-3e, 因为g()=2e-2x-3,可得g(x)=2(e-1), 当x>0时，g(x)>0,g(x)在(0，+)单调递增，且g(1)=2e-5>0,所以x<1, 又因为函数f(x)在区间(：，+∞)上单调递增，所以f()<f)=e-3,所以(3)正确： 由(1)知，函数f(x)存在唯一的极大值点x,因为f()=e2-2xe-e, 可得/-0=e2+2g1-e=+e-岁，又由g侧-2c-2x-,可得g-=2e-1<0,所以5<- 且/>，又图为g的)=2-2%-3=0，可得2=+号 .3 2 则f%)=当-2-=6+}-2%+%+2=--名+子 可得函数)=-云-名+星在（四-）上单调递增，所以)<心)-}， 所似生<6)<子，所以（④）正确。 第4页（共8页） 四.解答题 1点解D在等签数列a中，由a+a=-+,得4号，4号2，名5 3 4 则业25，解得9.4=81-9=n-9: 24 3. n+1 ~数列他}是以1为首项，公比为3的等比数列，÷b=3, “云3，当9时，601当>9时，6>0. (2)6=2=”-9, 令=3，则/网=3-a9产10-， (3)2 3- 则当m>9且neN*时，f(m)<0,f(m)单调递减，可得f(n)在n=10时取最大值. 即数列{o,}的最大项为9。=京 16.(I)证明：BCII平面PAD,ADC平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,:.BC/ID, 取PA的中点F,又：E是棱PD的中点，∴EF是△PAD的中位线，E欧IIADIIBC,EF=AD, 2 :BC=4D,EF=BC,即四边形8CT是平行四边形， CE/IBF,同时CEt平面PAB,BFc平面PAB,CEII平面PAB. (2)取AD的中点O,连接PO,△PAD是正三角形，.PO⊥AD, 平面PAD1平面ABCD,∴.PO⊥平面ABCD.建立空间直角坐标系如图： 则A0,-1,0),C0,0,0),P0,0,3),D0,1,0), 则AC=0,1,0),正=而+D正=(0,2,0)+DP=(0,2-1,5),入∈[0，， 设平面4Cg的法向量石=，y,,则：C=0,即+y=0 n·A正=0 (2-0y+5z=01 令z=2-1,则y=-51,x=51,则i=(W5,3,2-), 设点B到平面4CE距离为d,d=n圆 5 1l√722-42+4 当=0时，d=0,当≠0时，d= 的 V-P+6 y0c1,当=1时，4取得最大值为d=5-5回 +6√万 7 综上，0K,即点B到平面4CB距离的取值范围是0， 7 第5页（共8页） 17、解：(1)乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后， 则事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的振率为乃=(×=号： (2)易知X的所有可能取值为1,2,3， 此时PX=)=3x身=gPX=8)=兮x令=子，PX=2)=1-P(X=-PX=3到=子 3 则X的分布列为： X 1 2 3 P 2-3 子 故E(0=lx号+2x子+3x号-号 99 (3)证明：在m次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况， 第一种情况是n一1次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为P: 第二种情况是n-1次传球后乙、丙、丁中只有两人接过他人传球， 第m次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为-P-3×3一)×亏， 1 所以当心4时，男-+0--3x户写时号声·故月=时号 1 1 3 18.解：(1)因为椭圈的离心率为5，所以。=5,0 a 2 因为椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为4，所以2ab=4,② 又。=b2+,③联立①②国，解得a2=4,=1,则椭圆的标准方程为 +y2=1: 4 (2)①证明：不妨设直线AB的方程为y=a+m,A(:,),B(,,), y=kx+m 联立 +y='消去y并整理得0+4k2+86r+4m2-》=0, 第6页（共8页）