福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十九次质量检测数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 福州三中 2024-2025 学年第二学期高三第十九次质量检测 数 学 试 卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“ x R  ， 2 2 | | 0x x− ”的否定是 ( ) A． x R  ， 2 2 | | 0x x−  B． x R  ， 2 2 | | 0x x− C． x R  ， 2 2 | | 0x x− D． x R  ， 2 2 | | 0x x−  2．设复数 z 满足 1 i 2 i z+ = − （ i 为虚数单位），则 z = ( ) A． 2i B． 2i− C． 2 2i− + D． 2 2i− − 3．设等差数列{ }na 的前n 项和为 nS ，若 12 363S S ， 3 12 12a a ，则{ }na 的公差为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白 如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实 心且外形为圆柱．现测得底部直径为 6cm，上部直径为 12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为60，则 该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为 ( )（单位： 3cm ） A． 56 3 π 3 B．19 3π C． 112 π 3 D． 63 3π 5．在锐角△ ABC 中， 3 cos 5 A = ，则 AB AC 的取值范围为 ( ) A． 1 ( ,2) 2 B． 2 5 ( , ) 5 2 C． 3 5 ( , ) 5 3 D． 4 5 ( , ) 5 4 6．已知双曲线 C： ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左、右焦点分别为 1F , 2F ，P 为 C 在第一象限内的点， 且 1 2PF PF⊥ ，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，若 1F PQ 为等边三角形．则 C 的离心率为 ( ) A． 3 1 2 + B． 3 1+ C． 3 3 4 D． 4 3 3 试卷第 2 页，共 4 页 7．如图，在正四棱锥P ABCD− 中， PF FD= ， 2PE EB= ， 设平面 AEF与直线 PC交于点 G，PG GC= ，则 = ( ) A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 2 3 8．已知函数 ( ) ( )( ) 2 f x x a x b= − − ，其中a b ，5 为 ( )f x 的极小值点．若 ( )f x 在 ( ), 3a a+ 内有 最大值，则 a 的取值范围是 ( ) A． ( )4,5− B． ( 4,5− C． ( )114, 4− D． ( 114, 4 −  二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部 选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分． 9．下面说法正确的是 ( ) A．若数据 12x ， 22x ，…， 162x 的方差为 8，则数据 1x ， 2x ，…， 16x 的方差为 4 B．若 1 2, , , na a a 是等差数列，则这些数 中位数与平均数相等 C．已知 X 是随机变量，则 ( ) ( )2 2E X E X D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1 10．在三棱锥V ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形， 2AV ， P 为棱 AV 上一动点，设 ( , ) 6 VAB VAC    ，则 ( ) A．无论 为何值，都有 AV BC B．当 4   时，平面VBC 平面 ABC C．当 3   时，过点 P 和 BC 的平面截三棱锥所得截面面积的最小值为 2 D．三棱锥V ABC 外接球表面积的最小值为 16 3  11．如图，有一组圆 ( )kC k +N 都内切于点 ( 2,0)P − ，圆 2 2 1 : ( 3) ( 1) 2C x y+ + − = ，设直线 2 0x y+ + = 与 圆 kC 在第二象限的交点为 kA ，若 1 2k kA A + = ，则下列结论正确的是 ( ) A．圆 kC 的圆心都在直线 2 0x y+ + = 上 B．圆 9C 的方程为 2 2( 7) ( 5) 50x y+ + − = C．若 9k  ，则圆 kC 与 y 轴有交点 D．设直线 2x = − 与圆 kC 在第二象限的交点为 kB ，则 1 2k kB B + = 的 试卷第 3 页，共 4 页 第Ⅱ卷 三、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12．在多项式 ( )( ) 5 3 1a x x+ − 的展开式中， 5x 的系数为 32，则a =___________． 13．若直线 y kx k= − 是曲线 1( ) xf x e −= 的切线，也是曲线 ( ) ( 1)g x ln x m= − + 的切线，则m = ___________． 14．已知函数 ( ) sin( )( 0f x x  = +  ， 0 )   在区间[ , ] 6 12   − 上单调，且满足 2 ( ) ( ) 0 3 f x f x  − + − = ， 5 5 ( ) ( ) 12 12 f x f x   + = − ，则所有满足题意的的取值之和为 ___________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 记数列{ }na 的前 n项和为 nS ，对任意正整数 n，有 2 n nS na= ，且 2 3a = ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）对所有正整数m ，若 12 m k ka a +  ，则在 ka 和 1ka + 两项中插入 2 m ，由此得到一个新数列{ }nb ，求数 列{ }nb 的前 40 项的和． 16．（本小题满分 15 分） 如图，在斜三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，M 为 1 1B C 的中点，底面△ ABC 为等腰直角三角形， 且 1 1 2 2 AB AC AA= = = ． （1）若 1A 在底面 ABC 内的射影为点 B ，求点 A到平面 1A BC 的距离； （2）若 1A 在底面 ABC 内的射影为 BC 的中点，求平面 1A MB与平面 1 1BCC B 夹角的余弦值． 17．（本小题满分 15 分） 已知函数 ( ) e 1xf x a x= − − ，其中aR . （1）若 ( )f x 在 (1, 2)上存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）讨论 ( )f x 在 ( 2,2)− 上的零点的个数． 试卷第 4 页，共 4 页 18．（本小题满分 17 分） 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p=  ，过抛物线焦点 F 且斜率为 4 3 的直线与C 交于 ,A B两点（点 A 在 第一象限），已知线段 AB 中点M 的纵坐标为 3 2 ． （1）求抛物线C 的方程； （2）点P 在抛物线上移动，位于 ,A B两点之间且与 ,A B两点不重合．直线 AP 和直线BP 分别与抛 物线的准线交于 ,D E 两点，其中点 E 在点 D 的上方． （i）是否存在点 P ，使 PAB PDES S=△ △ ？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求线段 DE 长度的最小值． 19．（本小题满分 17 分） 有三台自动打印机，分别对自然数进行运算： 第Ⅰ台：输入 ( , )a b ，则输出 ( 1, 1)a b+ + ； 第Ⅱ台：输入 ( , )a b ，则输出 ( , ) 2 2 a b ，仅当 ,a b同为偶数时； 第Ⅲ台：输入 ( , ), ( , )a b b c ，则输出 ( , )a c ． 若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使 用．例如：若输入 (2,5) ，通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到 (3,6), (4,7), (5,8) ；通过第Ⅲ台自动打印 机输入 (2,5), (5,8)可以得到 (2,8) ；通过第Ⅱ台自动打印机输入 (2,8) 可以得到 (1, 4)． 运算过程简单表示为： (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (2,8) (1,4) (2,5) → → →  → →  通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为 1． 根据上述运算回答下面问题： （1）若输入 (3,17)，输出 (1,8)，试列举一个完整运算过程； （2）若输入 (5,19)，能否得到 (1,100) ，并说明理由； （3）若输入 ( , )a b ，其中 *1 5 1( )a b n n N   +  ． 通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对 *(1,1 5 )( )k k N+  的概率为 nP ，证明： 1 5 nP  ． 福州三中2024-2025学年第二学期高三第十九次质量检测 数学试卷 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 4 A B D c B D D 题号 9 10 11 12 13 14 答案 BC ACD ABC -17 2 4 1.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为xeR,x2-2xk0.故选：A. 2.【详解】=1(2-i)-1=2i.故选：A. 3.【详解】因为S12=63+53,ag+a12=12, 12au+2d=63+(（3a1+警d) a1+2d+a1+11d=12 解得d=2,a1=-7.故选：B. 4.【详解】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，AB=6cm,CD=12cm, 过点4B分别作AB1CD,BF1CD于点B,E,则ER=AB=6cm,DB=12,6=3m, 2 其中圆台的高为AB=DE.tan60°=3W3cm, D E 60 故圆台体积为 35=635πcm3. 故选：D 5.【详解】由eosA-号且4为锐角，可得mA=-coA-号 因为锐角△ABC中，B、C均为锐角， 所以 peB<号 0<B< 即 2 可得答-A<B< C-x-A-Be(0.) <A+B<π 2 2 4 3 4 由正弦定理得48_血Cm(4+A)_csB+加B 5 3 AC sinB sin B sin B tanB 5 因为云-A<B< sin( 乞，所以tmB>m(5-A=C上0 cosA 3 (sinA 4' cos( 由此可得0< 手即三te争.故选：c AC tan B 5 6,【详解】令双曲线C的半焦距为c,由P,Q关于x轴对称，且△RP9为等边三角形， 得∠PRR=30,由PELPE,得1 c.PK3e,则Vc-c=2a, 所以双曲线C的离心率e台后 2=5+1.故选：B 7.【详解】因为PC=PA+AC=PA+AB+AD, 所以PC=PA+PB-PA+PD-PA=PB+PD-PA· 第1页，共9页 因为PF=FD,PE=2BB,所以PD=2PF,PE=2Pi,所以PC=PE+2PF-PA, 又PG=AGC,所以PG=APC,所以PG=,3APE+22PF-,人PA, 2+1 2(+1) 元+11 +1 圆为反人0顶点通，所+路高山，常用手黄运：a 3元，212 8.【详解】由题设f(x)=(x-b+20-ax-b)=3(r-b0x-2a+色. 3 由a<b,所以2a+b<b, 3 当x<22护或6时，f>0,即/在m,22、位)上承调提指 3 当9<时，了0，即在白创上举清建说， 3 所以极小值点为x=b=5,极大值点为x= 2a+b 3 27 27 所以，只需a< 入a+3s43，即as45 2a+b 3 3 <a+3s20-a 3 所以4长a片故选：D 9.【详解】A:由数据2x,2,,26的方差为8，则数据x,x2,,56的方差×8=2，错；B: 对于等差数列{an},若正整数m+k=p+q,则am+a=a2+ag, 若正整数m+k=2p,则a.+4=4。,又等差数列的平均数为S_马+a 2 结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为十，对： 2 C:由于一组数据的方差D(X)20,且D)=E(X)-[E(,则E(X)≥E(X),对； D:若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数？的绝对值越接近于1，错. 故选：BC 10.【详解】以A为原点，以AB所在直线为x轴，以过A点且垂直于AB的直线为y轴， 如图，建立空间直角坐标系， 则B(2.0,0),C(1,√3,0)，AB=(2.0,0),AC=(1,V3,0),BC=（-1,v3,0) 设V(xy,z),则A7=(x,y,2)且z>0, 依题意得，A川=x2+y2+z2=4,又∠VAB=∠VAC=日e(凭，m, 所以cas9=隔-华-营x-2o0, 2 o0=高-x+y=o0.所以y=得。 4 第2页，共9页 把y=2c0s6 万，x=2os9代入x2+y2+z2=4,得： (28)+(2c0s6)2+z2=416cos0+2z2=4,所以z2=4-16cos0 2c0s82 3 3 所以.C=-x+V3y+20=-2os0+V3.2=0, 所以AV⊥BC,即无论0为何值，都有AV⊥BC,故A对： 取平面ABC的法向量为元=(0,0,1)， 因为0=只所以x=2子=y--得2=4=4-世-子所以z=青 3 33 陌=（么-.-得-）元=(1-v23-得-) 设平面VBC的法向量为元=(x,y,2),所以 m.师=2-2x-得y 2-0 m元=1-2x+(3-胃y-后z=0 令x=3,y=√3，则z=3V3-26,所以m=(3,V3,33-2W6 所以mn=0×3+0×V3+1×(3W3-2W⑥=33-2W6≠0， 所以平面VBC不垂直于平面ABC,故B错： 当0-.m0-号co0=台所以2co0-2×对=y=为，2=4--4-16目-号2=25 3 3 3 3 截面是三角形PBC,其面积为S=引BC1·h,其中h是P到BC的距离，因为列BC1=2“S=h, 因为P在棱上，设丽=t,0≤t≤2)所以丽=t=(化房，2） 又BC=(-1,V3,0),所以 h= -(--r+(+-2-a-4-4-}+2, 所以当t=时，hmin=√2， 所以当9=时，过点P和BC的平面截三棱锥所得截面面积的最小值为√2，故C对： 底面ABC是等边三角形，其外接圆圆心（外心）在(1号0小半径r=60=方 2 2 设球心0的坐标为1，气，d),其中d为球心到底面的距离。 球心到A的距离0A=√1+() +d2= +d2≥, 当且仅当d=0时.1o4lmin-、居 当OA川最小时，三棱锥V-ABC外接球表面积的最小， 此时0V= -9+(（ (2cos8-1)2+(2cos0 16c0s0 3 (2c0s9-1)2+4-16co0 3 2+=1oA= 解得cos9=子因为9∈（低，，所以符合题意， 所以三棱锥-ABC外接球表面积的最小值为4m(OAmn)P=4×等冬，故D对.故选：ACD. 1.【详解】圆G的圆心C(3),直线PC,的方程为=0，×+2)，即x+y+2=0, -3-(←2) 由两圆内切连心线必过切点，得圆C的圆心都在直线PC,上，即圆C的圆心都在直线x+y+2=0上，故A正 确： 第3页，共9页 x4+y=-2 显然1PA=√2k+),设点4(x,),则 +Tk+=2+)’而<-2， 解得=--3片=k+1,因此圆C的圆心C 2半径为49+0. k+5+1Y 2 2 圆C的方程为 +生+y山。+，则圆C的方程为++-30，故B正 2 2 圆C的国心为C（号，)单径：丹，圆心到轴的距离为生斗生 k+5k+1 +1 22 由+5+两边平方得+10+25产+2+，-6-23=-3-3220，≥3+45. 2 2 A 2 而keN,所以当k≥9时，圆C,与y轴有交点，C选项正确； (生号-少中，令2.得点高的数坐标为41，因此上1，放D误故 2 选：ABC 12.【详解】(a+3x)1-x)'=a(1-x)°+3x(1-x)°， a(1-x)中含x的系数为-a,(1-x)'中含x的系数为C=5,所以3x(-x)中x的系数为15， 所以-a+15=32,得a=-17,故答案为：-17. 13.【详解】由f(x)=e,得fx)=e, 设直线y=-k与曲线f(w)=e的切点为(：，y),则k=e, 又切点在曲线上，∴y=,-k=e1,联立 k=e- 在-k=e1,解得=2，即k=e. 由8国=-+m,得go)- 设直线y=er-e与曲线8)=-)+m的切点为：，y),则k=】 =e, (1=e 又为=h-)+m=ex,-e,联立多-1 ,解得m=2.故答案为：2. h(x,-1)+u=ex,-e 14.【详解】因为)=m(@r+到满足f(-孕+f()=0,所以了)的图象关于点(-行0中心对称，因为 侣+侣-)，所以的图象关于直线x铝对称， 所以 [+p=k 3 2+p=无+月 与e乙，点ez,则w-0+杰e),即@+号ke②， 3 由商数网若急上单调，得号合-原-牙即品号 022 所以0<4，即0<李+号4，解得-宁k号放=0或1或2 5 3 3 2 当k=0时，0= ,则2证+φ=k元，店∈乙，结合0<<，得p=2 9 ，此时f=如+25. 3 9 当后急时，子+5写设，因为=血在写急上单调递增， 故-血+受上单调递增，满足思意： 3 第4页，共9页 当k=1时，a=2,则+p=,名ez,则p=否，=m记+孕， 当名总时，2x+行急，因为=在昏爱上不单调，此时不合思意， 3 当=2时，09，则1g+=,太e2,结合0<p,得p行此时国=m号+百， 3 当el急时，号+晋e5德， 因为y=血在红：总上单调递增，故网在[名急上单调运增，满足落意。 综上，@号设号和为4.放答案为：4 15.解：(1)对任意正整数n,有2S,=a,且4=3， 可得n=1时，2a=2S=4,解得a=0: ，,,………?,?1分 当心2时，由2S=,可得2S1=(-1)a1,……2分 两式相减可得2a=2(Sn-S)=0-(-)a1,………3分 即1-2)a=(-1)a44, a-n-1 当心3时，a1-2’ …4分 所以a=4受及是-子0- n-2 …6分 a d a 上式对n=1,n=2也成立，所以a=3(01-),n∈N*;…7分 (2)由a<2<a,即为3k-1)<2”<3k, 可得数列色}中有34项为{a}中的前34项，其中的6项为2,4,8,16,32,64，…10分 所以他)的前40项和为×34×0+99+20-22=1683+126=1809.-13分 1-2 16.解：(1)如图，取BC的中点O,连接A0,… ………1分 △ABC为等腰三角形，AB=AC,AOLBC,…2分 又：A在底面ABC内的射影为点B, AB⊥面ABC,又AOC面ABC,AB⊥AO,…3分 又ABBC=B,且AB,BCC面ABC,AO⊥面ABC,…4分 :AO即为点A到平面ABC的距离. 又△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2,·AO=√5， 点A到平面ABC的距离为√2. ……6分 B 第5页，共9页 (2)如图，取BC的中点O,连接AO,AO, :A在底面ABC内的射影为BC的中点，：AO⊥面ABC, △ABC为等腰三角形，AB=AC,AO⊥BC, …7分 建立如图所示的空间直角坐标系，………………8分 可以求得A0=4,∴M0,-2,4),B(-√2,0,0)，A0,04),B(√2，-√2,1④)， MB=(√2，√2，-14)，B4=(2,0,14),BB=(0,-√2,14)，……9分 设平面MBA的一个法向量为=(3出，)， 风1@BB=-+2-i=0,令5=1，得网=（←万.o,1分 以⊥a4则话a4=,+=0 则 设平面BCCB的一个法向量为=(，，2)， 公=0，电-+2-=0，令5=1，得2=0万.，…12分 以B照=0由+，=0 则 则1co8<4,4米”：么-11 |4h8×⑧8' …14分 :平面4MB与平面BCCB夹角的余弦值为g ……15分 17.解：(1)f八(x)=☑-1，…1分 ①当a≤0时，f(x)<0,故f(x)为减函数，无极值，不合题意；…2分 ②当a>0时，令f'(x)=0,得x=-na, 当x<-na时，f(x)<0,当x>-na时，f()>0, 故f(x)在(-on,-had)上单调递减，在(-lna,+o)上单调递增， 所以f()在x=-na处取得极小值，……………5分 1 1 故1<-血a<2,解得。<a<。 11 综上所述，实数a的取值范围是 e'e …6分 (2)令f)=0,得a=+1 e 设=，则8树 ……7分 当-2<x<0时，g(x)>0,g(x)单调递增，当0<x<2时，g'()<0,g(x)单调递减， 所以g(x)在x=0处取得唯一极大值，也是最大值g(0)=1,…9分 且g-2)=-e,g2)=。· 3 …小…11分 所以①当a>1或a≤-e2时，y=a与y=g()在(-2,2)上无公共点， 3 ②当-e<a≤。或a=1时，y=a与y=80在(-22)上恰有-个公共点， 3 ③当。<a<1时，y=a与y=()在(-22)上恰有两个公共点，…14分 第6页，共9页 综上所述，当a>1或a≤-e2时，f()在(-2,2)上无零点， 当e<a≤。或a=1时，f在(-2)上有唯-零点. 3 当 <a<1时，f在(-22)上有且仅有两个零点。…15分 18.解： D 2y+号，设4A气，，B,y),…1分 3 (1)依题意，直线AB的方程为x= 2 x=3y+2 由 3p 42,得2y-3p四-2p2=0,所以△=25p>0,+为=号=-p,…3分 (y'=2px 故w=十丝=3卫=多，解得P=2, 2 42 所以线C的方程为y2=4x;… …5分 （2)解法一：因为点A在第一象限，所以由④)可得44，8，-D。 设Pd,2a,因为点E在点D的上方，所以aC22 (11 直线AP:y-片=上2 (x-x),令x=-1得到y= -4+2四_4a-2 -a2 2a+片 a+2 同理可得y:= -4+2a92=-2a-4 2a+⅓2a-1 ………………………………8分 ①延长A8交准线于0，易知%=号则Sa=S世等价于Se=S 因为Se。-6小水5，Se=。-%小程 所以4(yo-6)=yg-g,解得a=0, 故存在点P(0,0),使得S%M=S△pg·…12分 (i)|DEFy:-yo=-5+5× 3a-4 2a2+3a-2 设(a)=-5 15a-20 11 2m+3a-2a2 则h(@=-103a+Da-3) (2a2+3a-2)2 故线段DE长度的最小值为4. ………………17分 第7页，共9页 解法二：①)因为点A在第一象限，所以由（1)可得A4,4,B(字》， 若存在点P满足SaB=SAe,则xPA×PB×Sin乙APB=×PDxPE×Sin∠DPE, 所以P=5飞-G x2+1川 4 -=1 IPDIXIPEI x-xllx-x1 1(2+1) 因为点E在点D的上方，所以xp<xa<xA, 做-号5+1=+2x1,解得%=0，得%=0 所以存在点P(0,0)使得S公g=S△pg,…12分 D设W.则6=兰 因为点E在点D的上方，所以y。∈(-1,1)， 则=4=人-44 七-45一4y+4,直线4P:少-4=4K-利. +4 4 令=-1，得到：y=4-20 %+4 同理可得：为=-1-5 %-1’ …8分 所以DEy-,=55t205+205 6-1%+41-+4 因为-1<。<1，所以1-。>0%+4>0， 51D=0w0+小95 200-2+50+≥2W100=20, %+41-y% 所以川DE24,当且仅当41-y)3=(y。+4)°，即。=0时取到等号 故线段DE长度的最小值为4.…17分 19.解：(1)若输入(3,17)，则(3,17)→(4,18→(2,9)→…→(9,16)， 再输入(2,9)，(9,16)得(2,16)→(1,8)；…………………………………3分 (2)不能得到1,100)， 输入的(5,19)两数之差是7的倍数.……… …4分 第I台自动打印机运算，两个数都加1，运算后两数之差仍是7的倍数： 第Ⅱ台自动打印机仅当两个数都是偶数时才能运算，所以运算后两数之差也是7的倍数： 第Ⅲ台自动打印机输入的两组数对(a,b),(b,c)之差都是7的倍数，所以(a,c)也是7的倍数，·6分 综上，通过三台自动打印机运算得到的两数之差都是7的倍数，而100-1=99不能被7整除， 所以不能得到（自，100）；…………………8分 第8页，共9页 (3)设A为(a,b)的所有情况数，因为1≤a<b≤5n+1, 所以A=C公=0-65n+D-25m+5n. …10分 由(2)可知只有当b-a的是5的倍数时符合题意，下面证明： 假设1≤m<m+5k≤5n+1,m,k∈N,输入(m,m+5k), 则(m,m+5k)→(m+1,m+1+5k)→(+2，m+2+5k)-→…→(m+5k,m+10k), 再输入(m,m+5k),(+5k,+10k)得(m,+10k),………11分 因为mm+10k的奇偶性相同，所以一定可以得到(32十5)或2,2+5水)，…12分 因为m€N,所以号<m或"≤m,这样软将自然数对的第一个自然数变小了， 重复上面的运算就可以得到(L,1+5k)(k∈N),… ………………13分 设通过上面的运算可以得到L,I+5k)(化∈N的所有情况数为B。, 由上述证明可知：若输入(a,b),其中1≤a<b≤5n+1(neN), 可以得到L,l+5k)(k∈N),则b-a是5的倍数，所以 当a=1时，b可以取6,11，…，5n+1,共有n种取法， 当a=2时，b可以取7,12，…，51-3，共有n-1种取法， 当a=3时，b可以取8,13，…，51-2，共有n-1种取法， 当a=4时，b可以取9,14，·，5n-1,，共有n-1种取法， 当a=5时，b可以取10,15，…，5n,共有n-1种取法， 当a=6时，b可以取11,16，，51+1，共有n-1种取法， 当a=7时，b可以取12,17，…，5-3，共有n-2种取法， 当a=5n-4时，b可以取5n+1,共有1种取法， 5n2-3n 所以Bn=51+2+…+(n-1)+n= …15分 2 5n2-3n 所以P= 42 15-3 A25m2+5n55n+1 2 所以卫<亏· 1 小小小…】7分 第9页，共9页