精品解析：2025年湖北省黄冈市红安县第二中学九年级中考数学模拟试卷

2025年春湖北黄冈红安二中九年级中考数学模拟试卷（一） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（ ） A. 81 B. C. D. 2. 要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，正方形的边长为，在范围随机生成两个数作为一个点的坐标，该点落入圆内的概率约是（ ） A. B. C. D. 5. 如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则的面积为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 7. 若扇形的圆心角为，半径为12，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，F是边上的一动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D，G．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 9. 如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点运动的路程之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 分解因式：____________． 13. 如图，点A、B、C在上，，则______． 14. 如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点C落在E处，分别延长交AB于点F、G，若M是边的中点，则_____，______． 15. 如图，在矩形中，，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接．已知下列判断： ①；②；③；④． 其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 三．解答题（共9小题，，共75分） 16. ． 17. 如图，在矩形中，，平分．求证：四边形是菱形． 18. 8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑､塑像､壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现：当米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 19. [收集数据]河南中考体育自选项目中有一项是女子1分钟仰卧起坐．某学校为了解该项目的训练情况，在九（1）、（2）两个班各随机抽取了12位女生进行测试（单位：个）： 九（1）班：42，56，57，35，54，51，49，55，56，47，40，46 九（2）班：32，53，46，38，51，48，40，53，49，56，57，53 [整理数据]分组整理，描述这两组数据如表： 组别频数 32≤x＜37 37≤x＜42 42≤x＜47 47≤x＜52 52≤x≤57 九（1）班 1 1 2 a 5 九（2）班 1 2 1 3 5 [分析数据]两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 49 56 b 48.2 九（2）班 48 c 50 58.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）a=　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）若规定成绩在42个及以上为优秀，请估计该校九年级480名女生中测试成绩优秀的学生有多少人？ （3）你认为哪个班的女生1分钟仰卧起坐整体训练的水平较好，请根据以上统计数据，说明你的理由． 20. 如图，反比例函数的图象与的图象相交于点C，过直线上点作轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）求四边形的面积． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23. 在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接． （1）观察证明如图1，当时 ①猜想与的数量关系为___________，并说明理由． ②直线与直线相交所成的较小角的度数是___________． （2）类比猜想 如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数 （3）解决问题 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 24. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C， 抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ； （2）求该抛物线的解析式； （3）在直线上方的抛物线上是否存在点M，使四边形面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由； （4）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春湖北黄冈红安二中九年级中考数学模拟试卷（一） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（ ） A. 81 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值， 根据绝对值的定义解答即可．即一个数在数轴上的对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】解：． 故选：A． 2. 要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四个选项的图形折合，看是否能折叠成圆柱形即可获得答案． 【详解】解：A、可折叠出圆锥体，故不符合题意； B、可折叠出无盖圆柱体，故不符合题意； C、可折叠出圆柱体，故符合题意； D、可折叠出长方体，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何体的展开图的应用，熟练掌握简单几何体的展开图是解题关键． 3. 如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，线段的和差关系等知识．首先根据平移的性质得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】解：由平移可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为4． 故选：C． 4. 如图，正方形的边长为，在范围随机生成两个数作为一个点的坐标，该点落入圆内的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率、正多边形和圆，根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率，解题的关键是明确题意，熟练掌握概率公式的运用． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积，内切圆的半径， ∴内切圆的面积为， 则该点落入圆内的概率约为：， 故选：． 5. 如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．设小刘在该月的主叫通话时间为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设小刘在该月的主叫通话时间为， 则可列方程为， 故选：A． 6. 如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则的面积为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键，将关于对称得到，根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，求出，即可得到三角形的面积． 【详解】解：如图，将关于对称得到， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴ 故选A． 7. 若扇形的圆心角为，半径为12，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用弧长公式，进行求解即可． 【详解】解：该扇形的弧长． 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 8. 如图，在矩形中，，，F是边上的一动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D，G．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质等多个知识点．设点E的坐标为，点F的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴点B的坐标为， 设点E的坐标为，点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点E的坐标为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得， 故选：B． 9. 如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，则，，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），故当点O在线段上时，最大，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接， ∴，， ∵， ∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧）， ∴当点O在线段上时，最大， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最大值， 故选D． 【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点运动的路程之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别判断出从点到点以及从点到点，的面积S与点运动的路程之间的函数关系，首先判断出从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：（）；然后判断出从点到点，的面积一定，进而判断出的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是哪一个即可． 【详解】解：从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：； 从点到点，的面积一定，为：， 所以的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是： 故选：B． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 分解因式：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，点A、B、C在上，，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 14. 如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点C落在E处，分别延长交AB于点F、G，若M是边的中点，则_____，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，可证得，则，设，则，利用勾股定理求得，再由，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 由折叠得：，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 15. 如图，在矩形中，，，点M，N分别在边上．沿着直线折叠矩形，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段上（不与两端点重合），过点M作于点H，连接．已知下列判断： ①；②；③；④． 其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据折叠的性质可判定①正确；根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定②正确；根据最大值和最小值时的位置可判定③正确；求得的值，可判定④正确；从而求解． 【详解】解：如图1，由折叠可知，①正确； ， ， ， ， ， ， ，②正确； ∵， ∴，③正确； 当与重合时，，此时最小， 当与重合时，如图，此时最大， 由勾股定理得：， ， ，即， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 点在线段上（不与两端点重合）， 折痕的长度的取值范围为； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键． 三．解答题（共9小题，，共75分） 16. ． 【答案】20 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ＝ ＝ ＝20． 【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，乘方运算，准确熟练地化简各式是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 先根据说明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质说明，则，即可证明结论． 【详解】略 18. 8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑､塑像､壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） （1）嘉嘉发现：当米时，轻松地就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． （2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】（1）42米（或43米） （2）46米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；‘’ （2）设，依据题意得：，证明，根据相似三角形的性质列出比例式得出，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：（1） ， ， ， ， ， 解得：， 答：飞虹塔的高度是42米； 【小问2详解】 设，依据题意得：， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：飞虹塔的大致高度为． 19. [收集数据]河南中考体育自选项目中有一项是女子1分钟仰卧起坐．某学校为了解该项目的训练情况，在九（1）、（2）两个班各随机抽取了12位女生进行测试（单位：个）： 九（1）班：42，56，57，35，54，51，49，55，56，47，40，46 九（2）班：32，53，46，38，51，48，40，53，49，56，57，53 [整理数据]分组整理，描述这两组数据如表： 组别频数 32≤x＜37 37≤x＜42 42≤x＜47 47≤x＜52 52≤x≤57 九（1）班 1 1 2 a 5 九（2）班 1 2 1 3 5 [分析数据]两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示： 班级 平均数 众数 中位数 方差 九（1）班 49 56 b 48.2 九（2）班 48 c 50 58.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）a=　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）若规定成绩在42个及以上为优秀，请估计该校九年级480名女生中测试成绩优秀的学生有多少人？ （3）你认为哪个班的女生1分钟仰卧起坐整体训练的水平较好，请根据以上统计数据，说明你的理由． 【答案】（1）3，50，53；（2）380（人）；（3）九（1）的仰卧起坐的成绩比九（2）班好，且成绩稳定． 【解析】 【分析】（1）根据九（1）班被调查的人数为12人可得a的值，根据中位数、众数的概念可得b、c的值； （2）用总人数乘以样本中两个班成绩优秀的人数和占被调查人数的比例即可得； （3）从平均数和方差的意义分析求解可得． 【详解】解：（1）a=12-（1+1+2+5）=3； 将九（1）班成绩重新排列为：35，40，42，46，47，49，51，54，55，56，56，57， ∴其中位数b==50； 九（2）班成绩的众数c=53； 故答案为：3，50，53； （2）估计全校480名女生中测试成绩优秀的学生有480×=380（人）； 所以，估计该校九年级480名女生中测试成绩优秀的学生有380人； （3）由表可知，九（1）班成绩的平均数大于九（2）班，方差小于九（2）班，所以九（1）的仰卧起坐的成绩比九（2）班好，且成绩稳定． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义及样本估计总体思想的运用． 20. 如图，反比例函数的图象与的图象相交于点C，过直线上点作轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点，再由，可得，即可求解； （2）联立两解析式可得，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵轴于点B，， ∴，即， ∵点D在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质推出，结合得到，从而根据切线判定定理完成证明． （2）先利用为直径得到，设，在中用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；再通过矩形性质得到的长度，最后在中用勾股定理计算 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，延长交于点， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理，结合等腰三角形与矩形的性质进行边角转化是解题的关键． 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，结合，设解析式为，确定a的值即可； （2）根据解析式，得到，求出于x轴的正半轴的交点坐标的横坐标即可解答即可； （3）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，得到，抛物线变形为，计算米，米，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 又，设解析式为， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据解析式，得到， 故， 解得，（舍去）， 答：运动员落水点与点C的距离米． 【小问3详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， 把代入，得到， 抛物线变形为， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 故k的范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与一元二次方程，抛物线与不等式，抛物线的生活应用，熟练掌握应用是解题的关键． 23. 在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接． （1）观察证明如图1，当时 ①猜想与的数量关系为___________，并说明理由． ②直线与直线相交所成的较小角的度数是___________． （2）类比猜想 如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数 （3）解决问题 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 【答案】（1）①，理由如下： ，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， 故答案为：； ②； （2）；； （3）或． 【解析】 【分析】（）观察猜想：由“”可证，可得，，即可求解； （）类比探究：通过证明，可得， ，即可求解； （）分两种情形：当点在线段上时，延长交的延长线于，证明即可解决问题；当点在线段上时，同法可证：解决问题． 【小问1详解】 解： 略 如图中，延长交的延长线于，设交于点， 在和中， ，， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：类比探究： 如图中，设交于点， ， ， ， ， ，， ， ， ∴直线与直线相交所成的小角的度数为； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时，延长交的延长线于， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ，设，则，， ； 如图中，当点在线段上时，同法可证：， 设，则，， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 24. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C， 抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ； （2）求该抛物线的解析式； （3）在直线上方的抛物线上是否存在点M，使四边形面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由； （4）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】（1）；； （2） （3）存在，最大值为8 （4）或 【解析】 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标； （2）将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式， （3）由二次函数解析式令，求得点坐标；过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标； （4）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【小问1详解】 解：令，得， ∴， 令，得，解得，， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：把、两点坐标代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 【小问3详解】 解：令，得， 解得，，或， ∴； 过点作轴于X，与交于点，如图， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为8； 【小问4详解】 解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图， ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，或2， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $