精品解析：2025届江西省部分学校高三考前演练数学试题（一）

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练（一） 数学 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡相应位置； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定区域，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题意． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，再根据两向量垂直数量积得求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 即，，解得， 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式得，令，即得解出即可. 【详解】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 3. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则，可得， 所以，故. 故选：A. 4. 在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，确定点位置，根据相似比，求出，结合四面体体积公式利用换底法即可求解. 【详解】 根据题意如图所示，过点做垂直于垂足为， 过做垂直于垂足为， 因为，所以， 因为为的中点，所以， ，， 所以， 设点到平面的距离为， ，， 所以， 又因为四面体的体积为，所以四面体的体积为. 故答案为：B 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求得中，常数项及项，即可求解. 【详解】因为中常数项为1，项的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：D 6. 已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先令为周期函数，设周期为，得，两边求导验证充分性；通过举例验证必要性即可求解. 【详解】若是周期函数，设周期为，则， 两边求导，有：，所以也是周期为的周期函数； 若为周期函数，但不一定为周期函数， 例如，，不具有周期性，而，周期为， 所以“是周期函数”是“是周期函数”的充分不必要条件， 故选：A 7. 已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，先求切线方程，利用几何法求出，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】设切点为，所以，所以直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 故选：B. 8. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列满足的关系式，利用之间的关系结合累乘法可求得，代入计算可得结果. 【详解】由可得， 即，因此； 因此， 可得， 所以. 故选：B 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最小值为 C. 在内有3个零点 D. 在内有3个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简即可判断AB，由平移变换得和求出零点即可判断CD. 【详解】对于A，由，显然不恒等于，即不是的周期，故A错误； 对于B，因，，则，故B正确； 对于C，，因， 则由可得，即零点有3个，故C正确； 对于D，，因， 则由有，即零点有4个，故D错误. 故选：BC. 10. 已知实数满足，那么不存在这样的，使得（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由基本不等式即可判断A，令，结合代入计算，即可判断B，将转化为斜率，即可判断C，结合换元法以及二次函数的值域即可判断D. 【详解】对于A，因为，即，解得， 又，即，解得，所以，故A符合题意； 对于B，令，则，代入，可得， 展开可得，由可得， 即，故B不符合题意； 对于C，表示圆上的点与点连线的斜率， 设过点的直线方程为，即， 由圆心到直线的距离可得， 即，即不存在符合题意的，故C符合题意； 对于D，由可得，则， 令，则，所以， 且函数在上单调递增，所以，即， 即不存在符合题意的，故D符合题意； 故选：ACD 11. 设样本数据的平均数为，中位数为，标准差为，则（ ） A. 若，则数据的平均数为 B. 若，则数据的平均数为 C. 不可能组成等边三角形的三边 D. 有可能组成直角三角形的三边 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式求解判断AB，举反例判断CD. 【详解】对于A，，， 所以，若， 则数据的平均数为，正确； 对于B，若，则数据的平均数为，正确； 对于C，取，可得平均数为，中位数为， 标准差为，此时， 即有可能组成等边三角形的三边，错误； 对于D，取，可得平均数为，中位数为，标准差为，此时满足，即有可能组成直角三角形的三边，正确. 故选：ABD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则的真子集个数为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】由交集的运算可得，即可得到结果. 【详解】对于集合，当是，，当时，， 当时，，所以， 则其真子集的个数为. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理得，根据三边关系确定，根据余弦定理，用边表示为，进而求出最值即可. 【详解】因为，由正弦定理得，在中，，即，故，， 由余弦定理得， 又因为， 所以， 当即时等号成立. 故答案为：. 14. 著名的“冰雹猜想”定义了一个具有两种运算的函数，其定义域和值域均为正整数集：例如：设初始值为5，则接下来的复合运算为从集合中随机抽取一元素，使得的前五次复合运算分别为的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】探索初始值的特点，求出满足条件的的个数，利用古典概型求概率. 【详解】设初始值为， 第一次运算为，所以为奇数，运算结果为； 第二次运算为，所以为偶数，运算结果为； 第三次运算为，所以为奇数，运算结果为； 第四、五次运算均为，所以为4的倍数. 设，，则， 因为，所以，. 所以，. 又，由. 所以满足题意的初始值有13个. 所以所求的概率为：. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图所示，在三棱台中，为等腰直角三角形，设为中点，若，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：设中点为， 由于所以， 在底面中，由中位线性质可知，又 所以，且平面 故平面，在平面内， 所以， 又，为中点， 所以,为平面内两条相交直线， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设中点为，通过，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由（1）易知：两两垂直，如图建系， 由，， 则, 由（1）平面，在平面内， 所以， 所以， 可得：, ， 又，且同向， 则， 又， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，可得， 所以，又， 设直线与平面夹角为， 则， 所以， 即直线与平面夹角的余弦值， 16. 设的面积为，内角的对边分别为为中点，已知． （1）求； （2）若，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，将两边平方，由数量积的运算律，及面积公式得到，再由余弦定理计算可得； （2）利用三角恒等变换公式得到，利用正弦定理将角化边，即可得到点在以、为焦点的椭圆（除顶点外）上，求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为为中点，所以， 所以 即， 又，所以， 即， 又由余弦定理，即，所以， 则； 【小问2详解】 因为， 显然，所以， 即， 又 ，， 所以，即 由正弦定理可得， 因为，不妨令，，建立平面直角坐标系， 由，所以点在以、为焦点的椭圆（除顶点外）上， 令椭圆方程为，则，， 所以椭圆方程为，当在椭圆短轴顶点时，此时无意义， 所以，则. 17. 已知． （1）当时，讨论的单调性； （2）已知方程恰有3个实根，求的值． 【答案】（1）在上递减，递增 （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导思想，结合证明来判断导数的正负，从而来确定单调性； （2）利用分类思想，可得到单调性判断，根据三个实根，先确定，然后再借助导数确定单调性，并证明两个极小值相等，从而可得出结论. 【小问1详解】 当时，求导得， 构造，求导得， 则当时，，所以在时单调递增； 则当时，，所以在时单调递减； 即，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 同理，由（1）得， 所以当时，有 则当时，， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． 此时方程最多只有两根，不满足题意； 则讨论的情形： 由，存在三个零点，分别为和1， 其中的零点由数形结合可得： 可知， 由此可得：当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 此时依次有2个极小值点和一个极大值点1， 因为，所以 则， ， 所以有，即两个极小值相等， 所以方程有3个实根，必然， 即． 18. 已知为坐标原点，椭圆，双曲线与焦点相同，离心率互为倒数．线段是的一条弦，且中点在上． （1）求的方程； （2）求直线纵截距绝对值的最小值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得椭圆的焦点与离心率，根据题意可得双曲线的，进而得到的方程； （2）设直线为，直线与椭圆联立得中点，代入双曲线方程化简求解即可； （3）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合（2）及计算求解，即可找到最大值. 【小问1详解】 由题意可得椭圆的焦点坐标为，离心率为， 所以双曲线的焦点坐标为，离心率为， 即，所以的方程为； 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在，设直线为，， 直线与双曲线联立方程组有： ，， 所以， 因为， 所以，得中点， 因为中点在上，所以， 整理化简得，即，得， 因为当且仅当时，即时等号成立， 即，所以直线纵截距绝对值的最小值为； 【小问3详解】 设面积为， 当直线斜率不存在时，由题意可知，直线与轴交点坐标为双曲线的左右顶点， 即，代入椭圆得，此时， 当直线斜率存在时，由（2）可知，， 由三角形面积公式得：， 代入可得： ， 令，因为，所以， 所以 当时，， 由于，所以面积的最大值是. 19. 马路上有盏连续排列的灯，每盏灯亮的概率均为，记存在至少连续盏灯亮的概率为，已知． （1）写出； （2）设为连续亮的灯数最大值，求时的期望； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可求出的值，分析可知表示只有灯亮或只有亮，或者都亮的概率，结合独立事件的概率公式可求得的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合期望公式可求得的值； （3）设，根据题意得出的递推公式，逐项计算可得出的值，即为所求. 【小问1详解】 由于，所以， 而表示只有灯亮或只有亮，或者都亮的概率， 即. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、， 则， 表示、、、、、、、、、、 、都亮，故， 表示、、、、、、、 、、、都亮，故， 表示、、、、都亮，则， 表示、都亮，则， ， 所以． 【小问3详解】 显然当或时，，且； 对于，根据实际意义，存在连续盏灯亮包括以下两种情况： （i）前盏已经满足有盏亮了； （ii）前盏没有连续盏亮灯，且从到盏恰好为（不亮，亮，亮，亮）， 所以有递推关系：， 令，则，且，， 则，， ，， ， ， . 因此，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练（一） 数学 本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡相应位置； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定区域，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题意． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 4 8. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最小值为 C. 在内有3个零点 D. 在内有3个零点 10. 已知实数满足，那么不存在这样的，使得（ ） A. B. C. D. 11. 设样本数据的平均数为，中位数为，标准差为，则（ ） A. 若，则数据的平均数为 B. 若，则数据的平均数为 C. 不可能组成等边三角形的三边 D. 有可能组成直角三角形的三边 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则的真子集个数为__________． 13. 在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为__________． 14. 著名的“冰雹猜想”定义了一个具有两种运算的函数，其定义域和值域均为正整数集：例如：设初始值为5，则接下来的复合运算为从集合中随机抽取一元素，使得的前五次复合运算分别为的概率为__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图所示，在三棱台中，为等腰直角三角形，设为中点，若，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的余弦值． 16. 设的面积为，内角的对边分别为为中点，已知． （1）求； （2）若，求的范围． 17. 已知． （1）当时，讨论的单调性； （2）已知方程恰有3个实根，求的值． 18. 已知为坐标原点，椭圆，双曲线与焦点相同，离心率互为倒数．线段是的一条弦，且中点在上． （1）求的方程； （2）求直线纵截距绝对值的最小值； （3）求面积的最大值． 19. 马路上有盏连续排列的灯，每盏灯亮的概率均为，记存在至少连续盏灯亮的概率为，已知． （1）写出； （2）设为连续亮的灯数最大值，求时的期望； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $