精品解析：吉林省长春市2024-2025学年高三下学期质量监测（四）数学试题

2025年长春市高三毕业班质量监测（四） 数学 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，确定复数，再根据复数的几何意义进行判断即可. 【详解】复数. 故选：A 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 3. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法即可求解. 【详解】由题意，. 故选：D. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，结合角的取值范围，可确定角的值，进而求. 【详解】由，则， 则， 又， 所以，所以，. 故选：B 5. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长. 【详解】圆： ①，所以，. 圆： ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 6. 在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得，可得为直线AN与CM所成角（或补角），进而结合余弦定理求解即可. 【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 7. 已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 与函数相等 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的对称轴，判断A的真假；利用诱导公式进行转化，可判断B的真假；利用换元思想，结合正弦曲线的性质，可判断C的真假；结合三角函数在给定区间上值域的求法求函数值域判断D的真假. 【详解】， 令，，， 当时，为的一条对称轴，A正确； ，B错误； 令，当时，， 显然在上不单调，C错误； 当时，，所以，∴，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简，作出图象，由图像即可得到的取值范围，得出答案. 【详解】，图象如图 则在上共有3个零点， 即在上有3个根，，，. 又因为函数在上存在两个零点，故. 故选：BCD. 11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ） A. 周长大于25 B. 共有4条对称轴 C. 围成的封闭图形面积小于14 D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析曲线在第一象限内的性质，可判断ABD的真假，根据曲线方程的特点，可判断B的真假. 【详解】对A：由题意，在第一象限曲线的方程为， 即， 当时，曲线在圆的下方，理由如下： 因为，可设，， 则 而 （只有当或时取“”）. 所以（只有和时取“”）. 故时，曲线在圆的下方. 即第一象限曲线的长度大于圆周长的， 即曲线的周长大于圆的周长，而，则A选项正确； 对B：由曲线的方程为可知， 因为，，，代入方程，方程都不变， 所以曲线关于轴，轴，直线和对称，共有4条对称轴，则选项B正确； 对C：由A选项的推证可知：曲线围成的封闭图形的面积， 则选项C正确； 对D：第一象限曲线的方程为， 所以，，（都是当且仅当时取“”）. 所以曲线上距离原点的最短距离为，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为的圆， 则选项D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求得，然后利用数量积的运算律求解模即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差、等比数列的通项公式、求和公式，进行化简求值即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，则， 即，可得， . 故答案为：4. 14. 已知函数在上的最大值比最小值大，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知在上单调减，在上单调递增，分和两种情况讨论，求出最值即可求解. 【详解】， 所以为奇函数，且在上的最大值比最小值大， 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增. 当时，即时，在上单调递增. 则， 解得. 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增. ， 因为，所以， 所以， 解得（舍去）或9（舍去）. 综上， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 20 男 50 合计 200 （1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？ （3）将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）关联 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求解频率得解； （2）计算卡方的值，即可与临界值比较作答； （3）根据二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 由图，低于的学生有人，则不低于170cm的学生有人. 从而，； 【小问2详解】 零假设为：性别与身高没有关联， 计算可得 根据的独立性检验，推断不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关联； 【小问3详解】 样本中抽中不低于175cm的频数为人 样本中抽中不低于175cm的频率为 将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人， 其中不低于175cm的人数记为，则 . 16. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）先注意到恒成立，可把问题转化成时，恒成立，分离参数可得：，设函数，利用导数，分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 又因为， 所以，切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，， ①当时，因为恒成立，所以； ②当时，由恒成立，得 令，. 再令， 所以在上单调递增， 所以，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以. 即的取值范围为： 17. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 证明：因为， 且，所以是首项为1，公比为2的等比数列. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式，由首项表示第二、三项，结合等差数列的性质，建立方程，可得答案； （2）根据等比数列的定义，结合首项，可写出通项，利用等比数列求和以及分组求和，可得答案. 【小问1详解】 ， 又依次成等差数列，所以， 即，解得. 【小问2详解】 可得，则， . 18. 如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点M，N位于底面两侧，底面ABCD是边长为6的正方形. （1）证明：平面平面BMDN； （2）若且，点P满足，求直线AM与平面BPN所成角的正弦值. 【答案】（1） 由题意，连接AC，BD，MN交于点O，则MN⊥平面ABCD， ∵平面ABCD，∴，∵ABCD为正方形，∴， ∵平面BMDN，平面BMDN，，∴平面BMDN， ∵平面AMCN，∴平面平面BMDN. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的几何性质，结合线面垂直的性质与判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由且， 在△AMN中，易得. 以O为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 求出平面BPN的一个法向量. 设直线AM与面BPN所成角为， 则， 所以直线AM与平面BPN所成角的正弦值为. 19. 已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点. （i）证明：点为线段的中点； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （i）设， 双曲线的渐近线方程为①，② 当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为， 与双曲线联立 由，且，故可得. 由； . . 点为线段的中点. 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知， 此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点. 综上，点为线段的中点. （ii） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义求解即可； （2）（i）设，分类讨论，当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，与双曲线的方程联立，求得，的坐标证明即可； （ii）由（i）知，求得，然后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 为的垂直平分线上一点，则. . 点的轨迹为以为焦点的双曲线，且 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，. . 当且仅当，即时取等号. 又， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年长春市高三毕业班质量监测（四） 数学 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4 6. 在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是的一条对称轴 B. 与函数相等 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的取值范围是 10. 已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ） A. 周长大于25 B. 共有4条对称轴 C. 围成的封闭图形面积小于14 D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________. 14. 已知函数在上的最大值比最小值大，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 20 男 50 合计 200 （1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？ （3）将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 17. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 18. 如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点M，N位于底面两侧，底面ABCD是边长为6的正方形. （1）证明：平面平面BMDN； （2）若且，点P满足，求直线AM与平面BPN所成角的正弦值. 19. 已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点. （i）证明：点为线段的中点； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $