精品解析：四川省绵阳外国语学校2023-2024学年高一下学期第一学月质量检测数学试题

绵阳外国语学校2023～2024学年高一下期第一学月教学质量检测 高一年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一． 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上. 1. 化简（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C. 3. 的值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和与差的余弦公式，即可得解. 【详解】 故选：A. 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. 【详解】由得：，即，而是第四象限角， 则有，， 所以. 故选：A 5. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. 9 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义与运算律计算. 【详解】 ． 故选：C 6. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象变换得到，再由正弦函数的性质求对称中心，即可得. 【详解】由图象各点横坐标伸长为原来的3倍，则， 将图象向右平移个单位长度，则， 令，则，即对称中心为， 显然A、B、C都不是对称中心，而时是一个对称中心. 故选：D 7. 如图，若点在的边上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例关系可得，再以为基底表示出向量即可. 【详解】由可得， 所以. 故选：C. 8. 已知函数在处取到最大值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用辅助角公式或逆用两角差的正弦公式化简后求出，再代入运用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 其中，，又在处取到最大值， 所以（），即（）， 则，， 所以， 故选：A． 二．多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.把它选出来填涂在答题卡上. 9. 下列命题中正确的个数是（ ） A. 若，则 B. 已知向量，则四点不一定在一直线上 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量相等的定义判断A，根据向量共线的定义判断B，举反例判断C，根据向量的定义判断D. 【详解】对于A：若，，则，故A正确； 对于B：若向量，则共线或， 即四点不一定在一直线上，故B正确； 对于C：如，，，显然满足，， 但是，即，故C错误； 对于D：向量不能比较大小，故D错误. 故选：AB 10. 下列式子正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦二倍角公式可得A正确，利用余弦二倍角公式可得B错误，再由两角差的正弦公式计算可得C正确，根据两角和的正切公式整理可得D正确. 【详解】对于A，易知，即A正确； 对于B，显然，可得B错误； 对于C，易知，所以C正确； 对于D，易知， 整理可得，即，即D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最大值为 B. 当时，函数的对称轴方程为 C. 若向左平移个单位后，关于轴对称，则的最小值为 D. 若在上有且仅有个最大值点，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，化简解析式即可判断；对于B，令即可求解判断；对于C，先求出平移后解析式为，再令即可求解判断；对于D，由正弦函数图象性质列不等式即可求解. 【详解】对于A，函数， 所以函数的最大值为2，故A错误； 对于B，当时，由A得，令， 所以当时，函数的对称轴方程为，故B正确； 对于C，向左平移个单位后得到的函数图象解析式为， 因为其图象关于轴对称，所以， 因为，所以的最小值为，故C错误； 对于D，当时，， 因为在上有且仅有个最大值点， 所以，故D正确. 故选：BD 12. 平面向量，，，满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值是 D. 若向量满足，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算律和模的运算求解，根据投影向量定义求解在方向上的投影向量，构造如图所示的几何图形集合几何意义求的最小值，作出满足题意的几何图形求解的最小值. 【详解】因为，且， 所以，所以， ，所以，的夹角为， 因为，所以A正确; 在方向上的投影向量为,所以B错误; 如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆， 则， 因为，所以,符合题意， 由图可知，当同过两圆的圆心时最大， 此时的最大值等于圆心距加半径为， 所以C正确; 作如图，, 所以, 令，由得, 在射线上取点，使得,过作直线, 则有点在直线l上，取中点,过作，垂足为, 连接, 当且仅当重合时取得等号，所以的最小值为. 所以D正确. 故选:ACD. 【点睛】结合向量间的关系作出满足题意的几何图形，利用几何意义求解相关最值问题是向量最值问题有效的手段. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔答在答题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 三．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷中的横线上. 13. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 14. 已知向量，点三点共线，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理化简解方程即可求出的值. 【详解】由三点共线可知存在实数，满足， 即，所以， 可得， 因此，解得； 此时. 故答案为： 15. 已知非零向量满足，则向量与的夹角为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律可得，再由向量夹角的计算公式代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 因，， 所以， 又，可得. 即向量与的夹角为. 故答案为： 16. 梅州城区某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第12分钟时，他距地面大约为___________米. 【答案】55 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，第分钟时所在位置的高度为，设出其三角函数的表达式，由题意，得出其周期，求出解析式，然后将代入，可得答案. 【详解】如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米. 则摩天轮的最低点离地面10米，即 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为 则 由题意，,则，所以 当时， 故答案为：55 四．解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中第17题10分，第18～22题，每个小题12分） 17. 已知平面向量 （1）求的值 （2）计算的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标运算代入即可求得结果； （2）根据向量坐标运算法则以及模长公式计算即可. 【小问1详解】 易知， 又， 所以， 【小问2详解】 易知， 所以. 18. 已知单位向量的夹角为，向量，向量 （1）若，求的值 （2）若，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线列式计算即可； （2）根据向量垂直列式计算即可. 【小问1详解】 单位向量的夹角为，与不共线 向量，向量， 若，则，； 【小问2详解】 ， 若，则， 即，解得. 19. 已知函数的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，且点坐标为，. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标为，可得，再由函数的周期求出的值，再把点的坐标代入函数解析式求出，即可求得的解析式． （2）求出的解析式，化简的解析式为，再根据的范围求出的值域，从而求得的最大值． 【小问1详解】 点坐标为，∴， ，. 由，且解得， ∴. 【小问2详解】 根据题意可得， ， 当时，， ∴当，即时，. 20. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式可求得的值； （2）方法一：求出的取值范围，利用二倍角的降幂公式求出的正弦值和余弦值，即可得出的正切值； 方法二：由代值计算即可得解； 方法三：计算出的值，利用二倍角的正切公式可得出的方程，求出的取值范围，即可得出的值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， ， ， 所以． 【小问2详解】 解：方法一：因为，所以，则，， 所以，， 则． 方法二：． 方法三：，解得或， 因为，所以，则，故． 21. 中，． （1）求角． （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及两角和的正弦公式逆用，结合三角形的内角和公式及三角函数的特殊值对应的特殊角注意角的范围即可求解； （2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，结合锐角三角形得出角的范围,再利用三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，得, 因为，所以， 所以,又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，所以,即, 所以, 因为为锐角三角形， 所以,解得，即， 所以，即， 所以的取值范围为. 22. 已知 （1）求 （2）求的值 （3）若，求的取值范围 （参考公式） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据参考公式将表达式化简可得，代入计算可得结果； （2）利用正弦的二倍角公式循环迭代计算可得； （3）由平方关系以及三角函数值域化简计算，即可求得其取值范围. 【小问1详解】 易知 ， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知 【小问3详解】 由题可得， 令，则， 因为，所以， 可得 因此， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳外国语学校2023～2024学年高一下期第一学月教学质量检测 高一年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一． 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上. 1. 化简（   ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 的值等于（ ）． A. B. C. D. 4. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. 9 B. C. 16 D. 6. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，若点在的边上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在处取到最大值，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.把它选出来填涂在答题卡上. 9. 下列命题中正确的个数是（ ） A. 若，则 B. 已知向量，则四点不一定在一直线上 C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列式子正确的是（     ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最大值为 B. 当时，函数的对称轴方程为 C. 若向左平移个单位后，关于轴对称，则的最小值为 D. 若在上有且仅有个最大值点，则的取值范围是 12. 平面向量，，，满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值是 D. 若向量满足，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔答在答题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 三．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷中的横线上. 13. 已知向量，若，则_________． 14. 已知向量，点三点共线，则________ 15. 已知非零向量满足，则向量与的夹角为_______ 16. 梅州城区某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第12分钟时，他距地面大约为___________米. 四．解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中第17题10分，第18～22题，每个小题12分） 17. 已知平面向量 （1）求的值 （2）计算的值 18. 已知单位向量的夹角为，向量，向量 （1）若，求的值 （2）若，求的值 19. 已知函数的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，且点坐标为，. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值. 20. 已知，. （1）求的值； （2）求的值． 21. 中，． （1）求角． （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 22. 已知 （1）求 （2）求的值 （3）若，求的取值范围 （参考公式） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $